第8章 第48节 直线与圆、圆与圆的位置关系(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

第48节　直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 考题分析 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T14 T15 2023年 T6 T15 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 项目 相离 相切 相交 图形 量 化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1,☉O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|) 项目 图形 量的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 【常用结论】 1.圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. (4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)公共弦方程:两圆相交时公共弦所在直线的方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). ②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解). 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(　√　) (2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　×　) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(　×　) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(　√　) 2.(选择性必修一P96·例5变式)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是(　　) A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1, O2:x2+(y-8)2=64, 所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, |O1O2|==6, 则|O1O2|=6<r2-r1=7,所以两圆内含. 3.(选择性必修一P93·练习T3变式)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(　　) A. B. C.2 D. 【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=,圆的半径r=,解直角三角形得,半弦长为,所以弦长等于. 4.过点P(,1)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为_________________.  【解析】可得切线方程为x+(1-1)(y-1)=2, 即x=. 答案:x= 【考点探究　核心突破】 考点一　直线与圆的位置关系 【例1】(1)(一题多法)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【解析】选A.法一(代数法): 由 消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, 因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交. 法二(几何法): 由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离为d=<1<=r, 所以直线l与圆相交. 法三(定点法): 直线l:mx-y+1-m=0, 整理得m(x-1)-y+1=0恒过定点(1,1), 而12+(1-1)2<5, 即(1,1)在圆内,所以直线l与圆相交. (2)(2024·深圳质检)已知直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与圆C:x2+y2=r2(r>0)相离,则r的取值范围是(　　) A.{r|0<r≤1} B.{r|0<r<1} C.{r|r≥1} D.{r|r>1} 【解析】选B.圆心到直线的距离为d==1,故0<r<1. 对点训练 1.(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d=,若点A(a,b)在圆C上, 则a2+b2=r2,所以d==|r|, 则直线l与圆C相切,故A正确; 若点A(a,b)在圆C内, 则a2+b2<r2,所以d=>|r|, 则直线l与圆C相离,故B正确; 若点A(a,b)在圆C外, 则a2+b2>r2,所以d=<|r|, 则直线l与圆C相交,故C错误; 若点A(a,b)在直线l上, 则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2, 所以d==|r|, 直线l与圆C相切,故D正确. 2.(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是________.  【解析】A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A'(-2,2a-3),B(0,a)在直线y=a上, 设A'B所在直线即为直线l,所以直线l为y=x+a,即(a-3)x+2y-2a=0; 圆C:(x+3)2+(y+2)2=1,圆心C(-3,-2),半径r=1, 依题意圆心到直线l的距离d=≤1,即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得≤a≤,即a∈. 答案: 考点二　直线与圆的弦长、切线问题 角度1　弦长问题 【例2】(1)(2024·全国甲卷)已知a,b,c成等差数列,直线ax+by+c=0与圆C:x2+(y+2)2=5交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】选C.因为a,b,c成等差数列,所以a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0恒过点(1,-2),设点P的坐标为(1,-2),则点P在圆C:x2+(y+2)2=5内, 所以当PC⊥AB时,|AB|取得最小值,此时|PC|=1,|AB|=2=4. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为___________________________.  【解析】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=2, 所以S△ABC=×d×2=, 解得:d=或d=, 由d==, 所以=或=, 解得:m=±或m=±2. 答案:2(2,-2,,-中任意一个皆可以) 思维升华 直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+()2,整理出弦长公式为l=2. (2)代数法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. (3)弦长公式法:设直线l:y=kx+b与圆的交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得到弦长l=|x1-x2|=. 对点训练 1.已知圆C:x2+2x+y2-1=0,直线mx+n(y-1)=0与圆C交于A,B两点.若△ABC为直角三角形,则(　　) A.mn=0 B.m-n=0 C.m+n=0 D.m2-3n2=0 【解析】选A.因为圆C:x2+2x+y2-1=0,圆心为C(-1,0),半径为r=,即|CA|=|CB|=,因为△ABC为直角三角形,所以|AB|==2, 设圆心C(-1,0)到直线mx+n(y-1)=0的距离为d,d==, 由弦长公式|AB|=2得d=1,所以=1,化简得mn=0. 2.已知圆M的方程为x2+y2-6x-8y=0,过点P(0,4)的直线l与圆M相交的所有弦中,弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.30 B.40 C.60 D.80 【解析】选B.圆M的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25, 即圆的圆心为M(3,4),半径为5, 由(0-3)2+(4-4)2=9<25,知点P(0,4)在圆内, 则最短的弦是以P(0,4)为中点的弦, 所以25=()2+9,所以|AC|=8,过P(0,4)最长的弦BD为直径,所以|BD|=10,又AC⊥BD,所以S四边形ABCD=·|AC|·|BD|=40. 角度2　切线问题 【例3】(1)(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. 【解析】选B.法一:因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=, 过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B, 因为|PC|==2,则|PA|==, 可得sin∠APC==, cos∠APC==, 则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=, cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=()2-()2=-<0, 即∠APB为钝角, 所以sin α=sin (π-∠APB)=sin∠APB=; 法二:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=, 过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,连接AB,可得|PC|==2, 则|PA|=|PB|==, 因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB, 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos (π-∠APB), 即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB, 解得cos∠APB=-<0, 即∠APB为钝角,则cos α=cos (π-∠APB)=-cos∠APB=, 且α为锐角,所以sin α==; 法三:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=, 若切线斜率不存在,则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2<r,不合题意; 若切线斜率存在,设切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0, 则=,整理得k2+8k+1=0,且Δ=64-4=60>0, 设两切线斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-8,k1k2=1, 可得|k1-k2|==2, 所以tan α==, 即=,可得cos α=, 则sin2α+cos2α=sin 2α+=1, 且α∈(0,),则sin α>0,解得sin α=. (2)过点P作圆C:x2+y2-4x-4y+15=0的两条切线,切点分别为A,B,若△PAB为直角三角形,O为坐标原点,则|OP|的取值范围为(　　) A.(2-,2+) B.(4-,4+) C.[2-,2+] D.[4-,4+] 【解析】选D.圆C:(x-2)2+(y-2)2=1的圆心C(2,2),半径r=1, 由PA,PB切圆C于点A,B,且△PAB为直角三角形,得∠APB=90°,|PA|=|PB|,连接AC,BC, 则∠CAP=∠CBP=90°,即四边形APBC是正方形,|PC|=, 因此点P在以点C为圆心,为半径的圆上, 而|OC|==4, 于是|OP|max=4+,|OP|min=4-, 所以|OP|的取值范围是[4-,4+]. 思维升华 当切线方程斜率存在时,圆的切线方程的求法 (1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况. 对点训练 已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. 【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2. (1)因为(+1-1)2+(2--2)2=4, 所以点P在圆C上. 又kPC==-1, 所以过点P的切线的斜率为-=1, 所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=1×[x-(+1)],即x-y+1-2=0. (2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4, 所以点M在圆C外. 当过点M的直线的斜率不存在时, 直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,所以直线x=3是圆的切线; 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0, 由圆心C到切线的距离d'==r=2,解得k=. 所以切线方程为y-1=(x-3), 即3x-4y-5=0. 综上,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. 因为|MC|=,所以过点M的圆C的切线长为==1. 考点三　圆与圆的位置关系 【例4】(1)(多选题)已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的有(　　) A.若圆C1和圆C2外离,则a>4 B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4 C.当a=0时,圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=-2时,圆C1和圆C2相交 【解析】选BCD.C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|=,r1=1,r2=4. 若C1和C2外离,则|C1C2|=>r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误; 若C1和C2外切,|C1C2|==5,解得a=±4,故B正确; 当a=0时,|C1C2|=3=r2-r1,C1和C2内切,故C正确; 当a=-2时,3<|C1C2|=<5,C1和C2相交,故D正确. (2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0. ①判断两圆公切线的条数; ②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度. 【解析】①两圆的标准方程分别为 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10, 则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5; 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=. 又|C1C2|=2,r1+r2=5+, r1-r2=5-, 所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交, 所以两圆有两条公切线. ②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3, 设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2, 得50=45+l2,解得l=,所以公共弦长2l=2. 思维升华 圆与圆的位置关系问题的解题策略 (1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和以及差的绝对值的大小关系判断. (2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. (3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解. 对点训练 1.若圆x2+y2+4x-4y=0和圆x2+y2+2x-8=0相交于M,N两点,则线段MN的长度 为(　　) A.4 B. C. D. 【解析】选C.x2+y2+4x-4y=0,① x2+y2+2x-8=0,② 由①-②可得x-2y+4=0. 所以两圆的公共弦所在直线的方程是x-2y+4=0, 因为圆x2+y2+4x-4y=0的圆心坐标为(-2,2),半径为2, 所以圆心到公共弦的距离d=,则|MN|=. 2.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程_________________.  【解析】如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4, 所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况: ①易知公切线l1的方程为x=-1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x, 由得 由对称性可知公切线l2过点(-1,-). 设公切线l2的方程为y+=k(x+1), 则点O(0,0)到l2的距离为1, 所以1=,解得k=, 所以公切线l2的方程为y+=(x+1), 即7x-24y-25=0. ③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直, 设公切线l3的方程为y=-x+t, 易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1, 列方程解得t=或t=-(舍去), 所以公切线l3的方程为y=-x+, 即3x+4y-5=0. 综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可) - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $