第6章 第33节 等差数列(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了等差数列专题，涵盖概念、通项公式、前n项和公式及11条常用性质，通过知识梳理表、易错辨析题引导学生自主构建知识网络，体现考点的系统性和层次性。 亮点在于诊断性自测与分层考点探究，如知能自测包含回源教材、澄清盲点、结论应用三类题目，考点探究设置一题多法及思维升华总结，培养学生数学思维与逻辑推理能力。每个考点配对点训练，帮助学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第33节　等差数列 考试要求 考题分析 1.理解等差数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - T3 2023年 T7,T20 T18 2024年 T19 T12 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.等差数列的有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1-an=d(n∈N*,d为常数) 通项公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式为an=a1+(n-1)d 等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b 2.等差数列的前n项和公式 已知条件 前n项和公式 a1,an,n Sn= a1,d,n Sn=na1+d 【常用结论】 1.通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). 2.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. 3.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. 4.数列Sm,-Sm,-,…也是等差数列. 5.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}为等差数列. 6.若数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 7.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 8.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 9.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数),这里公差d=2A. 10.在等差数列{an}中,若项数为偶数2n,则=n(a1+)=n(an+),S偶-S奇=nd,=;若项数为奇数2n-1,则=(2n-1)an,S奇-S偶=an,=. 11.若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,则=(其中bn,Tn≠0). 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1 2,4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (　×　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2=an+. (　√　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (　×　) (4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列. (　√　) 2.已知等差数列{an}满足3(a2+a6)+2(a6+a10+a14)=24,则数列{an}的前13项和为(　　) A.26 B.39 C.52 D.104 【解析】选A.由等差数列的性质可得a2+a6=2a4,a6+a10+a14=3a10, 所以由3(a2+a6)+2(a6+a10+a14)=24,可得3×2a4+2×3a10=24,解得a4+a10=4, 所以数列{an}的前13项和S13===×4=26. 3.(多选题)(选择性必修第二册P23·例9变式)已知0<a<1,Sn是等差数列{an}的前n项和,则与·的大小关系可能是(　　) A.>· B.=· C.<· D.无法判定 【解析】选ABC.Sn+-2=(-)-(-Sn)=d(d为公差). 当d>0时,>·;当d=0时,=·;当d<0时,<·. 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,Tn为数列{}的前n项和,若S4=12,S8=40,则Tn=___________.  【解析】设数列{an}的首项为a1,公差为d,因为{an}是等差数列,所以Sn=na1 +d,=a1+(n-1)·,所以{}是首项为a1,公差为的等差数列. 由S4=12,S8=40得解得因此Tn=n+×= (n∈N*). 答案: 【考点探究　核心突破】 考点一　等差数列的基本量计算 【例1】(1)等差数列{an}(n∈N*)中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7= (　　) A.40 B.30 C.20 D.10 【解析】选B.设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d,a7-a4=2a1,则3d=2a1, a2=10,则a1+d=a1+a1=10,解得a1=6,d=4,a7=a1+6d=6+24=30. (2)(一题多法)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和. 若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= (　　) A.25 B.22 C.20 D.15 【解析】选C.法一: 设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2,所以S5=5a1+×d=5×2+10=20. 法二: a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,从而d==1,于是a3=a4-d=5-1=4, 所以S5=5a3=20. (3)(2024·新高考Ⅱ卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=___________.  【解析】设an=a1+(n-1)d,则由条件得2a1+5d=7,4a1+7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S10=5(2a1+9d)=95. 答案:95 思维升华 解决等差数列基本量运算的思想方法 (1)方程思想:等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换求解. 对点训练 1.(2025·南京模拟)已知公差大于0的等差数列{an}的前6项和为-24,a2a5=7,则a7=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d(d>0), 则a2=a1+d,a5=a1+4d,前6项和S6=6a1+d=6a1+15d, 由题意得又d>0,解得所以an=-9+2(n-1)=2n-11, 所以a7=2×7-11=3. 2.(2025·南阳模拟)已知等差数列{an}的公差为,且a2=,则a1+a4+a7+…+a133= (　　) A.2 025 B.2 023 C.2 021 D.2 019 【解析】选A.因为{an}是公差为的等差数列,所以{a3n-2}是公差为2的等差数列. 易得a1=-=1,令3n-2=133,得n=45,a1+a4+a7+…+a133=1×45+×2=2 025. 考点二　等差数列的判定与证明 【例2】(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙: {}为等差数列,则 (　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】选C.(法一)甲:{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d, 所以=n+(a1-),所以-=n+(a1-)- [(n-1)+ (a1-) ]=,因此{}为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙: {}为等差数列,即-==为常数,设为t, 即=t,则Sn=n-t·n(n+1),则=(n-1)an-t·n(n-1)(n≥2), 两式相减得:an=n-(n-1)an-2tn,即-an=2t,对n=1也成立, 因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件. (法二)甲:{an}为等差数列,设数列{an}的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d, 则=a1+d=n+a1-,因此{}为等差数列,即甲是乙的充分条件; 反之,乙: {}为等差数列,即-=D,=S1+(n-1)D, 即Sn=nS1+n(n-1)D,=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 当n≥2时,两式相减得:Sn-=S1+2(n-1)D, 当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件. 思维升华 证明等差数列的常用方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有-an等于同一个常数; (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2=an+; (3)通项公式法:得出an=pn+q(p,q是常数); (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn(A,B是常数). 对点训练 (多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,则下列结论正确的有 (　　) A.{an}是递减数列 B.{an}是等差数列 C.{Sn}是递增数列 D.S9<0 【解析】选BD.Sn=n2-10n,当n=1时,a1=S1=1-10=-9; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11, 注意到n=1时也满足a1=2×1-11,所以数列{an}的通项公式为an=2n-11,n∈N*, an+1-an=2,{an}是递增数列,A选项错误;B选项正确; S1=1-10=-9,S2=22-20=-16,S1>S2,{Sn}不是递增数列,C选项错误; S9=92-10×9=-9<0,D选项正确. 考点三　等差数列的性质及其应用 角度1　等差数列“项”的性质及应用 【例3】(2025·菏泽模拟)在等差数列{an}中,a3+a24=20,则S26= (　　) A.130 B.260 C.320 D.520 【解析】选B.根据等差数列求和S26====260. 对点训练 (2025·运城模拟)已知数列{an}是等差数列,a3-a5=2,则a5+a10-a8= (　　) A.4 B.-2 C.-4 D.-8 【解析】选C.因为a3-a5=2,则a3-2a5=4,又2a5=a3+a7,则a3-(a3+a7)=4, 解得a7=-4,所以a5+a10-a8=a7+a8-a8=a7=-4. 角度2　等差数列的前n项和的性质及应用 【例4】(1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为90,则它的前3m项和为 (　　) A.130 B.150 C.180 D.210 【解析】选C.因为等差数列{an}的前n项和Sn中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列, 即30,60,S3m-90成等差数列,所以S3m-90=2×60-30,所以S3m=180. (2)(2025·合肥模拟)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则= (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由等差数列前n项和公式可设:Sn=kn(n+3),Tn=kn(3n+5),k≠0, 从而a5=S5-S4=40k-28k=12k,b2+b6=2b4=2(T4-T3)=2(68k-42k)=52k,所以==. 对点训练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=30,S6=51,则S9= (　　) A.54 B.63 C.72 D.135 【解析】选B.因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6为等差数列, 即30,51-30,S9-51成等差数列,所以2×(51-30)=30+(S9-51),解得S9=63. 2.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且=,则= (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.因为{an},{bn}均为等差数列,所以===, 因为=,所以==. 角度3　等差数列前n项和的最值 【例5】(1)(2025·烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,且S3=S16,则Sn取最大值时,n= (　　) A.9 B.10 C.9或10 D.10或11 【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式, 得:S3=3a1+d=3a1+3d,S16=16a1+d=16a1+120d, 因为S3=S16,所以3a1+3d=16a1+120d,即d=-a1,又因为a1>0,所以d<0, 由此可知,数列{an}是单调递减数列, 点(n,Sn)在开口向下的抛物线上,又因为S3=S16, 所以点(3,S3)与点(16,S16)关于直线x=对称, 所以当n=9或n=10时,Sn最大. (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-9,公差d=2,则Sn的最小值为 (　　) A.-45 B.-35 C.-25 D.-15 【解析】选C.由题设an=a1+(n-1)d=2n-11,令an=2n-11≤0,可得n≤, 又n∈N*,故n≤5时an<0,n≥6时an>0,所以n=5时Sn最小, 即最小为S5==5a3=5×(-9+2×2)=-25. 思维升华 等差数列前n项和最值的求法 (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法 ①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm; ②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 对点训练 1.等差数列{an}中,a1>0,S7=S9,则使得前n项的和最大的n值为 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】选B.在等差数列{an}中,a1>0,由S7=S9,可得a8+a9=0, 所以a8>0,a9<0,且数列{an}为递减数列,所以使得前n项的和最大的n值为8. 2.(2025·南通模拟)在等差数列{an}中,若a4+2a9=a2=8,则下列说法错误的是 (　　) A.a1=9 B.S10=45 C.Sn的最大值为45 D.满足Sn>0的n的最大值为19 【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d,则a4+2a9=a2+2d+2(a2+7d)= 3a2+16d=24+16d=8,解得d=-1;对于A,a1=a2-d=8-(-1)=9,A正确; 对于B,S10=10a1+d=90-45=45,B正确; 对于C,因为Sn=na1+d=9n-=-n2+n=-(n-)2+, 所以当n=9或10时,=-×+=45,C正确; 对于D,由Sn=-n2+n>0得:0<n<19,又n∈N*,满足Sn>0的n的最大值为18,D错误. - 10 - 学科网（北京）股份有限公司 $