第1章 第3节 等式与不等式的性质(Word学案)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习学案聚焦等式与不等式的性质核心考点，以比较大小方法、等式性质、不等式性质及常用结论为主体，按“知识梳理-常用结论-知能自测”架构组织，通过问题导向（如易错辨析）和任务驱动（如比较大小例题）引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于自主诊断与分层提升设计，知能自测含回源教材、澄清盲点等类型，如判断“同向不等式可乘性”正误的易错辨析题，培养数学思维。每个考点配“例-练-思”环节，如比较大小例题后紧跟对点训练，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可借自测结果精准指导，支持因材施教。

第3节　等式与不等式的性质 考试要求 考题分析 1.掌握等式的性质,会比较两个数的大小. 2.理解不等式的性质,并能简单应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T7 T10 2023年 T10 - 2024年 - T8 【主干梳理　基础落实】 【知识梳理】 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a-b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0) a=b a-b=0 =1(b≠0) a<b a-b<0 <1(a,b>0)或>1(a,b<0) 2.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么b=a; 性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=. 3.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔ b<a;  a<b⇔ b>a 可逆 传递性 a>b,b>c⇒ a>c;  a<b,b<c⇒ a<c 同向 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc;  a>b,c<0⇒ ac<bc c的符号 同向可加性 a>b,c>d⇒ a+c>b+d 同向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ ac>bd 同向同正 同正可乘方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒an>bn 同正 同正可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2⇒> 同正 【常用结论】 1.倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 (1)<,>(b-m>0); (2)>,<(b-m>0). 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1,2 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( √　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.( ×　) (3)如果a>b,那么<.( ×　) (4)如果c>a>b>0,那么>.( √　) 2.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是(　　) A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>bc 【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误; 对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d,所以由不等式的同向可加性可得,a+c>b+d,故B正确; 对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误; 对于D,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,但ad<bc,故D错误. 3.(必修第一册P43·习题2.1T3变式)已知a1,a2∈(2,+∞),记M=a1a2,N=a1+a2,则M与N的大小关系是(　　) A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 【解析】选B.由作差法得M-N=a1a2-(a1+a2)=(a1-1)(a2-1)-1,因为a1,a2∈(2,+∞),所以a1-1>1,a2-1>1,所以(a1-1)(a2-1)>1,所以(a1-1)(a2-1)-1>0,所以M>N. 4.(多选题)已如实数a,b,c满足<<0<c,则下列选项正确的是(　　) A.< B.< C.a2c<b2c D.a+<b+ 【解析】选AD.因为<<0<c,所以c>0>b>a,所以<,>,故A正确,B错误; 而a2>b2,则a2c>b2c,故C错误; a+-(b+)=a-b+-=a-b+=, 因为a-b<0,ab>0,所以a+-(b+)=<0,即a+<b+,故D正确. 【考点探究　核心突破】 考点一　比较两个数(式)的大小 【例1】(1)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(　　) A.N<P B.P<M C.N<M D.M+N<2P 【解析】选B.根据题意得,M=,N=,P===. 对于A选项,N-P=-=,因为a>b>c,所以a-c>0,b-c>0,所以a+b-2c>0, 所以N-P=>0,所以N>P; 对于B选项,M-P=-=,因为a>b>c,所以a-c>0,b-c>0,所以a+b-2c>0, 所以M-P=>0,所以M>P; 对于C选项,M-N=-=,因为a>b>c,所以c-a<0,c-b<0,所以2c-a-b<0, 所以M-N=<0,所以M<N; 对于D选项,因为M>P,N>P,所以M+N>2P. (2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=ab·ba的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 【解析】选A.由题意知p>0,q>0,则===.若a>b>0,则>1,a-b>0,则>1;若0<a<b,则0<<1,a-b<0,则>1;若a=b,则=1.综上,p≥q. 【思维升华】 比较大小的常用方法 1.作差法 (1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论. 2.作商法 (1)作商;(2)变形; (3)判断商与1的大小;(4)结论. 【对点训练】 (2025·南昌模拟)若c>b>a>0,则(　　) A.abbc>acbb B.2ln b<ln a+ln c C.a->b- D.logac>logbc 【解析】选A.对于A,由于=ab-cbc-b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确; 对于B,2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln ac,因为b2与ac大小不能确定,故B错误; 对于C,因为c>b>a>0,所以a--(b-)=(a-b) (1+)<0,所以a-<b-,故C错误; 对于D,令c=1,则logac=logbc=0,故D错误. 【加练备选】 (2025·本溪模拟)已知x>0,则“x>|y|”是“>”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.由x>|y|,x>0,可知x-y>0,则-=>0,所以>,充分性成立; 由-=>0,x>0,可得x>y,但是x>|y|不一定成立,故必要性不成立; 综上,“x>|y|”是“>”的充分不必要条件. 考点二　不等式性质的应用 角度1　由不等式的性质判断不等关系 【例2】(2025·广州模拟)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b,则> B.若a>b,c>d,则a-d>b-c C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a>b,则> 【解析】选B.对于A,可以取a=2,b=1,c=-1,此时<,所以A错误; 对于B,因为c>d,所以-d>-c,因为a>b,所以a-d>b-c,故B正确; 对于C,取a=-2,b=-1,则a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故C错误; 对于D,当a=1,b=-1时,=,=1,则<,故D错误. 【对点训练】 若a,b∈R,且a>b,则(　　) A.< B.a2b>ab2 C.a2>ab>b2 D.a>>b 【解析】选D.由于a>b,取a=1,b=-1,==,a2b=-1,ab2=1,无法得到<,a2b>ab2,故A,B错误;取a=0,b=-2,则a2=0,ab=0,b2=4,无法得到a2>ab>b2,故C错误;由于a>b,则2a>b+a>2b,所以a>>b,故D正确. 角度2　利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例3】(2025·大庆模拟)已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是(　　) A.[-13,1] B.[-1,8] C.[-1,13] D.[1,13] 【解析】选D.因为1≤a≤4,-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a-b≤13. 【思维升华】 已知M1<f1(a,b)<N1,M2<f2(a,b)<N2,求g(a,b)的取值范围的步骤 (1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b); (2)根据恒等变形求得待定系数p,q; (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围. 【对点训练】 已知实数a,b满足a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则a的取值范围为_________,4a-2b的取值范围是_________.  【解析】由0≤a-b≤1,2≤a+b≤4, 两式相加得2≤2a≤5,故1≤a≤. 因为4a-2b=3(a-b)+(a+b), 0≤3(a-b)≤3,2≤a+b≤4, 所以4a-2b=3(a-b)+a+b∈[2,7]. 答案: [1,]　[2,7] - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $