第8章 第49节 第2课时 椭圆的几何性质(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第2课时　椭圆的几何性质 【考点探究　核心突破】 考点一　求椭圆的离心率的值或范围 【例1】(1)(一题多法)(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.法一:由题意得A(-a,0), 设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=, kAQ=, 所以kAP·kAQ=·==. 由+=1,得=,所以=,所以椭圆C的离心率e===. 法二:设椭圆C的右顶点为B,因为点P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP,AQ关于y轴对称,所以kAP·kAQ=-kAP·kBP=. 设P(x0,y0),由题得A(-a,0),B(a,0), 则kAP·kBP=·==-=e2-1=-,所以e2=,即e=. (2)(一题多法)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(　　) A. [,1) B. [,1) C. (0,] D. (0,] 【解析】选C.法一:易知B(0,b).设P(acos α,bsin α)(0≤α<2π), 则|PB|2=a2cos2α+b2(1-sin α)2=a2cos2α+b2sin2α-2b2sin α+b2 =a2(1-sin2α)+b2sin2α-2b2sin α+b2=(b2-a2)sin2α-2b2sin α+a2+b2. 当a2≤2b2时,≤-1,对称轴sin α=. 则sin α=-1时,|PB|2取得最大值4b2,符合题意, 此时e==≤=; 当a2>2b2时,-1≤≤0,所以sin α=时,|PB|2取得最大值-+a2+b2,不符合题意.综上可知,0<e≤. 法二:易知B(0,b).设P(x,y)(-b≤y≤b),则x2=a2-,则|PB|2=x2+(b-y)2=a2-+b2+y2-2by=(1-)y2-2by+a2+b2. 当a2≤2b2时,对称轴y=≤-b, 所以当y=-b时,|PB|2取得最大值4b2,符合题意,此时e==≤=; 当a2>2b2时,-b<<0,所以当y=时,|PB|2取得最大值+a2+b2,不符合题意.综上可知,0<e≤. 思维升华 求椭圆离心率的值或范围的方法 (1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解. (2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解. (3)构造a,c的齐次式,可以不求出a,c的具体值,得出a与c的关系,从而求得e. 对点训练 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F为其左焦点,直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点A,B,且AF⊥AB.若∠ABF=30°,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,故四边形AFBF2为平行四边形, 设|AF|=m,∠ABF=30°, 则|FB|=2m,|BF2|=|AF|=m, |BF|+|BF2|=2m+m=2a,m=a, 在△BFF2中,(2c)2=(a)2+(a)2-2·a·a·cos 120°,整理得到4c2=,即c=a,故e==. 2.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,半焦距为c.在椭圆上存在点P使得=,则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.[-1,1) B.(-1,1) C.(0,-1) D.(0,-1] 【解析】选B.由=, 得===, 得|PF1|=,因为|PF1|∈(a-c,a+c),所以a-c<<a+c,所以a2-c2<2ac<(a+c)2,即e2+2e-1>0,又e∈(0,1),所以e∈(-1,1). 【加练备选】 1.(2024·成都模拟)已知圆C:x2+y2-4y-4=0经过椭圆Ω:+=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2,圆C和椭圆Ω在第二象限的交点为N,·=16-24,则椭圆Ω的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.对于圆C:x2+y2-4y-4=0, 即x2+=16,圆心为(0,2),半径为4, 当y=0时,x=±2,当x=0时,y1=2+4,y2=2-4,即如图点B(0,2+4), 即椭圆Ω:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),即c=2. 又圆C和椭圆Ω在第二象限的交点为N, 由圆周角的性质可得∠F1NF2=∠F1BF2, 则cos∠F1NF2=cos∠F1BF2=2cos2∠F1BO-1=2×()2-1=, 又由·=|NF1||NF2|cos∠F1NF2=|NF1||NF2|=16-24, 得|NF1||NF2|=32-16,又|F1F2|2=|NF1|2+|NF2|2-2|NF1||NF2|cos∠F1NF2=-2(32-16)-2(16-24)=16得4a2-2(32-16)-2(16-24)=16,解得a=2,所以离心率e===. 2.(2024·深圳模拟)P是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,·=0;点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,OQ∥PF1,且|OQ|=b.则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.因为·=0, 所以PF1⊥PF2, 因为点Q在∠F1PF2的平分线上, 所以点Q到∠F1PF2两边的距离相等, 不妨设PF1<PF2,则PF2=b+PF1, 联立PF1+PF2=2a, 可得PF1=a-b,PF2=a+b, 又P+P=F1, 则(a-b)2+(a+b)2=(2c)2, 化简可得a2+b2=2c2,则a2+a2-c2=2c2, 则2a2=3c2,即=,故C的离心率为. 考点二　与椭圆相关的最值(取值范围)问题 【例2】(1)(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A,B,则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.存在m,使△FAB为直角三角形 C.存在m,使△FAB的周长最大 D.当m=0时,四边形FBEA的面积最大 【解析】选BD.如图, 对于A,由椭圆方程可得,a=2,b=,则c=1,椭圆C的离心率为e=,故错误; 对于B,当m=0时,可以得出∠AFE=, 当m=1时,得tan ∠AFE=<1=tan , 根据椭圆的对称性可知存在m,使△FAB为直角三角形,故正确; 对于C,由椭圆的定义得,△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|, 因为|AE|+|BE|≥|AB|, 所以|AB|-|AE|-|BE|≤0, 当AB过点E时取等号, 所以|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a, 即直线x=m过椭圆的右焦点E时,△FAB的周长最大,此时直线AB的方程为x=m=1,但是-1<m<1,故不存在m,使△FAB的周长最大,故错误; 对于D,|FE|为定值2,根据椭圆的对称性可知,当m=0时,|AB|最大,则四边形FBEA的面积最大,故正确. (2)已知点A(4,0),B(0,4),直线l:x=,动点P到点A的距离和它到直线l的距离之比为4∶5,则|PB|的最大值是(　　) A. B.7 C.5 D.2 【解析】选C.设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+=1, 则x2=25-y2,其中-3≤y≤3,所以,|PB|== =,所以当y=-时,|PB|取最大值,即|PB|max=5. (3)已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为C的左、右焦点,M是椭圆上的动点,则△F1MF2的内切圆半径的最大值为________.  【解析】因为椭圆的标准方程为+=1, 所以a=5,b=4,c==3; 当△MF1F2的面积最大时,点M为椭圆C的一个短轴顶点,不妨设点M为椭圆C的上顶点,点O为坐标原点,△MF1F2内切圆半径为r, 则|MF1|=|MF2|=a=5,|F1F2|=2c=6,|OM|=b=4, =(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r =|F1F2|·|OM|,所以r=. 答案: 思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质; (2)利用函数,尤其是二次函数; (3)利用不等式,尤其是基本不等式; (4)利用一元二次方程的判别式. 对点训练 1.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤2|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A. [,] B. [,1) C. [,-1] D.[-1,1) 【解析】选A.设椭圆C的左焦点为F',连接AF',BF', 由椭圆的对称性可知,四边形AFBF'为平行四边形,又·=0,即FA⊥FB, 故平行四边形AFBF'为矩形,连接AB, 所以|AB|=|FF'|=2c.设|AF'|=n,|AF|=m,则在直角三角形ABF中, m+n=2a,m2+n2=4c2①,得mn=2b2②, ①÷②得+=, 令=t,得t+=. 又由|FB|≤|FA|≤2|FB|,得=t∈[1,2], 所以t+=∈[2,],即∈[1,], 即1≤≤,得≤≤1,即≤≤1,即≤-1≤1,则≤≤2,即≤≤, 得≤e≤,得≤e≤,则椭圆的离心率的取值范围是[,]. 2.(2025·广州模拟)已知点A,B是椭圆+=1上不关于长轴对称的两点,且A,B两点到点M(m,0)的距离相等,则实数m的取值范围为________.  【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点为G(x0,y0),则 两式相减得+=0, 所以=-, 所以=-, 所以=-, 因为M(m,0),|MA|=|MB|,所以MG⊥AB, 所以=, 所以4x0-4m=3x0,所以x0=4m, 因为-4<x0<4, 所以-4<4m<4,所以-1<m<1, 即实数m的取值范围为(-1,1). 答案:(-1,1) - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $