精品解析：江苏省常州市金坛区2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研数学试题

2025年秋学期高二期中质量调研 数学试卷 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不存在 2. 与直线相交的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 4. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 5. 若圆锥曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线（为实数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（ ） A. 当时， B. 当时，抛物线在点处的切线方程为 C. 以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D. 经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是2 D. 的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 13. 直线与圆交于两点，若，则实数的值为__________． 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过点，且与直线垂直的直线的方程； （2）光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 17. 已知抛物线上存在不同的两点（异于原点）. （1）若且，求直线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求线段的最小值. 18. 已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 19. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高二期中质量调研 数学试卷 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【详解】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 2. 与直线相交的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 3. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 【答案】A 【解析】 【详解】由题知圆心（ , ）在直线y＝x上，即＝， ∴D＝E.故选A. 考点：圆的一般方程. 4. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 9 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，即可求解. 【详解】由条件可知，，设点到另一个焦点的距离为， 所以，得或（舍）. 故选：D 5. 若圆锥曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由离心率大于可得该曲线为双曲线，再借助双曲线离心率定义计算即可得解. 【详解】由该圆锥曲线的离心率为，故该曲线为双曲线， 则，可化为， 则，解得. 故选：C. 6. 设为实数，若直线：与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切，可得，由此即可判断出答案. 【详解】因为：与圆相切, 所以, 所以点在圆上. 故选：B. 7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆面积公式可得，当时，①，如图，当为等边三角形时，②，联立①②得：，故椭圆的方程为. 故选：B 8. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合，结合椭圆的定义，转化为三点共线问题，即可求解. 【详解】由条件可知椭圆中，，圆的圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，， ， 如图，当点三点共线时，最小，最小值是， 所以的最小值是， 所以的最大值是. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线（为实数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线的图象特征，根据的不同取值，判断选项. 【详解】直线（为实数）过点，故排除D， 当时，为A选项的图象，当时，为B选项的图象，当为C选项的图象. 故选：ABC 10. 已知抛物线的焦点为为其上一动点，则（ ） A. 当时， B. 当时，抛物线在点处的切线方程为 C. 以为圆心且与轴相切的圆与抛物线有且只有一个公共点 D. 经点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射穿过焦点后交抛物线于点 ，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项由焦半径公式即可判断；对于B选项，先求出点，设出直线，联立直线与抛物线，利用即可解出答案；对于C选项，写出圆的方程，联立圆与抛物线解出其交点坐标即可；对于D选项，分别求的坐标，即可求出的面积. 【详解】对于A选项：抛物线的焦点，准线， 由焦半径公式可知， 若，则，解得，A正确； 对于B选项：当时，，则点，由题意知切线斜率存在且不为， 设切线斜率，则切线方程为：， 联立直线与抛物线：消得： 因为直线与抛物线相切 所以 解得：， 所以切线方程为：,B错误； 对于C选项：以为圆心且与轴相切的圆，半径为，圆的方程为. 联立抛物线方程，解得,, 所以圆与抛物线仅有一个公共点,C正确； 对于D选项：由题意知直线：，则, 又， 所以，点， 所以直线：，化简得：， 联立直线与抛物线得：消得： 解得 所以， 所以，点到直线：的距离， 所以的面积为，D正确. 故选：ACD. 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆.返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是2 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意易知，上半椭圆的方程为，下半圆的方程为，由此即可求出椭圆的离心率为；由椭圆的性质易知，结合，即可求得线段长度的取值范围是；当直线斜率不存在时，三点共线，由此可判断出面积无最小值；由椭圆的定义易知，结合的周长为即可判断D. 【详解】设上半椭圆的方程为 ， 因为半圆的圆心在原点，且过椭圆的焦点 ， 所以半圆的半径，即椭圆的短轴长 ，故。 因为椭圆的焦点为，所以， 又，. 因此上半椭圆的方程为，下半圆的方程为. 所以椭圆的离心率 ，A正确； 设，则 则 ， 所以，故， 又因为, 所以，B正确； 很明显，当直线斜率不存在时，三点共线， 所以面积无最小值.C错误. 由题意知，,即点也是椭圆的焦点， 由椭圆的定义可知:， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】设，则， ， 故答案为：. 13. 直线与圆交于两点，若，则实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先把圆化为标准形式求出圆心和半径，再根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式构造方程求出实数． 【详解】圆的标准方程为， 圆心，半径， 直线，化成一般式方程为：， 设点为中点，则，直线与圆的位置关系如下图所示： 所以，，， 圆心到直线的距离， 化简得， 解得或． 故答案为：或 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线. （1）求过点，且与直线垂直的直线的方程； （2）光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）： （2） 【解析】 【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【小问1详解】 因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于两点，且为的中点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助斜率公式计算后化简即可得； （2）设出直线方程及两交点坐标，联立直线方程与曲线方程，消去可得与两交点横坐标有关韦达定理，再借助点为中点，代入计算后结合弦长公式即可得. 【小问1详解】 依题意，，化简得， 故动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则中点纵坐标为，不合题意； 故直线斜率存在，设，、， 联立，消去，有， ， 即，，， 由为的中点，则，化简得， 且有，则，整理得，解得， 则，故，， 则. 17. 已知抛物线上存在不同的两点（异于原点）. （1）若且，求直线的方程； （2）若以为直径的圆经过原点，求线段的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点代入抛物线，两式相减变形可得，由题意易知的中点坐标，再由点斜式写出答案； （2）设直线：， ，与抛物线联立，再由弦长公式结合韦达定理，可将表示为的函数，进而求出最小值. 【小问1详解】 将代入抛物线得： 所以， 又的中点坐标为， 所以直线的方程为：， 化简得：. 【小问2详解】 由题意设直线：， ， 联立消得：， ，，， 因为以为直径的圆经过原点，所以， 所以，所以， 所以 ，当时，， 18. 已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点. （1）求证：； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值； （3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标. 【答案】（1） 由双曲线的离心率，可知，即， 所以双曲线， 设，，， ， ， 所以； （2） 设，， ，即， 所以为定值； （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用坐标法表示两点间距离，即可证明； （2）利用坐标法，结合点在双曲线上，即可证明； （3）设直线的方程，与双曲线方程联立，再利用对称性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据双曲线的对称性，不妨设点在右支第一象限上，双曲线方程为， 则的最大内角为最大，此时，则， 设直线，联立双曲线方程， ，得，得或（舍）， 时，，即， 根据对称性可知，点在第二象限的坐标为，点在第三象限的坐标为，点在第四象限的坐标为， 所以满足条件的点坐标为，，，. 19. 已知圆和圆. （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【小问1详解】 圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. 【小问2详解】 已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. 【小问3详解】 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $