第7章 第44节 第3课时 空间距离(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了空间距离专题，涵盖点到直线、点到平面、异面直线的距离等核心考点，通过主干梳理构建知识网络，以问题导向设计知能自测，引导学生自主归纳向量法解题逻辑，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于诊断性自测与方法指导结合，如知能自测设置易错辨析题和教材变式题，帮助学生自主诊断薄弱点，考点探究通过例题解析提炼向量法步骤，培养数学思维与空间观念，助力学生自主提升，教师可依学情精准指导。

第3课时　空间距离 考试要求 考题分析 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.点到直线的距离 设A是直线l上的定点,P是直线l外一点,若u是直线l的单位方向向量,是在l上的投影向量,设=a,则点P到直线l的距离PQ==. 2.点到平面的距离公式 如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度,则PQ=|·|=||=. 3.异面直线间的距离 (1)定义:两条异面直线间的公垂线段的长即为异面直线间的距离. (2)求解公式:如图,设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a,b上任取A,B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离,则d=|·|=. 即两异面直线间的距离,等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线l上两点到平面α的距离相等,则l∥α. (　×　) (2)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β. (　√　) (3)点到直线的距离就是该点与直线上任一点连线的长度. (　×　) 2.(选择性必修第一册P35练习T3变式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点 O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离 是________.  【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离, 而=(2,1,1),所以平行平面α,β间的距离d====. 答案: 3.(选择性必修第一册P35练习T2变式)已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(,0,)为l的一个单位方向向量,则点P(4,3,2)到l的距离为________.  【解析】因为=(-2,0,-1), 且n=(,0,)为l的一个单位方向向量, 故点P到l的距离d= ==. 答案: 4.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,点E和F分别是线段AC1与BD上的动点,则EF间的最小距离为___________.  【解析】因为点E和F分别是线段AC1与BD上的动点,则EF间的最小距离即为异面直线AC1与BD间的距离,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0,0),C1(0,1,2), 则=(1,1,0),=(-1,1,2),=(0,1,0), 设与异面直线AC1与BD都垂直的向量n=(x,y,z), 则,解得,取x=1,则y=-1,z=1, 所以n=(1,-1,1),则异面直线间的距离为==.即EF间的最小距离为. 答案: 【考点探究　核心突破】 考点一　点线距及其应用 【例1】(1)如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若P在正方体内部且满足 =++,则P到直线AB的距离为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1), 所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1), 则=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(,,),因为=(1,0,0), 所以在上的投影向量的长度为 =, 所以点P到AB的距离=. (2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,已知E为CC'上一点,且2CE=EC',在平面CDD'C'内作EF∥A'B,交C'D'于点F,则直线EF与A'B之间的距离 为___________.  【解析】以A为坐标原点,以AB,AD,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A'(0,0,1),B(1,0,0),E(1,1,), 直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离, =(-1,0,1),= (0,1,),·=, ||=,||==, cos<,>===, <,>∈[0,π], 所以sin<,>==, 所以直线EF与A'B之间的距离等于E到直线A'B的距离 为||sin <,>=×=. 答案: 思维升华 向量法求点到直线的距离的方法 方法一:(1)求直线的方向向量. (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度. (3)利用勾股定理求解. 方法二:在直线上设出垂线段的垂足的坐标,利用共线和垂直求出垂足坐标,再求向量的模. 方法三:(1)求直线的方向向量; (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量与直线的方向向量夹角的余弦值,进而求出正弦值; (3)求出所求点与直线上某一点所构成的向量的模,再乘以夹角的正弦值即为所求. [提醒]平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解. 对点训练 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,已知AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(　　) A. B. C. D.1 【解析】选B.过点B作BE⊥A1C,垂足为E(图略), 设点E的坐标为(x,y,z). 由题意知A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),=(1,2,-3),=(0,2,0),方向上的单位向量为μ=(,,-), 所以点B到直线A1C的距离为==. 考点二　点面距及其应用 【例2】(2024·福州模拟)如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在底面圆O上,圆O的半径为1,AF=,点G是线段BF的中点. (1)证明:EG∥平面DAF; (2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°,求点G到平面DEF的距离. 【解析】(1)取AF的中点M,连接DM,GM,如图所示,G为BF的中点,则GM∥AB. 又AB∥DE,得GM∥DE. 由GM=AB,DE=AB,得GM=DE, 所以四边形DEGM为平行四边形,DM∥EG. 又DM⊂平面DAF,EG⊄平面DAF,所以EG∥平面DAF. (2)因为OB=1,AF=,∠AFB=90°, 所以BF===1. 因为DA⊥平面ABF,且直线DF与圆柱底面所成角为45°, 所以∠AFD=45°,则有AD=. 如图,以F为原点,以FB,FA分别为x,y轴,过F作垂直于底面的直线FN为z轴,建立空间直角坐标系,则有F(0,0,0),A(0,,0),B(1,0,0),G(,0,0), D(0,,),C(1,0,),E(,,), =(0,,),=(,,),=(0,-,-). 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则, 令y=1,有x=,z=-1,得n=(,1,-1). 设点G到平面DEF的距离为d, 所以d===. 故点G到平面DEF的距离为. 思维升华 求点面距的步骤 (1)建系:建立恰当的空间直角坐标系. (2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标. (3)求向量:求出相关向量的坐标(,α内两不共线向量,平面α的法向量n). (4)求距离d=. [提醒]求线面距、面面距可转化为点面距求解. 对点训练 (2025·重庆模拟)如图所示,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是棱AB,AD,AA1上的动点,且AP=AQ=AR,则三棱锥C1-PQR体积的最大值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C. 设AP=AQ=AR=t,0<t≤1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则Q(1-t,0,0),P(1,t,0),R(1,0,t),C1(0,1,1), 设平面PQR的法向量为n=(x,y,z),=(-t,-t,0),=(0,-t,t), 则,即, 令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1).又=(1,t-1,-1),所以C1到平面PQR的距离d==, =×××=. 令h(t)=,h'(t)==.又t∈(0,1],所以h'(t)>0,h(t)单调递增, 当t=1时,h(t)max=h(1)==. 【加练备选】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB. (1)求证:AD⊥PB; (2)(一题多法)求点A到平面PBC的距离. 【解析】(1)取AD的中点O,连接OP,OB,BD, 因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°, 所以AD=AB=BD. 因为O为AD的中点,所以BO⊥AD. 在△PAD中,PA=PD,O为AD的中点, 所以PO⊥AD. 因为BO∩PO=O,所以AD⊥平面POB. 因为PB⊂平面POB,所以AD⊥PB. (2)法一:由题意及(1)易知OP=1,BO=,PB=2, 所以OP2+BO2=PB2,所以OP⊥OB, 所以OP,OA,OB两两垂直,如图建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),P(0,0,1), 所以=(-1,0,1),=(0,,-1),=(-2,,-1), 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则, 所以,不妨取y=1,则n=(0,1,), 所以点A到平面PBC的距离d==. 法二:因为PA=PD,∠APD=90°, 所以PO=AD=1,由题意及(1)知PB=2, 又AD⊥PB,BC∥AD,所以BC⊥PB, 记A到平面PBC的距离为h,S△PBC=×2×2=2, 则由VA-PBC=VP-ABC得h=××2×2sin 120°×1,所以h=, 即A到平面PBC的距离为. 考点三　异面直线之间的距离 【例3】长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE之间的距离是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】选D.如图,连接AD1,由长方体的结构特征可知,AB∥C1D1,AB=C1D1, 则四边形ABC1D1为平行四边形,得BC1∥AD1, 因为AD1⊂平面AD1E,BC1⊄平面AD1E, 所以BC1∥平面AD1E, 则异面直线BC1与AE之间的距离即为BC1到平面AD1E的距离,也就是B点到平面AD1E的距离, 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),B(1,2,0), =(-1,0,2),=(-1,2,1),=(0,2,0), 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), 则, 取z=1,得n=, 所以B点到平面AD1E的距离 d====. 思维升华 求异面直线间的距离的方法 (1)几何法 使用情境 异面直线的公垂线段存在或比较容易作出. 解题步骤 证线段AB为异面直线a,b的公垂线段→求出AB的长即可. (2)向量法 使用情境 异面直线的公垂线段不存在或不容易作出,根据已知条件比较容易建立坐标系,写出点的坐标. 解题步骤 求出一个满足的向量n→用公式d=求异面直 线AB与CD间的距离. 对点训练 如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,BE=EC=1.沿着AE将△BAE折起到△B'AE,使得∠DAB'=90°,如图2所示. 则异面直线AB'与CD之间的距离为___________.  【解析】在菱形ABCD中,∠B=60°,BE=EC=1, 由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cos 60°=3,所以AE=, 所以BE2+AE2=AB2,即AE⊥BC. 又AD∥BC,所以AE⊥AD. ∠DAB'=90°,即AD⊥AB', 又AB'∩AE=A,AB',AE⊂平面AB'E, 所以AD⊥平面AB'E,即EC⊥平面AB'E. 又B'E⊂平面AB'E,所以B'E⊥EC. 如图,以E为原点,以EC,EA,EB'所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则E(0,0,0),C(1,0,0),D(2,,0),B'(0,0,1),A(0,,0), 所以=(0,-,1),=(1,,0), =(1,-,0), 设m=(x,y,z)是异面直线AB'与CD公垂线的方向向量, 所以⇒⇒ 令y=1,则m=(-,1,), 所以异面直线AB'与CD之间的距离为==. 答案: 【加练备选】 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,DA=3,M为PC中点,则异面直线PA与BM之间的距离为________.  【解析】因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD, 所以DA,DC,DP两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为PD=DC=4,DA=3,M为PC中点, 所以=(-3,0,4),=(-3,-2,2),=(0,4,0),设PA与BM的公垂线的方向向量为m=(x,y,z),,令x=4,m=(4,-3,3), 所以异面直线PA与BM之间的距离为==. 答案: - 15 - 学科网（北京）股份有限公司 $