第2章 第14节 函数的零点与方程的解、二分法(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数零点与方程解、零点存在定理及二分法等核心考点，按概念内涵、定理应用、综合解题的逻辑构建知识网络，通过知能自测的易错辨析和问题链设计，引导学生自主夯实基础，形成系统性认知。 亮点在于分层诊断与进阶引导，开篇设置易错辨析、教材改编题等自测工具，结合考点探究中的一题多法和思维升华，培养学生数学思维与数学语言表达能力。每个考点配备对点训练与微进阶拓展，助力学生自主诊断薄弱环节，教师可依学情精准指导，提升复习实效。

第14节　函数的零点与方程的解、二分法 考试要求 考题分析 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. [注意点]函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论】 1.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,3 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　×　) (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根. (　√　) (3)若函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0. (　×　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. (　√　) 2.(必修第一册P143例1改编)函数f(x)=的零点个数为 (　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【解析】选B.或 解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. 3.函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是________.  【解析】依题意函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,所以k≠0,函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f(1)·f(2)≤0,即(k+1)(2k+1)≤0,解得-1≤k≤-. 答案:[-1,-] 4.函数f(x)=ex+3x的零点有________个.  【解析】f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有1个零点. 答案:1 【考点探究　核心突破】 考点一　函数零点所在区间的判定 【例1】(1)(2024·唐山模拟)函数f(x)=1-xlog2 x的零点所在的区间是(　　) A.(,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 【解析】选C.因为y=与y=log 2x的图象只有一个交点,所以f(x)只有一个零点.又因为f(1)=1,f(2)=-1,f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=1-xlog 2x的零点所在的区间是(1,2). (2)(2025·广州模拟)定义开区间(a,b)的长度为b-a.经过估算,函数f(x)=-的零点属于开区间________(只需写出一个符合条件且长度不超过的开区间即可).  【解析】因为y=,y=-都是减函数,所以f(x)=-是减函数,且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 又f(1)=-<0,f()=-<0,f)=(-(>0,即f()f)<0,所以函数f(x)在(,)上有零点,且-=,符合题意,所以函数f(x)=-的零点属于(,)(答案不唯一). 答案:(,)(答案不唯一) 【思维升华】 确定零点所在区间的方法 (1)定理法:利用函数零点存在定理确定. (2)图象法:将f(x)拆成f(x)=g(x)-h(x),画出h(x)与g(x)的图象,从而确定方程g(x)=h(x)的根所在的区间. 【对点训练】 1.(一题多法)函数f(x)=log3 x+x-2的零点所在的区间为 (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【解析】选B.法一:函数f(x)=log3 x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在(0,+∞)上单调递增. 由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log 32>0,根据函数零点存在定理可知,函数f(x)=log 3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内. 法二:函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log 3x与h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2). 2.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为 (　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【解析】选C.设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由题中表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-2=1.386-2 <0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4). 3.函数f(x)=log 2x+2x-6,函数f(x)的零点所在的区间为(n,n+1)且n∈N,则n=________.  【解析】函数f(x)=log 2x+2x-6的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增, f(2)=log 22+22-6=-1<0, f(3)=log 23+23-6=log 23+2>0, 即f(2)·f(3)<0,因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内,所以n=2. 答案:2 微进阶　二分法 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点x1. (3)计算f(x1),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(x1)=0(此时x0=x1),则x1就是函数的零点. ②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)). ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4). [典例](1)如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是 (　　) A.[-2.1,-1] B.[4.1,5] C.[1.9,2.3] D.[5,6.1] 【解析】选C.结合图象可得A,B,D选项每个区间的两个端点函数值异号,可以用二分法求出零点,C选项区间两个端点函数值同号,不能用二分法求零点. (2)用二分法求方程-+1=0在区间(2,3)内的根的近似值,至少经过________次二分后精确度达到0.1 (　　)  A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.因为开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为,故有<0.1,解得n≥4,所以至少经过4次二分后精确度达到0.1. (3)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________.  【解析】取区间(1,2)的中点x1=,令f(x)=x3-2x-1,则f()=-4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在区间为(,2). 答案:(,2) 考点二　函数零点个数的判定 【例2】(1)(一题多法)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.法一:因为f(0)·f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 法二:设y1=2x,y2=2-x3, 在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示, 在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数.故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. (2)(2024·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x-2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,设函数g(x)=f(x)-log 7|x|,则函数g(x)的零点个数为 (　　) A.6 B.8 C.12 D.14 【解析】选C.依题意可知,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x-2)=f(x),所以f(x)=f(-x)=f(-x-2)=f(x+2),即函数f(x)是以2为周期的偶函数,令g(x)=f(x)-log 7|x|=0,即f(x)=log 7|x|,在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)和y=log 7|x|的图象,如图所示. 由图象可知,两函数图象共有12个交点,即函数g(x)共有12个零点. (3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 024x+log 2 024x,则函数f(x)的零点个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.作出函数y=2 024x和y=-log 2 024x的图象如图所示, 可知函数f(x)=2 024x+log 2 024x在x∈(0,+∞)上只有一个零点,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)在x∈(-∞,0)上只有一个零点,又f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数是3. 【思维升华】 判断函数零点个数的方法 (1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理不仅要求函数图象在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法:令f(x)=0,转化为两个函数相等的形式,画出两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【对点训练】 1.(一题多法)已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.法一(直接法):由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时,得ln x=3或ln x=-3,解得x=e3或x=e-3; 当x≤0时,得-2x(x+2)=3,无解. 所以函数y=f(x)-3的零点个数是2. 法二(图象法):作出函数f(x)的图象,如图,函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数,作出直线y=3,由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点,故函数y=f(x)-3的零点个数是2. 2.函数f(x)=·cos x的零点个数为________.  【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-6,6].令f(x)=0,得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=+kπ,k∈Z,又x∈[-6,6],所以x为-,-,,.故f(x)共有6个零点. 答案:6 考点三　函数零点的应用 角度1　根据函数零点个数求参数 【例3】(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为 (　　) A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) 【解析】选A.作出y=f(x)的图象(实线),如图所示, g(x)=f(x)-a有4个零点,即y=f(x)与y=a的图象有4个交点,所以实数a的取值范围为(0,4). (2)(2023·天津卷)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为________.  【解析】当a=1时,函数f(x)只有一个零点-1,不符合题意;当a=0时,函数f(x)只有一个零点-1,不符合题意;当a=-1时,函数f(x)有两个零点,分别为-1和-,符合题意. 若a≠0且a≠±1,分以下两种情况: ①当x2-ax+1≥0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x-(x2-ax+1)=(a-1)x2+(a-2)x-1 =(x+1)[(a-1)x-1],令f(x)=0,由a≠0且a≠±1,得x1=-1,x2=,且x1≠x2.又当x1=-1时,ax2-2x-(x2-ax+1)=a+2-(x2-ax+1)=0,所以a=(x2-ax+1)-2,则当x2-ax+1≥0时,a≥-2且a≠0,a≠±1;当x2=时,ax2-2x-(x2-ax+1)=--(x2-ax+1)=0,所以=x2-ax+1,则当x2-ax+1≥0时,a≤2且a≠0,a≠±1. ②当x2-ax+1<0时,f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|=ax2-2x+(x2-ax+1)=(a+1)x2-(a+2)x+1 =(x-1)[(a+1)x-1],令f(x)=0,由a≠0且a≠±1,得x3=1,x4=,且x3≠x4.同理,当x3=1时,x2-ax+1<0,则a>2;当x4=时,x2-ax+1<0,则a<-2. 综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 【思维升华】 已知函数零点求参数的主要方法 (1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数; (2)数形结合; (3)分离参数,转化为求函数的最值. 角度2　根据函数零点范围求参数 【例4】(1)若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 【解析】选C.因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,且函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3. (2)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. (-∞,) B.(0,) C.(-∞,0) D.(,+∞) 【解析】选B.由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0, 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=,又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,). 因此实数a的取值范围是(0,). 【思维升华】 根据函数零点的范围求参数常用的方法有:数形结合法(将函数的零点转化为函数图象在指定范围与x轴交点的横坐标)、由函数零点存在定理求解不等式法. 【对点训练】 1.已知函数f(x)=log 2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为 (　　) A. (-,0) B. (-∞,-)∪(0,+∞) C. (-∞,-]∪(0,+∞) D.[-,0) 【解析】选D.由于函数y=log 2(x+1),y=m-在区间(1,3]上单调递增,所以函数f(x)在(1,3]上单调递增,由于函数f(x)=log 2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点, 则即解得-≤m<0. 因此,实数m的取值范围是[-,0). 2.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示, 由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点. 【加练备选】 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x+a,若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围为___________.  【解析】函数g(x)=f(x)-x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与y=x-a的图象有3个交点. 画出函数f(x)和y=x-a的图象,如图所示. 根据图象易知,要使函数f(x)和y=x-a的图象有3个交点,则-<-a≤0,即0≤a<. 答案:[0,) - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $