核心素养测评(第3章 第16节 导数的概念及其意义、导数的运算)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知函数f(x)=+1,则的值为(　　) A.- B. C. D.0 【解析】选A.=-=-f'(1)=-(×)=-. 2.(5分)(2024·大同模拟)已知函数f(x)=2e2ln x+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 (　　) A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0 C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0 【解析】选B.因为f(x)=2e2ln x+x2, 所以f'(x)=+2x, 所以f(e)=2e2ln e+e2=3e2,f'(e)=4e, 所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0. 3.(5分)(2024·泸州模拟)已知曲线y=在点(π,-)处的切线方程为y=x+b,则a的值是 (　　) A. B.-2 C.- D.2 【解析】选D.令y=f(x)=, 则f'(x)=,曲线在点(π,-)处的切线的斜率为f'(π)==,解得a=2. 4.(5分)(2025·丹东模拟)若直线y=2x是曲线y=x(ex-a)的切线,则a= (　　) A.-e B.-1 C.1 D.e 【解析】选B.设切点坐标为(x0,x0(-a)), 因为y=x(ex-a), 所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a, 所以在切点处的切线的斜率为(1+x0)-a, 切线方程为y-x0(-a)=[(1+x0)-a](x-x0), 即y=[(1+x0)-a]x-, 由题意知解得 5.(5分)如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.若f(x)=x2-2(x>0),x0=2,则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 (　　) A.1.438 B.1.417 C.1.416 D.1.375 【解析】选B.由f(x)=x2-2(x>0), 求导得f'(x)=2x,而x0=2,则f'(x0)=4. 又f(x0)=2,于是函数f(x)在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y-2=4(x-2). 令y=0,得x1=, 则f'(x1)=3,f(x1)=()2-2=, 因此函数f(x)在横坐标为x1=的点处的切线方程为y-=3(x-).令y=0,得x2=≈1.417. 二、多选题 6.(5分)下列求导运算正确的是 (　　) A.[cos(-2x)]'=2sin x B.若f(x)=,则f'(x)= C.(e3)'=3e2 D.(lg 2x)'= 【解析】选BD.[cos(-2x)]'=-sin(-2x)·(-2x)'=2sin(-2x),故A错误; f'(x)==,故B正确; (e3)'=0,故C错误; (lg 2x)'=×(2x)'=,故D正确. 7.(5分)已知函数f(x)的图象如图,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　) A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2) C.f(3)-f(2)>f'(3) D.f(3)-f(2)<f'(2) 【解析】选BCD.f'(x0)的几何意义是f(x)在x=x0处的切线的斜率. 由题图知f'(2)>f'(3)>0,故A错误,B正确; 设A(2,f(2)),B(3,f(3)),则f(3)-f(2)==kAB, 由题图知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2),故C,D正确. 三、填空题 8.(5分)(2024·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为______________.  【解析】易得切点为(-e,-e), f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2, 所以切线方程为y-(-e)=2(x+e), 即2x-y+e=0. 答案:2x-y+e=0 【加练备选】 (2021·全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为___________.  【命题意图】本题考查导数的概念及其几何意义,考查曲线的切线方程的求法,考查考生的运算求解能力. 【解析】令y=f(x)=,f'(x)=,f'(-1)=5,所以切线方程为y+3=5(x+1),所以y=5x+2. 答案:y=5x+2 9.(5分)若函数f(x)=x2+的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=mx+m,则实数a=________.  【解析】由函数f(x)=x2+求导得f'(x)=2x-,依题意,m=f'(1)=2-a. 又点P(1,f(1))在直线y=mx+m和函数f(x)=x2+上,所以f(1)=1+a=2m, 因此1+a=2(2-a),解得a=1. 答案:1 四、解答题 10.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围. 【解析】f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得 解得b=0,a=-3或1. (2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线, 所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即4a2+4a+1>0,所以a≠-. 所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-,+∞). 【能力提升练】 11.(5分)(2025·岳阳模拟)已知a,b为正实数,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则+的最小值是 (　　) A.6 B.4 C.8 D.2 【解析】选C.设切点为(m,n),y=ln(x+b)的导数为y'=, 由题意可得=1,又n=m-2a,n=ln(m+b),解得n=0,m=2a,即有2a+b=1,因为a,b为正实数,所以+=(+)(2a+b)=2+2++≥4+2=8,当且仅当2a=b=时等号成立,故+的最小值为8. 12.(5分)(多选题)若过y轴上一点P(0,m)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数f(x)=xex的图象相切,则 (　　) A.n可以取到3 B.m+n<3 C.当n=1时,m的取值范围是(-∞,-) D.当n=2时,m存在且唯一 【解析】选ABD.设切点为(x0,x0),f'(x)=(x+1)ex, 则=(x0+1),所以-m=. 令g(x)=x2ex,则g'(x)=(x2+2x)ex, 易得g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减. 极大值为g(-2)=4e-2,极小值为g(0)=0, 当x→-∞时,g(x)→0,作出g(x)的图象如图所示, 显然当m∈(-4e-2,0)时,g(x)=-m有三个解,即有三条切线,n=3; 当m=0时,g(x)=-m有一个解,即有且仅有一条切线,n=1; 当m>0时,g(x)=-m无解,即不存在切线,不符合题意; 当m=-4e-2时,g(x)=-m有两个解,即有两条切线,n=2; 当m<-4e-2时,g(x)=-m有一个解,即有一条切线,n=1; 所以A,B,D正确,C错误. 13.(5分)已知函数f(x)=aln x,g(x)=bex,若直线y=kx(k>0)与函数f(x),g(x)的图象都相切,则a+的最小值为___________.  【解析】设直线y=kx与函数f(x),g(x)的图象相切的切点分别为A(m,km),B(n,kn). 由f'(x)=,有 解得m=e,a=ek. 又由g'(x)=bex,有 解得n=1,b=, 所以a+=ek+≥2=2e, 当且仅当a=e,b=时等号成立. 答案:2e 【加练备选】 (2024·茂名模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且x≤1时,f(x)=ex+x-1,则曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为______________.  【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2)分别为函数f(x)的图象上关于直线x=1对称的两点,且x1≤1≤x2, 则所以 所以y2=+2-x2-1=-x2+1. 故当x>1时,f(x)=e2-x-x+1, 所以f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1, 所以f'(2)=-e2-2-1=-2, 所以曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0 14.(10分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+ln x. (1)求f'(e)及f(e)的值; 【解析】(1)因为f(x)=2xf'(e)+ln x, 所以f'(x)=2f'(e)+,f'(e)=2f'(e)+, 所以f'(e)=-,f(x)=-+ln x, 所以f(e)=-+ln e=-1. (2)求f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程. 【解析】(2)因为f(x)=-+ln x,f'(x)=-+, 所以f(e2)=-+ln e2=2-2e,f'(e2)=-+, 所以f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程为y-(2-2e)= (-+)(x-e2), 即(2e-1)x+e2y-e2=0. 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上是凸函数的是 (　　) A.f(x)=-x3+3x+4 B.f(x)=ln x+2x C.f(x)=sin x+cos x D.f(x)=xex 【解析】选ABC.对A,f(x)=-x3+3x+4, f'(x)=-3x2+3,f″(x)=-6x, 当x∈(0,)时,f″(x)<0,故A为凸函数; 对B,f(x)=ln x+2x,f'(x)=+2, f″(x)=-, 当x∈(0,)时,f″(x)<0,故B为凸函数; 对C,f(x)=sin x+cos x,f'(x)=cos x-sin x, f″(x)=-sin x-cos x=-sin(x+), 当x∈(0,)时,f″(x)<0,故C为凸函数; 对D,f(x)=xex,f'(x)=(x+1)ex,f″(x)=(x+2)ex, 当x∈(0,)时,f″(x)>0,故D不是凸函数. 16.(5分)(多选题)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”,则下列函数中只有一个“新不动点”的是 (　　) A.g(x)=x·2x B.g(x)=-ex-2x C.g(x)=ln x D.g(x)=sin x+2cos x 【解析】选ABC.对于A,g'(x)=2x+x·2x·ln 2, 由x·2x=2x+x·2x·ln 2,解得x=, 所以g(x)只有一个“新不动点”,故A正确; 对于B,g'(x)=-ex-2, 由-ex-2=-ex-2x,得x=1, 所以g(x)只有一个“新不动点”,故B正确; 对于C,g'(x)=, 根据y=ln x和y=的图象可看出ln x=只有一个实数根, 所以g(x)只有一个“新不动点”,故C正确; 对于D,g'(x)=cos x-2sin x, 由sin x+2cos x=cos x-2sin x, 得3sin x=-cos x,所以tan x=-, 根据y=tan x和y=-的图象可看出方程tan x=-有无数个解, 所以g(x)有无数个“新不动点”,故D错误. - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $