新定义专项练(新定义3 以圆锥曲线为背景的新定义解答题)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

新定义专项练　(时间:45分钟　分值:20分) 1.(10分)(2024·潍坊模拟)焦距为2c的椭圆Γ:+=1(a>b>0),如果满足“2b=a+c”,则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆Γ:+=1(a>b>0)是“等差椭圆”,求的值; 【解题指南】(1)由新定义得出a,b,c的关系,结合c2=a2-b2可求得; 【解析】(1)因为椭圆Γ:+=1(a>b>0)是“等差椭圆”,所以2b=a+c, 所以c=2b-a,又c2=a2-b2,所以(2b-a)2=a2-b2,化简得=. (2)对于焦距为12的“等差椭圆”,点A为椭圆短轴的上顶点,P为椭圆上异于A点的任一点,Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A),直线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点,判断以线段MN为直径的圆是否过定点?说明理由. 【解题指南】(2)设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(-x0,-y0),写出AP方程求得M点坐标,同理得N点坐标,然后可得出以线段MN为直径的圆的方程,由方程可确定定点坐标. 【解析】(2)过定点(0,±10),理由如下: 由2c=12得c=6,由得a=10,b=8, 椭圆方程为+=1,所以A(0,8), 设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(-x0,-y0),所以直线AP的方程为y=x+8, 令y=0,得x=-,所以M(-,0),同理可得N(-,0), 所以以MN为直径的圆的方程为(x+) (x+) +(y-0)(y-0)=0, 结合+=1,化简得x2+y2-x-100=0,令x=0,得y=±10, 所以该圆恒过定点(0,±10). 2.(10分)(2024·新余模拟)通过研究,已知对任意平面向量=(x,y),把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P, (1)已知平面内点A(-,2),点B(,-2),把点B绕点A逆时针旋转得到点P,求点P的坐标; 【解析】(1)由已知可得=(2,-4),则=(6+,3-2), 设P=(x0,y0),则=(x0+,y0-2)=(6+,3-2), 所以x0=6,y0=3,即点P的坐标为(6,3). (2)已知二次方程x2+y2-xy=1的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆+=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C, (i)求斜椭圆C的离心率; (ii)过点Q(,)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M,N,过原点O作直线l2与直线l1垂直,直线l2交斜椭圆C于点G,H,判断+是否为定值,若是,请求出定值,若不是,请说明理由. 【解析】(2)(i)由y=x与x2+y2-xy=1交点为(1,1)和(-1,-1),则a2=2, 由y=-x与x2+y2-xy=1交点为(-,)和(,-), 则b2=,所以c2=,e==; (ii)法一:设直线l1:y-=k(x-),M(x1,y1),N(x2,y2), 与斜椭圆x2+y2-xy=1联立: 有(k2-k+1)x2+(3k-2k2-1)x+(1-k)2-1=0, 因为x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|== =, 设直线l2:y=-x,代入斜椭圆x2+y2-xy=1,有x2+x2+x2=1, 所以x2=,所以|OH|2=,故+=+=2. 法二:将椭圆顺时针旋转,由(i)可得椭圆方程为+=1, 点Q旋转后的坐标为(,0), 当直线l1旋转后斜率不存在时,|MN|=, |OH|=,+=2, 当直线l1旋转后斜率存在时,设直线l1旋转后为x=my+, 旋转后M(x1,y1),N(x2,y2),与椭圆方程+=1联立, 即可得3(m2+3)y2+4my-2=0, y1+y2=-,y1y2=-, |MN|==, 设直线l2旋转后为y=-mx,代入椭圆方程+=1中, 有x2=,|OH|2=, +=+=2. 综上所述,+=2. - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $