拓展拔高3 嵌套函数的零点问题(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高3　嵌套函数的零点问题 【高考考情】 函数的零点问题是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查二次函数与复合函数相关的零点问题,与函数的图象性质交会.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,再将复合函数拆解为两个相对简单的函数,最后借助函数的图象、性质求解. 　　我们把形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式: 一、“f(f(x))”型 　　这一类型是同一个函数f(x)自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设f(x)=t,然后根据题设条件解出相应t的值或范围,最后利用函数f(x)或利用函数y=f(x)与y=t的图象关系解得问题. 二、“f(g(x))”型 　　这一类型是两个函数f(x)、g(x)的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设g(x)=t,然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值,又是y=f(t)的自变量,或利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的性质,或作出并利用y=f(t)与t=g(x)两个函数的图象来解决问题. 类型一　嵌套函数零点个数的判断 【例1】(1)已知函数f(x)=则方程f(f(x))=1的实数根的个数为(　　) A.7 B.5 C.3 D.2 【解析】选B.令f(x)=t,则f(t)=1. ①当t≤2时,2|t|-1=1, 所以2|t|=2,所以|t|=1,即t=±1. ②当t>2时,=1,所以t=3. 画出函数f(x)的图象,如图所示, 若t=-1,即f(x)=-1,无解; 若t=1,直线y=t=1与y=f(x)的图象有3个交点,即f(f(x))=1有3个不同实根; 若t=3,直线y=t=3与y=f(x)的图象有2个交点,即f(f(x))=1有2个不同实根. 综上所述,方程f(f(x))=1的实数根的个数为5. (2)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2-f(x)的零点个数为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选C.因为当x∈(0,2]时,f(x)=(x-1)2, 当x>2时,f(x)=f(x-2)+1, 所以将f(x)在区间(0,2]上的图象向右平移2个单位长度,同时再向上平移1个单位长度,得到函数f(x)在(2,4]上的图象.同理可得到f(x)在(4,6],(6,8],…上的图象.再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(-∞,0)上的图象,从而得到f(x)在其定义域内的图象,如图所示,令g(x)=0,得f(x)=0或f(x)=1,由图可知直线y=0与y=1和函数y=f(x)的图象共有6个交点,所以函数g(x)共有6个零点. 【思维升华】 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 第一步:换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点; 第二步:依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 类型二　求嵌套函数零点中的参数 【例2】(1)设m是不为0的实数,已知函数f(x)=若函数F(x)=2[f(x)]2-mf(x)有7个零点,则m的取值范围是 (　　) A.(-2,0)∪(0,16) B.(0,16) C.(0,2) D.(-2,0)∪(0,+∞) 【解析】选C.f(x)的图象如图所示, 由F(x)=f(x)[2f(x)-m]=0,得f(x)=0或2f(x)-m=0, 当f(x)=0时,f(x)有3个零点,当2f(x)-m=0时,f(x)=, 即y=f(x)与y=有4个交点, 所以0<<1,解得0<m<2. (2)函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.  【解析】设t=f(x),令g(x)=f(f(x))-a=0,则a=f(t). 在同一平面直角坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图). 易知当a<-1时g(x)只有一个零点; 当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1. 当t1<-1时,t1=f(x)有一解; 当t2≥-1时,t2=f(x)有两解. 综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点. 答案:[-1,+∞) 【思维升华】 已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围. 【对点训练】 1.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2的零点个数为 (　　) A.3 B.4 C.2 D.1 【解析】选A.令μ=f(x), 令g(x)=0,则f(μ)-2=0, 当μ>1时,则f(μ)=ln(μ-1), 所以ln(μ-1)-2=0,μ=e2+1; 当μ≤1时,f(μ)=-μ+1,则-μ+1-2=0,解得μ=-1. 作出函数μ=f(x)的图象如图所示,直线μ=-1与函数μ=f(x)的图象只有1个交点,直线μ=e2+1与函数μ=f(x)的图象有2个交点,因此函数g(x)有3个零点. 2.(2024·嘉兴模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有6个零点,则a的取值范围是(　　) A.(2,4] B.(2,+∞) C.(2,] D.[,4] 【解析】选C.设t=f(x),则由g(x)=[f(x)]2-af(x)+1,可设y=h(t)=t2-at+1, 画出f(x)的图象,如图, 由图可知,当t<-1时,t=f(x)有且仅有一个解; 当t=-1或t>2时,t=f(x)有两个不同的解; 当-1<t≤2时,t=f(x)有三个不同的解, 令h(t)=0,即t2-at+1=0, 因为函数g(x)有6个零点, 故需t2-at+1=0在(-1,2]内有两个不同的根, 所以解得2<a≤, 即a的取值范围是(2,]. - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $