第2章 第13节 函数的图象(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数图象专题，涵盖描点法与变换法作图、图象识别及性质应用等核心考点，按“基础方法-变换规律-性质应用”层次构建知识网络，通过问题链（如易错辨析题）和任务单（如作图例题）引导学生自主推导图象变换逻辑，形成系统性认知框架。 亮点在于诊断性自测与个性化学习设计，开篇设3道易错辨析题（如平移变换方向判断）诊断盲点，结合2024年全国甲卷真题演练，培养数学思维与直观想象素养。每个考点配思维升华方法指导和错题归因表，帮助学生自主诊断提升，教师可通过学情数据精准指导，实现因材施教。

第13节　函数的图象 考试要求 考题分析 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 (1)确定函数的定义域. (2)化简函数的解析式. (3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势). (4)描点、连线,画出函数的图象. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)伸缩变换 ①y=f(x)y=f(ax). ②y=f(x)y=af(x). (3)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x). ②y=f(x)y=f(-x). ③y=f(x)y=-f(-x). ④y=ax(a>0且a≠1)y=loga x(a>0且a≠1). (4)翻折变换 ①y=f(x)y=|f(x)|. ②y=f(x)y=f(|x|). [注意点]函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度,其中是把x变成x-. 【常用结论】 1.函数图象自身的轴对称 (1)f(-x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称; (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x) ⇔f(-x)=f(2a+x); (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. 2.函数图象自身的中心对称 (1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称; (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔ f(-x)=-f(2a+x); (3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x). 3.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程); (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称; (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称; (4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,4 1 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. (　×　) 【解析】(1)令f(x)=-x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=-x,两者图象不同,错误. (2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(　×　) 【解析】(2)y=f(1-x)=f[-(x-1)],所以可由y=f(-x)向右平移1个单位长度得到,错误. (3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同. (　×　) 【解析】(3)当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标的伸缩变换得到的,两图象不同,错误. (4)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. (　×　) 【解析】(4)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,错误. 2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是 (　　) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 3.函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线________对称.  【解析】由-2-x=x+2,得x=-2,所以函数y=f(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称. 答案:x=-2 4.(必修第一册P102T13)如图,函数y=f(x)的图象由曲线OA和线段AB构成.当0≤x≤2时,f(x)=ax+k(a>0且a≠1,k∈R),则函数f(x)的解析式为______________.  【解析】当0≤x≤2时,因为点O(0,0),A(2,3)在f(x)的图象上,所以解得故当0≤x≤2时,f(x)=2x-1;当2<x≤5时,设f(x)=cx+b,因为点A(2,3),B(5,0)在f(x)的图象上,所以解得故当2<x≤5时,f(x)=-x+5. 所以f(x)= 答案:f(x)= 【考点探究　核心突破】 考点一　作函数的图象 【例1】作出下列各函数的图象: (1)y=; (2)y=|x2-4x-5|; (3)y=()|x-1|-1. 【解析】(1)原函数解析式可化为y=2+,故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示. (2)y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变,将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到,如图所示. (3)y=()|x-1|-1,其图象可看作由函数y=()|x|的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到, 而y=()|x|=其图象可由y=()x的图象保留x≥0时的图象,然后将该部分关于y轴对称得到,则y=(-1的图象如图所示. 【思维升华】 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图. [提醒]①画函数的图象一定要注意定义域; ②利用图象变换法时要注意变换顺序. 【对点训练】 作出下列函数的图象: (1)y=()|x|; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1. 【解析】(1)先作出y=()x的图象,保留y=()x图象中x≥0的部分,再作出y=()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分, 即得y=()|x|的图象,如图①实线部分. (2)将函数y=log 2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log 2(x+1)|的图象,如图②. (3)因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象, 得图象如图③. 考点二　函数图象的识别 【例2】(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]上的图象大致为 (　　) 【解析】选B.f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x,则f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin (-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),故f(x)为偶函数,故A,C错误; f(1)=-1+(e1-e-1)sin 1>-1+(e-)sin =-1->->0,故D错误,B正确. (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.由题中图象可知,f(x)图象关于y轴对称,为偶函数,故A,B错误; 当x>0时,恒大于0,与题中图象不符合,故C错误. 【思维升华】 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断. (2)利用函数的零点、极值点等判断. (3)利用特殊函数值判断. 【对点训练】 1.(一题多法)(2022·全国甲卷)函数f(x)=(3x-)·cos x在区间[-,]的图象大致为(　　) 【解析】选A.法一(特值法):取x=1,则f(1)= (3-)cos 1=cos 1>0;取x=-1,则 f(-1)=(-3)cos (-1)=-cos 1<0.结合选项知A符合题意. 法二(排除法):令y=f(x),因为x∈[-,],且f(-x)=(-3x)cos (-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数y=(3x-)cos x是奇函数,排除B,D; 取x=1,则y=(3-)cos 1=cos 1>0,排除C. 2.已知函数y=f(x)的图象如图1,则图2对应的函数有可能是 (　　) A.y=xf(x) B.y=f(x2) C.y=x2f(x) D.y=xf(x2) 【解析】选A.对于B,y=f(x2)为偶函数,与图象不符,故排除B;对于C,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,与图象不符,故排除C;对于D,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,与图象不符,故排除D. 考点三　函数图象的应用 角度1　研究函数的性质 【例3】(多选题)(2024·聊城模拟)关于函数f(x)=|ln |2-x||,下列描述正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称 C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=2 D.函数f(x)有且仅有两个零点 【解析】选ABD.由函数y=ln x,x轴下方图象翻折到上方可得函数y=|ln x|的图象, 将y轴右侧图象翻折到左侧,右侧不变,可得函数y=|ln |x||=|ln |-x||的图象, 将函数图象向右平移2个单位长度,可得函数y=|ln |-(x-2)||=|ln |2-x||的图象, 则函数f(x)=|ln |2-x||的图象如图所示. 由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,故A正确; 函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确; 若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1,x2关于直线x=2对称,则x1+x2=4,故C错误; 函数f(x)有且仅有两个零点,故D正确. 【思维升华】 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性. 角度2　利用函数图象解决不等式问题 【例4】(2025·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为 (　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) 【解析】选C.根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(-∞,0)上的图象,如图所示, 由x2f(x)>2f(x),得(x2-2)f(x)>0, 则或 解得x<-2或<x<2或-<x<0,故不等式的解集为(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2). 【思维升华】 图象法求解不等式 　　若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解. 角度3　利用图象求参数的取值范围 【例5】设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是________.  【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a, 所以f(x)= 因为f(x)为R上的“20型增函数”,所以f(x+20)>f(x)在R上恒成立. ①当a≤0时,由f(x)的图象(如图1)向左平移20个单位长度得f(x+20)的图象,显然f(x+20)的图象在f(x)图象的上方,满足f(x+20)>f(x). ②当a>0时,由f(x)的图象(如图2)向左平移20个单位长度得到f(x+20)的图象, 要保证f(x+20)的图象在f(x)图象的上方, 需满足2a-20<-2a,可得0<a<5. 综上可知,a的取值范围为(-∞,5). 答案:(-∞,5) 【思维升华】 图象法求参数 　　当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围. 【对点训练】 1.(多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)= (,则下列结论正确的是 (　　) A.2是函数f(x)的周期 B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增 C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0 D.当x∈(3,4)时,f(x)=( 【解析】选ABD.由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=(,D正确. 2.(2024·南通调研)已知函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(-x)>2f(x),f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为________.  【解析】依题意知,f(0)=0,当x∈(0,3)∪(3,+∞)时,f(-x)>2f(x),即-f(x)>2f(x),得f(x)<0,由f(3)=0,得f(-3)=-f(3)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示, 由图可知,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-3)∪(-3,0). 答案:(-∞,-3)∪(-3,0) 3.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x-2),且当x∈(0,2]时,f(x)=x(2-x),若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤3,则实数m的取值范围是________.  【解析】因为函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x-2),且当x∈(0,2]时,f(x)=x(2-x). 所以当x∈(2,4]时,f(x)=2(x-2)[2-(x-2)]=2(x-2)(4-x); 当x∈(4,6]时,f(x)=4[(x-2)-2][4-(x-2)]=4(x-4)(6-x). 函数部分图象如图所示, 由4(x-4)(6-x)=3,得4x2-40x+99=0, 解得x=或x=, 因为对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≤3, 所以由图可知m≤. 答案: (-∞,] - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $