第7章 第38节 基本立体图形、几何体的表面积与体积(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了立体几何初步的核心考点，涵盖多面体与旋转体的结构特征、直观图画法及表面积体积计算，通过表格对比和知识梳理构建从空间图形认识到度量计算的逻辑体系，引导学生自主整合棱锥棱台等几何体的联系与区别，形成层次分明的知识网络。 亮点在于诊断性自测与进阶式考点突破，开篇知能自测分回源教材、澄清盲点等类型，结合2022-2024新高考真题分析，学生可自主诊断薄弱环节。考点探究通过一题多法（如割补法求体积）培养几何直观和运算能力，每个模块配思维升华总结方法，助力学生自主提升，也为教师因材施教提供精准考点指导依据。

分册二(第七章至第十章) 第七章 立体几何初步、空间向量与立体几何 第38节　基本立体图形、几何体的表面积与体积 考试要求 考题分析 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体)的直观图. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T4、T8、T19 T7、T11 2023年 T12、T14 T9、T14 2024年 T5 T7 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点, 但不一定相等 延长线交于 一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 [注意点]四棱柱的结构特征及关系 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等,垂直于底面　 相交于一点 延长线交于一点 - 轴截 面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展 开图 矩形 扇形 扇环 - 3.立体图形的直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开 图 侧面积公 式 S圆柱侧= 2πrl S圆锥侧= πrl S圆台侧= π(r'+r)l 5.空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 体积 柱体(棱柱 和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h 锥体(棱锥 和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h 台体(棱台 和圆台) S表面积=S侧+ S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 【常用结论】 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系: S直观图=S原图形. 2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R, 则2R=. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,4 1 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　 × 　) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　 × 　) (3)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.(　 × 　) (4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.(　 × 　) 2.(必修第二册P105T4变式)下列几何体中是棱台的是(　　) 【解析】选D.A,C不是由棱锥截成的,不符合棱台的定义,故A,C不符合题意;B中的截面不平行于底面,不符合棱台的定义,故B不符合题意;D符合棱台的定义. 3.长、宽、高分别为1,2,的长方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为________.  【解析】设该球的半径为R,易知长方体的体对角线为球的直径,则2R==2,R=,故该球的表面积S=4πR2=8π. 答案:8π 4.(必修第二册P119习题8.3T2变式)如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个棱锥C-A'DD',则棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比为________.  【解析】设AB=a,AD=b,DD'=c, 则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc.又S△A'DD'=bc,且棱锥C-A'DD'的高为CD=a,所以V棱锥C-A'DD'=S△A'DD'·CD=abc.则剩余部分的体积V剩=abc-abc=abc.故V棱锥C-A'DD'∶V剩=abc∶abc=1∶5. 答案:1∶5 【考点探究　核心突破】 考点一　基本立体图形 角度1　直观图 【例1】在平面直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点,A(2,0),B(2,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中,四边形O'A'B'C'的周长为 (　　) A.8 B.10 C.5+2 D.6+2 【解析】选D.如图,画出直观图, 过点A'作A'D⊥O'C',垂足为D. 因为O'C'=OC=3,A'B'=AB=1,∠C'O'A'=∠B'A'x'=45°,O'A'=2, 所以O'C'∥A'B',O'D=A'D=2,所以C'D=1=A'B',所以四边形A'B'C'D为平行四边形, 则A'D=B'C'=2,故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+2. [变式探究] 将本例中直角梯形OABC修改为如图,结果又是多少? 【解析】如图,画出直观图,过点A'作A'D'∥O'C',交B'C'于点D'. 则O'A'∥B'C',O'A'=OA=1, B'C'=BC=2,O'C'=OC=, 易知O'A'D'C'是平行四边形, 所以A'D'=O'C'=,C'D'=O'A'=1, B'D'=B'C'-C'D'=1,∠A'D'B'=45°, 由余弦定理可得A'B'2=A'D'2+B'D'2-2A'D'·B'D'·cos ∠A'D'B'= +12-2·cos 45°=1, 所以A'B'=1,所以四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=4+. 思维升华 解直观图(斜二测画法)问题的关注点 (1)把握“不变” ①平行性不变; ②平行于x,z轴的线段长度不变. (2)注意“变化” ①平行于y轴的线段平行性不变,长度减半; ②角的大小通常是变化的.如水平放置的等边三角形的直观图中三个角都不是60°. 角度2　展开图 【例2】(2025·承德模拟)在圆锥SO中,轴截面△SAC为腰长为2的等腰直角三角形,B为底面圆上一点,且E为线段AB上一动点,若△ABC为等腰三角形,则SE+CE的最小值为(　　) A.2 B.2(+1) C.3 D.2(+2) 【解析】选B.如图, 因为轴截面△SAC为腰长为2的等腰直角三角形,所以SA=SC=2,AC=4,又因为△ABC为等腰三角形, 所以AB=BC=2,所以SA=SB=AB=2, 将△ABC和△ABS平铺成一个平面,如图, 此时∠S'BC=150°,当S',E,C三点共线时,SE+CE最小,最小值为==2(+1). 思维升华 展开图问题的求解策略 (1)多面体表面展开图因剪开的位置不同可以有不同的形状,但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离,还可将部分空间问题转化为平面问题. (2)旋转体表面展开图一般沿母线剪开,其中圆柱的侧面展开图为矩形,圆锥的侧面展开图为扇形,圆台的侧面展开图为扇环,球面无法展开. 对点训练 　 如图所示,圆台母线AB长为20 cm,上、下底面半径分别为5 cm和10 cm,从 母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,则这条绳长的最小值为________cm.  【解析】作出圆台的轴截面与侧面展开图,如图所示, 如图1,由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,可求得OA=20 cm. 如图2,设∠BOB'=α,由于的长与底面圆Q的周长相等,而底面圆Q的周长为2π×10=20π(cm).扇形OBB'的半径为OA+AB=20+20=40(cm), 扇形OBB'所在圆的周长为2π×40=80π(cm). 所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的. 所以OB⊥OB'.又M为AB的中点,所以OM=30 cm,所以在Rt△B'OM中,B'M2=402+302, 所以B'M=50 cm,即所求绳长的最小值为50 cm. 答案:50 【加练备选】 1.如图所示,在四边形OABC中,OA=2,AB=2,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,则四边形OABC水平放置时,用斜二测画法得到的直观图面积为(　 　) A.5 B.5 C. D. 【解析】选C.如图所示,O'A'B'C'为OABC的直观图,根据斜二测画法的 规则可知O'A'=2,A'B'=,B'C'=3,A'B'平行于y'轴,所以该图形的面积 为S=×××=. 2.正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°,侧棱AB=2,BD平行于过点C的截面CB1D1,则截面CB1D1与正三棱锥A-BCD侧面交线的周长的最小值为 (　　) A.2 B.2 C.4 D.2 【解析】选D.把正三棱锥A-BCD的侧面展开, 两点间的连接线CC'即是截面周长的最小值. 正三棱锥A-BCD中,∠BAD=30°, 所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=2, 所以截面周长的最小值是2. 考点二　空间几何体的表面积与侧面积 【例3】(1)(2024·安康模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上底面积为,下底面积为4,高为2,则该三棱台的表面积为(　　) A.5+3 B.3 C.5+18 D.18 【解析】选A.由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为2和4, 设C1在底面ABC内的射影为H,连接C1H,CH,作HQ⊥BC于点Q, C1H⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,则有C1H⊥BC. 又HQ⊥BC,C1H∩HQ=H,C1H,HQ⊂平面C1HQ,所以BC⊥平面C1HQ, C1Q⊂平面C1HQ,所以BC⊥C1Q. 由BC=4,B1C1=2,BB1=CC1,得CQ=1. 又∠HCQ=,所以HQ=,则C1Q==, 故三棱台的侧面积为××3=3,表面积为5+3. (2)如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为________.  【解析】由题意可得,四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥.如图,过C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,过C作CF⊥AB,垂足为F. 则∠EDC=180°-∠ADC=45°, EC=CD·sin 45°=2, ED=CD·cos 45°=2, 易得四边形AECF为矩形, 所以CF=AE=4,AF=CE=2, 所以BF=AB-AF=3, BC==5. 故圆台的上底面半径r1=2, 下底面半径R=5,高h1=4, 母线长l1=5. 圆锥底面半径r2=2,高h2=2,母线长l2=2. 所以圆台侧面积S1=π(R+r1)l1=π(5+2)×5=35π, 圆锥侧面积S2=πr2l2=π×2×2=4π, 圆台下底面面积S3=πR2=25π. 故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=35π+4π+25π=(60+4)π. 答案:(60+4)π 思维升华 空间几何体表面积的求解策略 1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长、与对应侧面展开图中边的关系. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处理. 对点训练 1.如图1是文祥塔,位于浙江省温州市泰顺县城南象山之上,初名象山塔,后人重修时易名为文祥塔.已知该塔六面七层且第七层塔身可近似地视为一个高为2.8 m、底面边长为2 m的正六棱柱,塔顶可近似地视为一个高为1 m的正六棱锥,\ 如图2所示,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和约为(　　) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.45.6 m2 B.(45.6+6)m2 C.(33.6+6)m2 D.(33.6+6+6)m2 【解析】选A.如图,设正六棱锥的底面正六边形的中心为O,则△OAB为等边三角形,连接点O与边AB的中点H,连接PH,PO, 由已知可得OH⊥AB,PH⊥AB,因为正六边形的边长为2,所以OH==.又正六棱锥的高PO=1,故正六棱锥的侧面的高为PH==2,则该塔的第七层塔身及其塔顶的表面积之和为(2.8×2+2×2×)×6=45.6(m2). 2.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为16,当细沙全部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高度的(中间衔接的细管长度忽略不计).当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此沙堆的侧面积为(　　) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.4π B. 8π C. 32π D. 16π 【解析】选D.细沙在上部圆锥内时的体积V=×π×42×8=,漏入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8,设高为h1,则×π×82·h1=,解得h1=2,所以下部圆锥形沙堆的母线长l==2,故此沙堆的侧面积S侧=π×8×2=16π. 考点三　空间几何体的体积 角度1　公式法求体积 【例4】(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为,而它们的侧面积相等,所以2πr×=πr×即2=, 故r=3,故圆锥的体积为π×9×=3π. 角度2　割补法求体积 【例5】(一题多法)如图是一个以△ABE为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为CDF,已知AD=4,BC=AE=BE=2,EF=3且∠AEB=90°,则所得的几何体的体积为________.  【解析】法一(分割法):如图,过点C作CM∥AB,交AD于点M,作CN∥BE,交EF于点N,连接MN. 由题意可知四边形ABCM,BENC都是矩形,AM=BC=NE=DM=2,CN=BE=2,FN=1,又∠AEB=90°,所以AB=CM==2.所以S△ABE=×2×2=2.因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD,直三棱柱ABE-MCN的体积V1=S△ABE·AM=2×2=4,四棱锥C-MNFD的体积 V2=S四边形MNFD·CN=××(1+2)×2×2=2,所以所求几何体的体积为V1+V2=6. 法二(补形法):如图,延长BC至点M,使得CM=2,延长EF至点N,使得FN=1,连接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为V三棱柱ABE-DMN=×2×2×4=8, V四棱锥D-CMNF=×(×2)×2=2, 所以所求几何体的体积为V三棱柱ABE-DMN-V四棱锥D-CMNF=8-2=6. 答案:6 角度3　等体积法求体积 【例6】(2025·咸阳模拟)已知四棱锥VA-BCDE=16,CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,点P在棱AC上且满足AC=3AP,则三棱锥A-DEP的体积为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.根据题意,设点A到平面BCDE的距离为d,C到平面ADE的距离为h, 则有VA-BCDE=d×S四边形BCDE=d×(S△BCE+S△CDE)=16, 而S△BCE=BC·CE·sin∠BCE,S△CDE=CD·CE·sin∠DCE, 又由CD=3,BC=4,CE平分∠BCD,则S△BCE=S△CDE, 则VA-CDE=d×S△CDE=×(d×S四边形BCDE)=×VA-BCDE=; 故VC-ADE=VA-CDE=,而VC-ADE=h×S△ADE,则有h×S△ADE=, 又由点P在AC上且满足AC=3AP,故P到平面AED的距离为, 则有VP-ADE=VC-ADE=, 故VA-DEP=VP-ADE=. 思维升华 求空间几何体体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积,直接利用公式求解 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积 对点训练 1.(2025·八省联考)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为(　　) A.π B.π C.2π D.3π 【解析】选A.h==,V=πr2h=π·12×=π. 2. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,点D为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为(　　) A.1 B. C. D. 【解析】选C.将直三棱柱ABC-A1B1C1展开成矩形ACC1A1,如图,连接AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小. 因为AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°,所以AB⊥BC,因为BB1⊥BC,AB∩BB1=B 且AB,BB1⊂平面ABB1A1,所以BC⊥平面ABB1A1, 又BC∥B1C1,则B1C1⊥平面ABB1A1,即B1C1⊥平面ABD, 点D为侧棱BB1上的动点,当AD+DC1最小时=,即=,得BD=1, 又△ABD为直角三角形,此时三棱锥D-ABC1的体积为:==S△ABD·B1C1=××1×1×2=. 3.(一题多法)(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为________.  【解析】法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1∶2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形,下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=×3×(22+42+)=28. 法二:由题意易求正四棱锥高为6,V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=×4×4×6-×2×2×3=28. 答案:28 4.(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是________,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是________.  【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,母线为l,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形,所以圆锥的高h=r,母线l=2r, 由题可知h=2R,所以球的半径R=r, 所以圆锥的体积V1=πr2×r=πr3, 球的体积V2=πR3=π×(r)3=πr3, 所以==.圆锥的表面积S1=πrl+πr2=3πr2, 球的表面积S2=4πR2=4π×(r)2=3πr2,所以==1. 答案:　1 【加练备选】 1. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”意思为:今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图),下底面宽AD=3丈,长AB=4丈,上棱EF=2丈,EF与平面ABCD平行,EF与平面ABCD的距离为1丈,则它的体积是(　　) A.4立方丈 B.5立方丈 C.6立方丈 D.8立方丈 【解析】选B.如图,过点E作EG⊥平面ABCD,垂足为点G,过点F作FH⊥平面ABCD,垂足为点H,过点G作PQ∥AD,交AB于点Q,交CD于点P,过点H作 MN∥BC,交AB于点N,交CD于点M, 由图形的对称性可知,AQ=BN=1,QN=2,且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形. 则几何体的体积V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-NBCM= EG·S矩形AQPD+S△EPQ·NQ+FH·S矩形NBCM=×1×1×3+×3×1×2+×1×1×3=5(立方丈). 2.某圆台上底面圆的半径为1,下底面圆的半径为2,侧面积为3π,则该圆台的体积为(　　) A.3π B. C.π D.π 【解析】选B.设圆台的母线长为l,高为h, 因为圆台上底面圆的半径为1,下底面圆的半径为2,侧面积为3π,可得π(R+r)×l=π(2+1)·l=3π,解得l=, 所以圆台的高为h===1, 所以圆台的体积为V=π(R2+Rr+r2)h=π(4+2+1)×1=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $