拓展拔高2 指数、对数、幂值的比较大小(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统整合指数、对数、幂值比较大小的五大核心方法，按“方法类型—例题解析—思维升华—对点训练”逻辑架构知识网络，通过阶梯式问题链引导学生自主梳理单调性应用、临界值比较等方法规律，形成系统化解题策略。 亮点在于诊断性自测与进阶式方法指导，每个类型配套2道对点训练题帮助学生自主诊断薄弱环节，通过构造函数、取特殊值等方法培养数学思维与逻辑推理能力。思维升华模块提炼解题通法，助力学生个性化知识内化，教师可依据训练反馈精准施教，提升复习实效。

拓展拔高2 指数、对数、幂值的比较大小 【高考考情】 指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型,主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时,既有常规方法,也有一些灵活巧妙的方法,一般以选择题或填空题的形式出现. 类型一　利用函数单调性比较大小 【例1】设a=(),b=(),c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.b>a>c 【解析】选D.因为函数y=()x为减函数, 则0<a=<()0=1, 因为函数y=()x为增函数, 则b=()>()0=1, 因为函数y=x为减函数, 则c=<lo1=0,因此b>a>c. 【思维升华】 利用指数、对数、幂函数的单调性比较大小 (1)底数相同,指数不同,如和,利用指数函数y=ax(a>0且a≠1)的单调性比较大小. (2)指数相同,底数不同,如和,利用幂函数y=xa的单调性比较大小. (3)底数相同,真数不同,如logax1和logax2,利用对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性比较大小. 【对点训练】 1.已知a=log23,b=log46,c=log89,则a,b,c的大小顺序为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 【解析】选C.由于b=log46=log2,c=log89=log2, 又因为3>>,且函数y=log2x为增函数,所以c<b<a. 2.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 【解析】选C.因为函数y=()x为增函数, 所以()<(),即a<b, 又因为函数y=为增函数, 所以()<(),即b<c,故c>b>a. 类型二　借助临界值比较大小 【例2】已知a=log52,b=,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【解析】选A.因为log51<log52<log5, 所以0<a<, 因为b==log0.70.1>log0.70.7, 所以b>1,因为0.71<0.70.3<0.70, 所以0.7<c<1,所以a<c<b. 【思维升华】 当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,借助中间值进行大小关系的判定. 【对点训练】 1.已知a=20.2,b=1-2lg 2,c=2-log310,则a,b,c的大小关系是(　　) A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 【解析】选B.由题意可得a=20.2>20=1, b=1-2lg 2=1-lg 4,且0<lg 4<1,则0<b<1, 因为log310>log39=2,则c=2-log310<0, 所以c<b<a. 2.设a=2 02,b=log2 023,c=log2 024,则(　　) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【解析】选D.a=2 02>2 0230=1,0=log2 0231<b=log2 023<log2 0232 023=1, c=log2 024<log2 0241=0, 故c<0<b<1<a.即a>b>c. 类型三　利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 【例3】(1)(作差法)已知3m=4,a=2m-3,b=4m-5,则(　　) A.a>0>b B.b>0>a C.a>b>0 D.b>a>0 【解析】选B.由3m=4,得m=log34, 因为log23-log34=-=>==>0, 所以log23>log34,log34-log45=-=> ==>0, 所以log34>log45, 所以b=4m-5=-5>-5=0, a=2m-3=-3<-3=0, 所以b>0>a. (2)(作商法)已知x=6log643,y=log364,z=log83,则(　　) A.x>y>z B.z>x>y C.y>z>x D.y>x>z 【解析】选A.x=6log643=log23=log23>0,y=log364=log34=>0, z=log83=log23>0. 由==()2>1,所以y>z, 由==()2, 而log23>log22=,则>()2>1, 所以x>y.综上,x>y>z. (3)(乘方法)已知a=log35,b=log57,c=,则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b 【解析】选D.因为53=125>()3=81, 所以5>,所以log35>log3=,即a>c. 因为73=343<=625,所以7<, 所以log57<log5=, 即b<c.综上,a>c>b. 【思维升华】 利用比较法比较大小的方法 若待比较大小的式子或值,底数、指数、真数均不相同,且不能找到中间量,可考虑利用比较法:通过作差与0的比较来判断两数的大小,有时需要变形后(如平方变形后等)作差,而且作差后为判断差的符号,需要借助基本不等式等工具;通过作商与1的比较来判断两数的大小应注意作商的前提是参与作商的式子均为同号. 【对点训练】 1.设a=log62,b=log123,c=log405,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b 【解析】选D.因为=log312=1+log34=1+=1+,=log540=1+log58=1+ =1+, 所以-=-===<0, 所以<,又b>0,c>0,所以b>c; 因为=1+log58<1+log5=1+log5=,所以c>, 因为=log26=1+log23>1+log2=1+log2=,所以a<, 所以a<c.综上,a<c<b. 2.已知a=0.8-0.4,b=log53,c=log85,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 【解析】选B.由==<=<1,得b<c, 又因为c<1<a=0.8-0.4,所以b<c<a. 类型四　构造函数比较大小 【例4】(1)(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 【解析】选B.设f(x)=2x+log2x, 则f(x)为增函数, 因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b, 所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=log2=-1<0, 所以f(a)<f(2b),所以a<2b,排除A选项. f(a)-f(b2)=2a+log2a-(+log2b2)=22b+log2b-(+log2b2)=22b--log2b, 当b=1时,f(a)-f(b2)=2>0, 此时f(a)>f(b2),有a>b2, 当b=2时,f(a)-f(b2)=-1<0, 此时f(a)<f(b2),有a<b2,所以排除C,D选项. 【光速解题】选B.因为2a+log2a=4b+2log4b=4b+log2b,且a>0,b>0, 令b=1,则2=21+log21<2a+log2a=4<22+log22=5, 则1<a<2,可排除A,D选项. 令b=2,则23+log23<2a+log2a=17<24+log24=18,则3<a<4,可排除C选项. (2)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 【解析】选B.a==,c==, 令f(x)=,所以a=f(),b=f(2),c=f(e), 所以f'(x)=, 所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0, 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以f(x)max=f(e)==c, 所以a<c,b<c, 又b====f(4), 因为4>, 所以f(4)<f(),所以b<a,所以b<a<c. 【思维升华】 构造函数比较大小的方法 若待比较的式子或数中具有相同的结构形式或者在适当变形后具有相同的结构形式,常将式子或数中相同部分看作变量x,通过灵活构造函数并利用函数的单调性,巧妙比较大小. 常见的方法是: (1)直接或根据变形后的关系式构造函数; (2)将待求的式子或数变形后构造函数. 【对点训练】 已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>c>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 【解析】选D.因为a===,c==,设f(x)=,x>0, 则f'(x)==, 所以当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以a=f(2)<f(e)=c,b=f(3)<f(e)=c, 又因为a===<===b,所以c>b>a. 类型五　取特殊值比较大小 【例5】已知a>b>1,0<c<,则下列结论正确的是(　　) A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 【解析】选C.取特殊值,令a=4,b=2,c=, 则ac=,bc=,所以ac>bc,故A错误; abc=4×=,bac=2×=,所以abc>bac,故B错误; logac=log4=-1,logbc=log2=-2,alogbc=-8,blogac=-2,所以alogbc<blogac,logac>logbc,故C正确,D错误. 【思维升华】 当要比较大小的几个量不是具体数值,而是具有某种等量关系的几个字母时,可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值,通过这组特殊数值来确定它们的大小关系. 【对点训练】 (一题多法)(2024·岳阳模拟)已知正数a,b,c,满足aln b=b·ec=c·a,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 【解析】选D.法一(取特殊值法):取b=e,则c=1,a=e2,显然c<b<a. 法二(构造函数法):a,b,c均为正数,因为aln b=c·a,所以c=ln b, 设aln b=b·ec=c·a=t(t>0), 则a=,b==,c=ln b, 令f(x)=ln x-x(x>0),则f'(x)=-1=, 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以f(x)≤f(1)=-1<0,即ln x<x, 所以ln b<b,因为=>1,所以a>b, 又因为c=ln b,得c<b.综上,c<b<a. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $