新定义专项练(新定义1 以数列为载体的新定义解答题)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

新定义专项练　(时间:45分钟　分值:20分) 1.(10分)(2024·汕头模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若≤≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”. (1)若an=,判断{an}是否是“紧密数列”,并说明理由; (2)若数列{an}前n项和为Sn=(n2+3n),判断{an}是否是“紧密数列”,并说明理由; (3)设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围. 【解析】(1)a1=,a2=,a3=,所以=<,所以{an}不是“紧密数列”. (2)数列{an}为“紧密数列”,理由如下: 数列{an}的前n项和Sn=(n2+3n),当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=n+,又a1=1满足an=n+, 因此an=n+(n∈N*),所以对任意n∈N*,===1+, 所以<=1+<2,因此数列{an}为“紧密数列”. (3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,前n项和为Sn, 当q=1时,有an=a1,Sn=na1,所以<=1<2,<==1+<2,满足题意; 当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=,因为{an}为“紧密数列”,所以≤=q≤2, 即≤q<1或1<q≤2,当≤q<1时,=>=1, =≤==1+qn<2, 所以≤=≤2,满足{Sn}为“紧密数列”; 当1<q≤2时,==1+q>2,不满足{Sn}为“紧密数列”; 综上,实数q的取值范围是[,1]. 2.(10分)(2024·苏州模拟)设有穷数列{an}的项数为m(m≥2),若正整数k(2≤k≤m)满足:∀n<k,an>ak,则称k为数列{an}的“min点”. (1)若an=(-1)n(2n-3)(1≤n≤5),求数列{an}的“min点”; (2)已知有穷等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn.若数列{Sn+}存在“min点”,求正数a1的取值范围; (3)若an≥an-1-1(2≤n≤m),数列{an}的“min点”的个数为p,证明:a1-am≤p. 【解题指南】(1)由通项公式写出数列的各项,根据数列{an}的“min点”定义确定结论; (2)利用等比数列求和公式求Sn,由条件可得存在n(n≥2),使得Sn+<a1+,解不等式可得a1的范围,再对所得结果加以验证即可; (3)先证明若an≥a1(n≥2),则p=0,结论成立,再证明若存在an,使得an<a1,则数列{an}存在“min点”,数列{an}的“min点”由小到大依次为n1,n2,n3,…,np,结合关系a1-am≤a1-=(a1-)+(-)+(-)+…+(-)完成证明. 【解析】(1)因为an=(-1)n(2n-3)(1≤n≤5),所以a1=1,a2=1,a3=-3,a4=5,a5=-7, 所以数列{an}的“min点”为3,5. (2)依题意,Sn==a1(2n-1),因为数列{Sn+}存在“min点”, 所以存在n(n≥2),使得Sn+<a1+,所以a1(2n-1)+<a1+, 即a1(2n-2)<·.因为n≥2,所以2n-2>0,所以<, 又2n-1随n的增大而增大,所以当n=2时,取最大值, 所以<,又a1>0,所以0<a1<. 当0<a1<时,有S2+<S1+,所以数列{Sn+}存在“min点”, 所以a1的取值范围为(0,). (3)①若an≥a1(n≥2),则数列{an}不存在“min点”,即p=0. 由am-a1≥0得,a1-am≤0,所以a1-am≤p. ②若存在an,使得an<a1.下面证数列{an}有“min点”. 若a2<a1,则2是数列{an}的“min点”;若a2≥a1,因为存在an,使得an<a1, 所以设数列{an}中第1个小于a1的项为, 则<a1≤ai(2≤i≤n1-1),所以n1是数列{an}的第1个“min点”. 综上,数列{an}存在“min点”. 不妨设数列{an}的“min点”由小到大依次为n1,n2,n3,…,np, 则是,,,…,,中第1个小于的项, 故-≤-,因为an≥an-1-1(2≤n≤m), 所以an-1-an≤1,所以-≤1,所以-≤1, 所以a1-am≤a1-=(a1-)+(-)+(-)+…+(-) ≤(-)+(-)+(-)+…+(-)≤1+1+1+…+1(p个1). 所以a1-am≤p. 综上,a1-am≤p,得证. 　阶段测评,请使用　 “阶段滚动检测(三)” - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $