精品解析：江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角； 【详解】解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以 故选：A 3. 已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作图，找到M关于x轴对称点是，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N与x轴交于P点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出P点即可 【详解】 如图，M关于x轴对称点是，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有取最小值，此时，，而直线M’N的方程为，化简得，，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为 答案选：C 【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题 4. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 5. 过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为，代入点的坐标，求出，，，则圆的方程可得，令，即可得出结果． 【详解】设圆的方程为， 则  ，，， ∴， 令，可得，  ，  ． 故选：D． 6. 已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（ ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点的位置，再结合圆的性质求出的最值. 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 7. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】设直线，，， 由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C为椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上双曲线，则其离心率小于大于1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确； 对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线的离心率为， 且双曲线离心率，故D正确. 故选：BCD 9. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 【答案】AD 【解析】 【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 10. 已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】分，与零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由双曲线的定义可判断A；由渐近线方程可判断；由直线分别与椭圆和双曲线相切可判断C；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即不存在； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即， 画出图形如图所示： 对于A：满足条件曲线是双曲线的下支， 该双曲线的下支与曲线是没有交点的， 所以不存在曲线上的点，使得成立，故A错误； 对于B：一三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线没有交点，故B正确； 对于C：设过点的直线，三个交点，显然. 联立； 联立； 直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，C正确； 对于D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 所以，故D错误， 故选:BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设椭圆的标准方程为，然后列出关于的方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为， 由题意，有，解得， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 12. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 13. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 【答案】和 【解析】 【分析】依题意，由方程组可解得平行四边形ABCD的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. 【详解】解：联立方程组，解得. 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以， 解得，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 14. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 15. 如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； （ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，知， 由，得， ，得 所以 由（i）可知，， 即， 将代入化简得，化简得解得舍或， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 过三点，，的圆交轴于，两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与相交于点P，点Q圆上，则（ ）． A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 7. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C椭圆 B. 若，则曲线C为双曲线 C. 若曲线C椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 9. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 10. 已知点，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过的椭圆的标准方程为______． 12. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 13. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为，，且它的对角线的交点为，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 14. 已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 15. 如图，圆是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设曲线与轴从左到右的交点为点，点为曲线上异于的动点，设交直线于点，连结交曲线于点，直线的斜率分别为． （ⅰ）求证：定值； （ⅱ）证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $