第8章 第46节 两条直线的位置关系(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了两条直线的位置关系专题，将平行垂直判定、交点坐标求解、距离公式及对称关系等核心考点按“知识梳理-常用结论”分层整合，通过易错辨析问题链和一题多法任务驱动，引导学生自主构建从代数推理到几何应用的知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与进阶式方法指导，开篇设置回源教材、澄清盲点等分层自测题，如易错辨析题澄清斜率存在性等认知误区，培养数学思维与数学语言素养。每个考点配备思维升华总结和微进阶应用实例，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可通过学情数据精准指导，真正实现因材施教。

第46节　两条直线的位置关系 考试要求 考题分析 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.两条直线的位置关系 直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线)的位置关系如表: 位置 关系 l1,l2满足条件 l3,l4满足的条件 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0 (或B1C2-B2C1≠0) 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ②结论:|P1P2|=. ③特例:原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=. (2)点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离为d=. 【常用结论】 五种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y),点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (4)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (5)点(x,y)关于y=x+b的对称点为(y-b,x+b),关于y=-x+b的对称点为(b-y,b-x). 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,4 1 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　×　) (2)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.(　×　) (3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.(　×　) (4)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.(　√　) 2.(选择性必修第一册P57例5变式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形 是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以A为直角顶点的直角三角形 D.以B为直角顶点的直角三角形 【解析】选D.直线AB的斜率kAB==-,直线BC的斜率kBC==2, 由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC, 故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形. 3.(一题多法)已知点P(2,-1),直线l:x+y+2=0,则点P关于直线l的对称点Q点的坐标为________.  【解析】法一:设Q点的坐标为(x,y),则PQ中点坐标为(,),又直线l的斜率为-1,所以 解得 即Q点坐标为(-1,-4). 法二:直线l的方程可化为y=-x-2, 所以Q点坐标为(-2+1,-2-2), 即Q(-1,-4). 答案:(-1,-4) 4.(选择性必修第一册P79习题2.3T9变式)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________.  【解析】由得 所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0, 即m×1+2×2+5=0,所以m=-9. 答案:-9 【考点探究　核心突破】 考点一　两条直线的平行与垂直 【例1】(一题多法)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断a为何值时,l1与l2平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 【解析】(1)法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), l1∥l2⇔解得a=-1, 综上,当a=-1时,l1∥l2. 法二:显然a≠0,l1∥l2,则=≠⇔⇒ 可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2. (2)法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2; 当a≠1且a≠0时,l1:y=-x-3, l2:y=x-(a+1),由(-)·=-1,得a=. 法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=. 思维升华 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 对点训练 设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线xsin A+ay+c=0与直线bx-ysin B+sin C=0的位置关系是(　　) A.相交但不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 【解析】选B.由题意可知,直线xsin A+ay+c=0与bx-ysin B+sin C=0的斜率分别为-,, 又在△ABC中,=, 所以-·=-1, 所以两条直线的位置关系是相互垂直. 【加练备选】 若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为________.  【解析】由两直线垂直得4b+2a-4=0, 即2=a+2b≥2,ab≤, 当且仅当a=2b,即a=1,b=时,等号成立, 故ab的最大值为. 答案: 考点二　两直线的交点与距离问题 【例2】(1)已知直线l经过直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点,且直线l的斜率为-,则直线l的方程是(　　) A.3x-2y-1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=0 【解析】选C.解方程组得 所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l的斜率为-, 所以直线l的方程为y-1=-(x-1), 即2x+3y-5=0. (2)已知直线3x+y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 【解析】选D.由直线平行可得3m-6=0, 解得m=2, 因此直线方程为6x+2y+1=0, 即3x+y+=0, 则所求距离是=. 思维升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程. 2.点到直线、两平行直线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式. (2)求两平行直线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等. 对点训练 1.若点(m,n)在直线l:3x+4y-13=0上,则(m-1)2+n2的最小值为(　　) A.3 B.4 C.2 D.6 【解析】选B.由(m-1)2+n2的几何意义为点(m,n)到点(1,0)距离的平方, 得其最小值为点(1,0)到直线l:3x+4y-13=0的距离的平方,即d2=()2=4. 2.已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点P. (1)若点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程; (2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值. 【解析】(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, 所以=3, 解得λ=或λ=2. 所以直线l的方程为x=2或4x-3y-5=0. (2)由 解得交点P(2,1), 如图,过P作任一直线l, 设d为点A到直线l的距离, 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立). 所以dmax=|PA|=. 微进阶　直线系方程在解题中的应用 1.平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C). 2.垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+m=0(m为参数). 3.过两直线交点的直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数,此直线不包括直线l2). [典例](1)(一题多法)已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P,过点P且平行于直线l3:x-y-1=0的直线l4的方程为________.  【解析】法一:由解得 由平行关系可设直线l4的方程为x-y+c=0,其中c≠-1,将(-2,2)代入l4的方程可得c=4, 所以直线l4的方程为x-y+4=0. 法二:由题意可设直线l4的方程为(3x+4y-2)+λ(2x+y+2)=0,即(2λ+3)x+(4+λ)y-2+2λ=0①,因为直线l4与直线l3:x-y-1=0平行,所以-(2λ+3)=4+λ,解得λ=-,代入①式得直线l4的方程为-x+y-=0,化简得x-y+4=0. 答案:x-y+4=0 (2)(一题多法)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为________.  【解析】法一:由解得 故交点的坐标为(-,). 因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以所求直线的斜率为,所以所求直线的方程为y-=(x+),即4x-3y+9=0. 法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0.由 可解得交点的坐标为(-,). 将点(-,)的坐标代入4x-3y+m=0, 得m=9,故所求直线的方程为4x-3y+9=0. 答案:4x-3y+9=0 考点三　对称问题 角度1　中心对称问题 【例3】(一题多法)过点P(3,0)有一条直线l,它夹在两条直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段恰被点P平分,则直线l的方程为______________.  【解析】法一:设直线l分别与直线l1,l2相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB被点P(3,0)平分.所以x1+x2=6,y1+y2=0. 于是x2=6-x1,y2=-y1.由于点A,B分别在直线l1,l2上,所以 解得 即A(,).直线PA的方程为=, 即8x-y-24=0.所以直线l的方程为8x-y-24=0. 法二:可将点A,B的坐标分别设为(a,2a-2)和(b,-b-3),则得a=, 即A(,).直线PA的方程为=,即8x-y-24=0.所以直线l的方程为8x-y-24=0. 答案:8x-y-24=0 思维升华 中心对称问题的解法 (1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则 (2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决. 对点训练 直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是(　　) A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 【解析】选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2) 对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上, 所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0, 即2x+3y-2=0. 角度2　轴对称问题 【例4】在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,-2),点B(1,0),P为直线2x-4y+3=0上一动点,则|PA|+|PB|的最小值是(　　) A. B.4 C.5 D.6 【解析】选B.设点A(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点为A'(x,y), 则 解得 所以A'(-,), 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==4, 当且仅当点P为线段A'B与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立, 所以|PA|+|PB|的最小值是4. 思维升华 轴对称问题的解法 (1)若点M(a,b)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点为M'(m,n), 则有 (2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决. 对点训练 (多选题)(2024·徐州模拟)光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为(　　) A. (14,) B.(9,-15) C.(-3,15) D.(13,2) 【解析】选BC.由题意知,k=tan 45°=1, 设点(4,2)关于直线y=x+1的对称点为(m,n), 则解得 所以反射光线所在的直线方程为y=(x-3)=(x-3), 所以当x=9时,y=-15;当x=-3时,y=15;当x=14时,y=-;当x=13时,y=-25. - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $