训练17 导数的概念及其意义、导数的运算-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 第三章 元函数的导数及其应用 训练17 导数的概念及其意义、导数的运算 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.设1im2+△)-f(2-△x) 7.下列说法中正确的有 △x =一2，则曲线y= A.曲线的切线和曲线有且只有一个公共点 f(x)在点(2，f(2)处的切线的斜率是( B.曲线的切线和曲线可能有无数个公共点 A.-1 B.-4 C.曲线y=x3在某点处的切线的斜率可能小于零 C.1 D.4 D.曲线y=x3在原点处的切线为x轴 2.若f(x)=x3,f'(xo)=3,则x。的值为( 8.过点M(1,0)且与曲线y=x3一x相切的直线的方 A.±1 B.±2 程为 () C.±3 D.士√3 A.2x+y-2=0 3.已知函数f(x)=ln(a.x)(a>0)的图象在x=1处 B.x+4y-1=0 的切线过原点，则a的值为 C.2x-y-2=0 B.√e D.x-4y-1=0 C.e D.e2 9.已知曲线y三)和直线1：x-2y二4=0 4.(2024·安徽皖南八校开学考试)若曲线y=lnx十 ( x?的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能 为 ( A,曲线与直线1平行的切线的切点为1，) A.3x-y-1=0 B曲线与直线1平行的切线的切点为0，) B.3x-y+1=0 C.3x-y-2=0 C.曲线上的点到直线1的最短距离为⑤ D.3x-y-1-ln2=0 D.曲线上的点到直线1的最短距离为5(3十e) 5 5.已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x一1)e的两 三、填空题（每小题5分，共15分） 条切线，则实数a的取值范围是 10.若曲线y=ax cos x在点(0,0)处的切线斜率为 A.(1,+∞) 一1，则a= 得分 B.(-o∞，-e)U(2,+∞) 11.已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1)) C.(-∞，-2)U(2,+∞) 处的切线方程为x一2y+1=0,记f(x)的导函 D.(-∞，-3)U(1,+∞) 6.直线y=kx十b与函数y=e-1和y=e”-2的图 数为f'(x),则f'(-1) 得分 象都相切，则b= ( 12.已知函数f(x)=alnx的图象与函数g(x)= A.2 B.In 2 √云的图象在公共点处有相同的切线，则公共点 C.1+In 2 D.-2In 2 的坐标为 得分 (横线下方不可作答) 293 第三章 一元函数的导数及其应用 ■ 四、解答题（共37分） 14.(20分)已知函数f(x)=lnx+1,g(x)=e-1. 13.(17分)已知两数y=e-1a2x十5. 求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线的 条数 得分 得分 (1)求该函数的导数； (2)求该函数的图象在x=一2处的切线的倾 斜角. 红对勾·讲与练294 高三数学·基础版 ■10.3 解析：为使花钱总数最少，需使每张 订单满足“每张订单金额(6折后)满 300元时可减免100元”，即每张订单 打折前原金额不少于500元.由于每 件原价为48元，因此每张订单至少 11件，又42=11×3+9，所以最少需 要下的订单张数为3. 11.16 解析：当t=0时，y=a;当t=8时， 1 y=ae”=2a,故e"=2当容 器中的沙子只有开始时的八分之一 1 时，即y=ae"= 8a,e"= (e%)3=e25,解得t=24,所以再经 过16min容器中的沙子只有开始时 的八分之一， 12.8 解析：因为1小时后血液中酒精含量 为(1-20%)mg/mL,所以x小时后血 液中酒精含量为(1-20%)广mg/mL,由 题意可知100mL血液中酒精含量低 于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所 以(1-20%)x<0.2,即0.8<0.2， 两边取对数得1g0.8<1g0.2,即 >8 ≈7.2，所以他至少经过8 个小时才能驾驶汽车， 13.解：(1)由题意，当0.5≤x≤4时， 11 2 18-5x fx)=2x+十+ 2=+ 2 8 当x>4时，f(x)=log(18x十9)十 2x-5x-2=1og18x+9)十 11 1 2x-2. 所以f(x)= x 2 8 +千+505≤x≤4， log:18x+9)+2x-2,x>4 (2)当0.5≤x≤4时，fx)=2+ 2 +8=+1+2十 11 x+1十5 2+1+10≥ ,1131 x+1+10=10' 、2 当且仅当十1 2 十即x-1时 取等号： 当x>4时，f(x)=log:(18x十9)十 2x-2>10g:(18×4+9)+7×4 2=4> 因此，当月销售量为1万份时，该团队 的月销售利涧最小，最小利润为。 万元. 14.解：(1)开始时，血液中α-因子浓度呈 线性增长时，设y=kx十b(k≠0)， 将(0,0)，(0.25,0.3)代入，得 6,0中6解得合二2因此 0=b, y=1.2x; 5222对构·讲与练·高三数学· 当y=1.2时，x=1,又当a-因子浓 度上升到1.2mg/mL时，以每小时 20%的速度减少， 则当x>1时，y=1.2(1 0.2)1=1.2×0.8-1, 所以所求函数解析式为 1.2x,0≤x≤1， y=1.2×0.8-z≥1 (2)设至少要经过x小时血液中-因 子降至无效，即1.2×0.81<0.2， 整理得0.8<6，两边取常用对 1 数，得g0.81<1g6则x-1> 1 1g6 -(1g3+lg2) lg0.8 -1+31g2 -(0.48+0.30) =7.8,解得x>8.8, -1+3×0.30 所以至少要经过9小时血液中α-因子 才能降至无效. 第三章 一元函数的导数 及其应用 训练17导数的概念及其 意义、导数的运算 1.A因为lim f(2+△x)-f(2-△x) △x lim f2+△x)-f2)+f(2)-f(2-△x) lim f(2+Ax)-f(2) △x lim f2-△x)-f2=2f'(2)= △ -△x 一2，所以'(2)=-1，则曲线y= f(x)在，点(2，f(2))处的切线的斜率 为一1.故选A. 2.A因为f(x)=x,所以f'(x)= 3x2,又f'(x。）=3,所以3x8=3,所 以x。=士1，故选A 3.C由f(x)=ln(ax)(a>0),则 f'(z)三1，所以fna f'(1)=1,即切线方程为y=x-1十 lna,又函数f(x)的图象在x=1处 的切线过原，点，所以lna一1=0，即 a=e.故选C. 4.C设曲线的切点坐标为(xoyo), y=lnx十x2,则y'= 1+2x,因为 x。>0,y'x=。= 十2x0=3,所 x0=2’ 以 y。=-n2+4 以切点坐标为(1,1)或(2，-1血2十 1 日），故所求的切线方程为3x-y-2 0或3x-y-4 -ln2=0.故选C. 5.D设切点为(x0,(x。-1)e0), y'=xe,.切线的斜率k=xoe0, 切线方程是y-(x。-1)e= xoe0(x-xo),切线过点A(a,0), 基础版 -(x0-1)e0=xe°(a-xo),即 x8-(a十1)x。十1=0，过点A(a, 0)可以作两条切线，∴.方程x号一(a十 1)x0十1=0有两个不同的根，∴.△= (a十1)2-4>0，解得a>1或a< 一3.故选D. 6.D设两个切点分别为P1(x1,e1), P,(x2,e2-2),(e-1)/=e-1,(e 2)'=e,曲线y=e1在点P1处的切 线方程为y-e=e1'(x-, 整理得y=e1x十(1-x1)e1,曲 线y=e一2在，点P,处的切线方程为 y-(e2-2)=e2(x-x2),整理得 y=e2x十(1-x2)e2-2,因为直线 y=kx十b是两函数图象的公切线，所以 k=e1=e2①， b=(1-x1)e1=(1-x2)e?-2@, 由①可得x1一1=x2,代入②得 -x2e2=(1-x2)e2-2,整理得 e2=2,所以x2=ln2,代入②得b= (1-ln2)e2-2=-21n2.故选D. 7.BD对于A,B,例如：曲线y=cosx 在(0,1)处的切线为直线y=1,且直 线y=1和曲线y=cOsx有无数个公 共点，故A错误，B正确；对于C,D,令 y=f(x)=x3,可得f'(x)=3x2≥ 0,即曲线y=x在某，点处的切线的斜 率不可能小于零，因为f'(0)=0,所以 曲线y=x3在原点处的切线方程是 y=0,即为x轴，故C错误，D正确.故 选BD. 8.BCy=x3-x求导得y’=3x2-1, 设切点为(m,m3一m),则切线斜率 k=3m2-1,切线方程为y-(m3 m)=(3m2-1)(x-m),又切线过点 M(1,0),所以一(m-m)=(3m2- 1)(1-m),整理得(m-1)2(2m十 1)=0,解得m=1或m=-2当 1 m=1时，k=2,切线方程为2x-y一 2=0,当m=号时，6=子切线 方程为x十4y-1=0.故选BC. 9.BC设与直线y=之x一2平行的直 线和曲线y三)相切，则斜率为k户 1 e 因为y=号，所以y= e 2,令 2=k= 可得切点为0，合）故 1 A结误，B正确；则点(0，)到直线 工-2y-4=0的距高就是向线y=月 上的，点到直线x一2y一4=0的最短距 离，由，点到直线的距离公式知最短距 1 0-2× 离为 4 =√5，故C正 √/12+22 确，D错误.故选BC 10.-1 解析：求导得到y=a(cosx一xsin x), 将x=0代入导数，运用导数的几何 意义，得a(cos0-0Xsin0)=a= -1. 1.- 解析：因为f(x)的图象在(1，f(1)) 处的切线方程为x一2y十1=0，所以 了(=子，又了u)为%画教，图象 关于y轴对称，所以'（一1）= -f'1)=-2 1 12.(e2,e) 解析：函，数f(x)=alnx的定义域为 0.+o)fx)=是g)= ，设曲线y=f(x)=anx与 2√x 曲线y=g(x)=√五的公共点为 （x0y0),x。>0,由于在公共点处有 共同的切线，所以1 口，所以 2√0 x0=4a2(a>0),由f(xo) g(xo),可得alnx。=√x。,联立 x0=4a, 解得x。=e,所以 aln zo=√ao, y。=e,所以公共点坐标为(e2,e). 18解：1y=之e2-12z+5. y=2×2十4 1 25×2x+5)'三2e2×2→ 2x十5×2=e心州-2z5 2 (2)由(1)知y'=e2+1 2 2x十5’ yx=-2=1-2=-1该函数 的图象在x=一2处的切线的倾斜角 为 14.解：设曲线y=f(x)=lnx十1，曲线 y=g(x)=e-1的切点分别为 (x1f(x1）),(x2g(x2）), 因为f(x)=正g'x)=e, 故曲线y=f(x)=lnx十1，曲线 y=g(x）=e一1在切点处的切线 方程分别为y=（:一) lnx1+1→y=—x十lnx1, y=e2(x-x2)+e2-1→y= e2x-x2e2十e2-1,则需满足 1 =e2, In zi =-z2e"2 +e-1, 故1n。=e3+e3-1(e 1)(x2-1)=0,解得x2=0或x2= 1,因此曲线y=f(x)与曲线y g(x)有两条不同的公切线. 训练18导数与函数的单调性 1.B由题意得y=f'(x)>0,则由题 图可知e(1)U(停号)改 y=fx)的单调递增区间为(-1,2小 (告，）选B 2.B由函数f(x)=x2(x-3),可得 f(x)的定义域为(-∞，十∞)，且 f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f(x)<0,可得0<x2,令 f(x)>0,可得x0或x>2,所以 f(x)在区间(0,2)内单调递减，在 (-∞，0)和(2，十∞)内单调递增，由 (侵十四)正2.十0)，所以A错误： 由（合，）0,2)，所以B正确：由 (-2,1)车（一∞，0），所以C错误；由 (-∞，一2)二（一∞，0），所以D错误. 故选B. 3 3.B由题意可得f'(x)=之x-a≤ 0在[1,4幻上恒成立，故a≥ x在 3 [1,41上恒成主，由（停）=会× 3、 max 42=24,故a≥24.故选B. 4.C“f'(x)=2x-2 2(x十1)(x-1D,又画教f(x)的定 义域是(0，十∞)，当0<x<1时， f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,故 函数f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增， }1释1≤<E 故选C. 5.C由题意可得f'(x)=a-x+22 0在区间(2,3)上恒成立，所以a≥ x十2，设画教g(x)=x十2x∈(2， 3),易得g(x)在(2,3)上单调递减，故 1 a≥g2)=子，即a的最小值为子.故 选C. 6.D设fx)=血二，则f'(x) 1-ln工，当x>e时，lnx>1,可得 f'(x)<0,可知f(x)在(e,+∞)上 单调递减，因为a= In e 2 e2 f(e'),b=In2=In4 =f(4),c 2 4 ln3=f(3),且e2>4>3>e,则 3 f(e)f(4)f(3),所以ab c.故选D. 7.AC由f(x)=e十x→f(x)= e十1>0，所以f(x)在定义域R上是 增函数，故A正确；由(x)= xe→f'(x)=(x十1)e,当x<-1 时，f'(x)<0,当x>-1时，f'(x) 0,所以f(x)在定义域R上不是增函 数，故B错误；由f(x)=x sinx→f'(x)=1-cosx≥0，所以 f(x)在定义域R上是增函数，故C正 确；f(zx)=x2一lnx的定义域为 (0,十∞)f'(x)=2x-1= 1xe(6号)时f< x 0当e(停+)时f)>0 所以∫(x)在定义域内不是增函数，故 D错误.故选AC. 8.ABD因为f'(x)=-3x2十8x-4, 令f(x)<0可得-3x2+8x-4< 0,解得x>2或x< 号，所以f)的 单调递减区问为（©，号）和(2， +),且(2，号)e(号） (2,-)=(0,）2,)s (2,十∞).故选ABD. 9.BD令g(x)=x2f(x),则g'(x)= x[xf'(x)十2f(x)],因为x>0时， xf'(x)十2f(x)>0,所以g'(x)> 0,则g(x)=x2f(x)在(0，十∞)上 单调递增，又y=x”是偶函数，且 f(x)是定义在R上的奇函数，所以 g(x)=x2f(x)是定义在R上的奇函 数，且g(0)=0,则g(x)在R上单调 递增，所以g(2)>g(1),即4f(2)> f(1),故A错误；g(-1)>g(-2),即 f(-1)>4f(-2),故B正确：g(3)> g(2),即9f(3)>4f(2),故C错误： g(-2)>g(-3),即4f(-2)> 9f(-3),故D正确.故选BD. 10.(2,十∞) 解析：函数f(x)的定义域为R,求导 得f'(x)=(x-2)e,由f'(x)>0, 解得x>2,所以f(x)的单调递增区 间是(2，十∞). 11.(-0,0] 解析：因为函数y=ax3一x在R上是 减函数，所以y=3ax2-1≤0恒成 立，当a=0时，y=-1<0成立，符 合题意；当a≠0时，要使y'=3ax2 1≤0恒成立，由二次函数的性质，只 需a<0.综上所述，a≤0. 12.(0,十∞) 解析：构造F(x)=f(x)·e,所以 F'(x)=f'(x)·er十f(x)·2e= e2[f'(x)十2f(x)]>0,所以F(x) 在R上单调递增，且F(0)=f(0)· e=1,不等式fx)>。云可化为 f(x)e2r>1,即F(x)>F(0),所以 x>0,所以原不等式的解集为 (0,十0∞). 13.解：(1)f'(x)=2e2r-(a+b),由题 知f(0)=2-(a十b)=2-2a, 整理得a=b. (2)由(1)知，f'(x)=2e2-2a, 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，此时 f(x)在R上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=2er-2a= 0,解得z-之h… 当x<na时f'x)<0,当x> 2lna时f'(x)>0 参考答案523