核心素养测评(第8章 第50节 双曲线)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:100分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　) A.-=1 B.-=1(x≥4) C.-=1 D.-=1(x≥3) 【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C. 又由题意可知c=5,a=3,所以b==4, 故点M的轨迹方程为-=1(x≥3). 2.(5分)(2024·武汉模拟)已知双曲线-=1的离心率为2,则a=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 【解析】选A.由题意可知,双曲线-=1的焦点在x轴上,故该双曲线的离心率为e==2,得a=-1. 3.(5分)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 【解析】选C.设动圆M的半径为r, 由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切, 得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r, |MC2|-|MC1|=2<6, 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支, 且2a=2,解得a=1, 又c=3,则b2=c2-a2=8, 故动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 4.(5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(　　) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选B. 双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x, 不妨设D在x轴上方,E在x轴下方,将x=a与双曲线渐近线方程联立,得D(a,b),E(a,-b), 所以△ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立, 所以c≥4,则焦距2c的最小值为8. 5.(5分)(2024·成都模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P,若|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为(　　) A.3 B. C. D.2 【解析】选C.不妨设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=3|PF2|,可得|PF1|=3a,|PF2|=a,|F1F2|=2c, 由tan ∠F1F2P=可得cos∠F1F2P==,在△PF1F2中,由余弦定理可得: |PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cos∠F1F2P,即有9a2=a2+4c2-2a·2c·, 化简可得c2=3a2, 所以双曲线的离心率e==. 二、多选题 6.(5分)若实数x,y满足-y2=1,则(　　) A.|x|≥ B.x2+y2≥2 C.< D.|x-y|≤ 【解析】选AB.对于选项A,x2=2+2y2≥2,故|x|≥,故A正确; 对于选项B,x2+y2=2+3y2≥2,故B正确; 对于选项C,取x=2,y=1,满足-y2=1,此时=,故C错误; 对于选项D,取x=,y=-,满足-y2=1,此时|x-y|=2>,故D错误. 7.(5分)已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点,且F1到渐近线的距离为1,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF1,则下列说法不正确的为(　　) A.△AF1F2的面积为2 B.双曲线C的离心率为 C.·=10+4 D.+=+2 【解析】选ABC.设双曲线C的半焦距为c>0, 因为双曲线C的焦点在x轴上,且a=2, 则其中一条渐近线方程为y=x, 即bx-2y=0,且F1(-c,0), 则F1到渐近线的距离==b=1,可得c==. 对于选项A:因为|AF2|-|AF1|=4,且+=|F1F2|=(2c)2=20, 可得+2|AF1|·|AF2|=16+2|AF1|·|AF2|=20,解得|AF1|·|AF2|=2, 所以△AF1F2的面积为|AF1|·|AF2|=1,故A错误; 对于选项B:双曲线C的离心率为e==,故B错误; 对于选项C:因为可得 所以·=·=·(+)=+·===10-4,故C错误; 对于选项D:设|BF2|=m, 则|BF1|=m+4,|AB|=+2-m, 因为=|AB|2+,即(m+4)2=+,解得m=, 所以+=+=+2,故D正确. 三、填空题 8.(5分)(2023·全国甲卷改编)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=________.  【解析】由e=,则==1+=5,解得=2,所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离d==, 所以弦长|AB|=2=2=. 答案: 9.(5分)(2024·合肥质检)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为其右顶点,P为双曲线右支上一点,直线PF1与y轴交于Q点.若AQ∥PF2,则双曲线E的离心率的取值范围为______________.  【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),A(a,0), 设P(x0,y0), 所以直线PF1的方程为y=(x+c), 令x=0得,y=,所以Q(0,). 因为AQ∥PF2,所以kAQ=, 即=,解得x0=. 因为点P在双曲线的右支上,且AQ∥PF2, 所以点P不能在双曲线的顶点上, 所以x0>a,即>a, 所以c2-ac>a2+ac,所以c2-2ac-a2>0, 不等式两边同时除以a2,得e2-2e-1>0, 解得e>1+或e<1-, 又e>1,所以e>1+,即双曲线E的离心率的取值范围是(+1,+∞). 答案:(+1,+∞) 四、解答题 10.(10分)(2025·绵阳模拟)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,E的一条渐近线方程为y=x,过F1且与x轴垂直的直线与E交于A,B两点,且△ABF2的周长为16. (1)求E的方程; 【解析】(1)将x=-c代入E:-=1(a>0,b>0),得y=±,所以|AF1|=|BF1|=, 所以|AF2|=|BF2|=+2a, 所以由题得⇒, 所以双曲线E的方程为x2-=1. (2)过F2作直线l与E交于C,D两点,若=3,求直线CD的斜率. 【解析】(2)由(1)知F2(2,0),显然当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时,=3不成立, 故直线l的斜率存在,且不为0,设l:x=my+2(m≠0),C(x1,y1),D(x2,y2), 联立⇒(3m2-1)y2+12my+9=0, 则Δ=36m2+36>0,且3m2-1≠0,即m2≠, y1+y2=-,y1·y2=, 又=3,所以y1=-3y2,所以, 所以由得=-,解得m2=,故=15, 故直线CD的斜率为或-. 【能力提升练】 11.(5分)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且△OF1P为等腰三角形,则双曲线的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 【解析】选A.因为直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,则OE⊥F1P,而△OF1P为等腰三角形,必有|OP|=|OF1|,E为F1P的中点,而O为F1F2的中点,于是OE∥PF2,有PF1⊥PF2,且|PF2|=2|OE|=2a,则|PF1|=4a.令双曲线的焦距为2c,由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即c2=5a2,有e2=5,所以双曲线的离心率为e=. 12.(5分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,|F1B|=2|F1A|,·=4a2,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 【解析】选D.如图,由题可知四边形AF2BF1为平行四边形, 则|F1B|=|F2A|=2|F1A|, 又|F2A|-|F1A|=2a, 所以|F1A|=2a,|F2A|=4a. 因为·=·=-·=-2a·4acos∠F1AF2=-8a2cos∠F1AF2=4a2, 所以cos∠F1AF2=-,则|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2= 4a2+16a2-2·2a·4a·(-)=28a2,即4c2=28a2(c为双曲线的半焦距),所以双曲线的离心率e=. 13.(5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为双曲线右支上一点,线段AF1交左支于点B.若AF2⊥BF2,且|BF1|=|AF2|,则该双曲线的离心率为___________.  【解析】因为|BF1|=|AF2|, 设|BF1|=t(t>0),则|AF2|=3t, 由双曲线的定义可得:|BF2|=|BF1|+2a=t+2a, |AF1|=|AF2|+2a=3t+2a, 则|AB|=|AF1|-|BF1|=3t+2a-t=2t+2a, 因为AF2⊥BF2, 所以+=|AB|2, 即9t2+(t+2a)2=(2t+2a)2, 整理可得3t2-2at=0, 解得t=a, 所以|AF2|=2a,|BF2|=,|AB|=,|AF1|=4a, 在Rt△ABF2中,cos∠BAF2===, 在△AF1F2中,由余弦定理可得: =+-2|AF1|·|AF2|·cos∠BAF2, 即4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·=a2, 所以e2==, 所以e=(舍去负值). 答案: 14.(10分)(2025·合肥模拟)已知O为坐标原点,F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,直线l:y=x与E交于A,B两点,·=0﹒ (1)求E的离心率; 【解析】(1)由题意得,直线y=x与双曲线两交点A,B关于原点对称, 不妨设点A在第一象限,由·=0,得F2A⊥F2B, 设F2(c,0),则|OA|=c,tan∠AOF2=, 所以sin∠AOF2=,cos∠AOF2=, 则A(c,c), 将其代入双曲线方程,得-=1, 即-=1, 化简得9e2-=25,即9e4-50e2+25=0, 因为e>1,所以e2=5,则e=,即双曲线E的离心率为. (2)M为E上一点(不在x轴上),过F2作∠F1MF2平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=1,求△AF1F2的面积. 【解析】(2)因为点F2关于∠F1MF2的平分线MN的对称点G在MF1或MF1的延长线上, 所以|F1G|=||MF1|-|MF2||=2a, 又ON是△F2F1G的中位线,所以|ON|=a, 因为|ON|=1,所以a=1, 因为e=,所以双曲线E的方程为x2-=1, 所以c=,则A(,). 又|F1F2|=2c=2,所以=×2×=4. 15.(10分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为4,C上一点P满足cos∠F1F2P=-,且△PF1F2的面积为2. (1)求C的方程; 【解析】(1)在△PF1F2中, 因为cos∠F1F2P=-, 所以sin∠F1F2P==. 所以△PF1F2的面积2=×|F1F2||PF2|sin∠F1F2P=×4×|PF2|×, 解得|PF2|=. 在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2||F1F2|·cos∠F1F2P =3+16+2××4×=27, 所以|PF1|=3. 因为P在双曲线上,所以2a=|PF1|-|PF2|=2,得a2=3,b2=c2-a2=1. 所以C的方程为-y2=1. (2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M,N,求|TM|·|TN|的最小值. 【解析】(2)设T(x0,y0),则-=0, 当直线l⊥y轴时,设直线l:y=y0与C交于点M(x1,y0),N(-x1,y0), 所以-=1,即-3=3, 所以|TM||TN|=|x1-x0||x1+x0|=|-|=|-3|=3. 当直线l与y轴不垂直时,设直线l的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),利用对称性不妨设T(x0,y0)在直线x-y=0上. 联立得y0=. 联立 并消去x,得(m2-3)y2+2mny+n2-3=0, 所以 则|TM|= =|y0-y1|, 同理,得|TN|=|y0-y2|. 所以|TM||TN|=(1+m2)|y0-y1||y0-y2| =(1+m2)|-y0(y1+y2)+y1y2| =(1+m2) |-·+|=||=|3+|≥1(当且仅当m=0时,取等号,满足Δ>0), 综上,|TM||TN|的最小值为1. 【创新思维练】 16.(5分)(多选题)如图,双曲线C:x2-y2=a2的左、右顶点分别为A,B,P为C右支上一点(不包含顶点),∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,直线l与C的渐近线交于F,G,M为线段FG的中点,则(　　) A.双曲线C的离心率为 B.P到两条渐近线的距离之积为a2 C.tan α+tan β+2tan γ=0 D.若直线l与OM的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1 【解析】选ACD.对于A,等轴双曲线的离心率为,所以A正确. 对于B,设P(x0,y0),点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=·==,所以B错误. 对于C,tan α·tan β=kPA·(-kPB)=-1,tan γ=-tan (α+β)=-=-, 所以tan α+tan β+2tan γ=0,所以C正确. 对于D,法一:设直线l的方程为y=kx+m,且l与双曲线及其渐近线依次交于点E,点F,点G,点H,如图所示, 由⇒ (k2-1)x2+2mkx+m2+a2=0,得EH中点的横坐标为, 由⇒(k2-1)x2+2mkx+m2=0得FG中点的横坐标为,所以EH和FG的中点重合,即M为EH的中点,由点差法得k1k2=1,所以D正确. 法二:设F(x1,y1),G(x2,y2),M(x0,y0), 由⇒(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0⇒2x0(x1-x2)-2y0(y1-y2)=0⇒·=1, 所以k1k2=1,所以D正确. 17.(5分)已知O为坐标原点,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,点P是C的右支上异于顶点的一点,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,|MO|=.若双曲线C上一点T满足·=5,则点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 【解析】选A.设半焦距为c,直线F2M交PF1于点N, 因为PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM, 所以△NPF2是等腰三角形,且|PN|=|PF2|,M是NF2的中点. 根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a,即|NF1|=2a, 因为O是F1F2的中点,所以MO是△NF1F2的中位线, 所以|MO|=|NF1|=a=, 又双曲线的离心率为,所以c=,b=1, 所以双曲线C的方程为-y2=1, 所以F1(-,0),F2(,0),双曲线C的渐近线方程为x±y=0. 设T(u,v),点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为d, 则d=+. 由·=(u+)(u-)+v2=u2+v2-3=5,得u2+v2=8, 又T在双曲线C:-y2=1上, 所以-v2=1, 即u2-2v2=2,故u2=6,v2=2, 则|u|>|v|,故d==2,即点T到双曲线C的两条渐近线的距离之和为2. - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $