第8章 第45节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了直线的倾斜角与斜率、直线方程五种形式等核心考点，按概念定义、公式推导、应用条件的层次构建知识网络，通过主干梳理中的注意点提示和知能自测的回源教材题，引导学生自主辨析易混点，形成完整的知识框架。 亮点在于诊断性自测和分层考点探究设计，如开篇设置易错辨析题澄清斜率与倾斜角关系误区，考点探究中一题多法训练数学思维，变式探究培养逻辑推理能力。每个模块配有对点训练和思维升华总结，帮助学生自主诊断薄弱环节，教师可依据学情数据实施精准辅导，提升复习效率。

第八章　直线与圆、圆锥曲线 第45节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考试要求 考题分析 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经过用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角; (2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°; (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}. 2.直线的斜率 (1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α(α≠90°).  (2)计算公式 ①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=. ②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量 =(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=. [注意点]　当直线l的倾斜角α∈[0,)时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈(,π)时,α越大,直线l的斜率越大. 3.直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y-y0=k(x-x0) 两点式 过两点 = 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 所有直线 [注意点] 1.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A). 2.应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要讨论斜率是否存在. 3.应用“截距式”方程时,要讨论是否过原点,即截距是不是为0. 【常用结论】 特殊位置的直线方程 (1)经过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b; (2)经过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a; (3)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.( ×　) 【解析】当直线的倾斜角为90°时,直线不存在斜率. (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ×　) 【解析】当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k1<k2. (3)直线y=kx-2一定过定点(0,-2).( √　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( √　) 2.已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为(　　) A.x+y=1 B.x-y=1 C.y=1 D.x=1 【解析】选D.因为直线l的倾斜角为90°, 所以该直线的斜率不存在,与x轴垂直. 又因为直线l过点(1,1), 所以直线l的方程为x=1. 3.(选择性必修第一册P55T4变式)已知点A(2,0),B(3,),则直线AB的倾斜角 为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】选B.由题意得直线AB的斜率k==,设直线AB的倾斜角为α, 则tan α=, 因为0°≤α<180°,所以α=60°. 4.(选择性必修第一册P67T7变式)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.  【解析】当截距为0时,直线方程为3x-2y=0; 当截距不为0时,设直线方程为+=1, 则+=1, 解得a=5,直线方程为x+y-5=0. 所以直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0. 答案:3x-2y=0或x+y-5=0 【考点探究　核心突破】 考点一　直线的倾斜角与斜率 【例1】(1)如图,在平面直角坐标系中有三条直线l1,l2,l3,其对应的斜率分别为k1,k2,k3,则下列选项正确的是(　　) A.k3>k1>k2 B.k1-k2>0 C.k3>k2>k1 D.k1·k2<0 【解析】选C.由题图可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k1<k2. (2)设直线l的方程为x-ysin θ+2=0,则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A.[0,π] B. [,] C. [,] D. [,)∪(,) 【解析】选C.当sin θ=0时,l的方程为x+2=0,此时α=.当sin θ≠0时,tan α=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以α∈[,)∪(,]. 综上所述,α的范围是[,]. (3)金榜原创·易错对对碰 ①已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A.[-1,1]　　　　　 B.[1,+∞) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1] 【解析】选C.如图,由题意可知kPA==-1,kPB==1. 要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). ②已知两点M(2,-1),N(5,6),直线l过点P(1,3)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. [-4,] B.(-∞,-4]∪[,+∞) C. [,4] D. [-,4] 【解析】选A. 由P(1,3),N(5,6), 得直线PN的斜率kPN==, 由P(1,3),M(2,-1), 得直线PM的斜率kPM==-4, 由图可知,kPM≤k≤kPN,解得-4≤k≤. 思维升华 直线的倾斜角与斜率计算 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤: ①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况; ②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围. (2)倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,此时直线垂直于x轴. (3)每条直线都有倾斜角,但不一定存在斜率. 对点训练 1.直线xsin a+y+2=0的倾斜角的取值范围是___________.  【解析】设直线的倾斜角为θ,0≤θ<π,根据直线斜率的计算方法,可得直线的斜率为k=-sin a,易得-1≤k≤1.由倾斜角与斜率的关系,易得-1≤tan θ≤1,角θ的取值范围是[0,]∪[,π). 答案: [0,]∪[,π) 2.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________;倾斜角的取值范围为________.  【解析】如图,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1, 则k1==-;当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2==1, 所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞), 倾斜角的取值范围是[,]. 答案:(-∞,-]∪[1,+∞)　 [,] 考点二　求直线的方程 【例2】求满足下列条件的直线的方程: (1)经过点A(3,2),且与直线4x+y-2=0平行; (2)经过点C(2,-3),且平行于过M(1,2)和N(-1,-5)两点的直线; (3)经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直; (4)(一题多法)经过点A(2,6),在x轴上的截距为3. 【解析】(1)直线4x+y-2=0的斜率为-4,所以经过点A(3,2), 且与直线4x+y-2=0平行的直线的方程为y-2=-4(x-3),即4x+y-14=0. (2)由已知,得经过M(1,2)和N(-1,-5)两点的直线的斜率k=, 所以经过点C(2,-3),且平行于直线MN的直线的方程为y+3=(x-2), 即7x-2y-20=0. (3)直线2x+y-5=0的斜率为-2.所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为. 所以经过点B(3,0),且与2x+y-5=0垂直的直线的方程为y-0=(x-3), 即x-2y-3=0. (4)法一:易知直线的斜率存在, 设直线方程为y=k(x-3), 因为点A(2,6)在直线上,所以k=-6, 所以y=-6×(x-3)=18-6x, 所以所求直线的方程为y=-6x+18. 法二:由于直线过点A(2,6)和点(3,0), 则直线的斜率k==-6, 由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直线的方程为y=-6x+18. 思维升华 求直线方程的两种方法 对点训练 1.(多选题)下列说法中,正确的有(　　) A.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0 B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 C.直线x-y+1=0的倾斜角为60° D.过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0 【解析】选BD.过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0,或者y=2x,故A错误; 直线y=3x-2在y轴上的截距为-2,故B正确; 直线x-y+1=0的斜率为,故它的倾斜角为30°,故C错误; 过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-5=0,故D正确. 2.在平面直角坐标系xOy中,已知△AOB为等腰三角形,|OA|=|AB|,A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为________.  【解析】因为|OA|=|AB|, 所以∠AOB=∠ABO,即kAB=-kOA=-3, 所以直线AB的方程为y-3=-3(x-1), 即3x+y-6=0. 答案:3x+y-6=0 【加练备选】 在△ABC中,若A(2,3),B(-2,0),C(2,0),则∠BAC的平分线所在直线l的方程是(　　) A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x-3y-2=0 D.3x-y-1=0 【解析】选B.如图所示,设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0), 由角平分线的性质可知=⇒a=, 所以∠BAC的平分线所在直线l的方程是 =⇒2x-y-1=0. 考点三　直线方程的综合应用 角度1　直线相关的最值问题 【例3】(一题多法)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴,y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程. 【解析】法一:设直线l的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 则A(2-,0),B(0,1-2k), S△AOB=(1-2k)·(2-)≥×(4+4)=4, 当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立. 故直线l的方程为y-1=-(x-2), 即x+2y-4=0. 法二:设直线l的方程为+=1, 且a>0,b>0, 因为直线l过点M(2,1),所以+=1, 则1=+≥2,故ab≥8, 故S△AOB的最小值为ab=×8=4, 当且仅当=,即a=4,b=2时,等号成立. 故直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. [变式探究] 1.在本例条件下,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 【解析】由本例法二知,+=1,a>0,b>0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)·(+) =3++≥3+2, 当且仅当=,即a=2+,b=1+时,等号成立.所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+y-2-=0. 2.在本例条件下,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程. 【解析】法一:由本例法一知A(2-,0), B(0,1-2k)(k<0). 所以|MA|·|MB|=· =2×=2[+(-k) ]≥4. 当且仅当-k=-,即k=-1时等号成立. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 法二:设∠BAO=θ,所以|MA|=,|MB|=,所以|MA|· |MB|==,所以当θ=时,(|MA|·|MB|)min=4.l:y=-(x-1)+2,即x+y-3=0. 角度2　由直线方程求参数的范围 【例4】定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点为A,B,M(x,y)是f(x)图象上的任意一点,其中x=λa+(1-λ)b(λ∈R),向量=λ+(1-λ),其中O是坐标原点.若不等式||≤k恒成立,则称函数f(x)在[a,b]上“k阶线性近似”.若y=x+在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围是________.  【解析】由题意知a=1,b=2, 所以A(1,2),B(2,), 所以直线AB的方程为y=x+. 因为xM=λ+2(1-λ)=2-λ,=λ(1,2)+(1-λ) (2,)=(2-λ,-), 所以M,N两点的横坐标相同,且点N在直线AB上, 所以||=|yM-yN|=|x+-x-|=|+-|,+≥2=, 当且仅当x=时取等号.又因为<, 所以||=|+-|≤-,要使||≤k恒成立,k的取值范围是[-,+∞). 答案: [-,+∞) 对点训练 直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是________.  【解析】令x=0,得y=, 令y=0,得x=-b, 所以所求三角形的面积为||·|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4, 所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2]. 答案:[-2,0)∪(0,2] - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $