拓展拔高练(拓展拔高3 嵌套函数的零点问题)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高练　(时间:45分钟　分值:50分) 1.(5分)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数 是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】选B.令t=f(x),g(x)=0, 则f(t)-2t+1=0,即f(t)=2t-1, 分别作出函数y=f(t)和直线y=2t-1的图象,如图所示, 由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2, 则t1=0,1<t2<2, 对于t=f(x),分别作出函数y=f(x)和直线y=t2的图象,如图所示, 由图象可得, 当f(x)=t1=0时,函数y=f(x)与x轴有两个交点,即方程f(x)=0有两个不相等的根, 当t2=f(x)时,函数y=f(x)和直线y=t2有三个交点,即方程t2=f(x)有三个不相等的根, 综上可得g(x)=0的实根个数为5, 即函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是5. 2.(5分)已知函数f(x)=|ex-1|+1,若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 【解析】选A.令t=f(x),则函数g(t)=t2+(a-2)t-2a. 由t2+(a-2)t-2a=0,得t=2或t=-a.f(x)=|ex-1|+1=作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当t=2时,方程f(x)=|ex-1|+1=2有且仅有一个根,则方程f(x)=|ex-1|+1=-a必有两个不同的实数根,此时由图可知,1<-a<2,即-2<a<-1. 3.(5分)已知f(x)=则满足2f(f(m))+1=2f(m)+1的实数m的取值范围 是 (　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1]∪(0,e2] C.(-∞,1] D.(-∞,-1)∪(0,1] 【解析】选B.令t=f(m),则2f(t)+1=2t+1, 所以f(t)=2t-. 当t>0时,f(t)=ln t-2=2t-无解; 当t≤0时,f(t)=2t-恒成立,所以f(m)=t≤0. 当m>0时,ln m-2≤0,解得0<m≤e2; 当m≤0时,2m-≤0,解得m≤-1. 综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-1]∪(0,e2]. 4.(5分)(2024·杭州二模)设a∈R,函数f(x)=若函数y=f(f(x))恰有3个零点,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-2,0) B.(0,1) C.[-1,0) D.(0,2) 【解析】选A.当a≥0时,f(x)的大致图象如图1所示, 此时令f(f(x))=0,可得f(x)=1,观察图象可解得x=0或x=2,即方程有2个根,则此时y=f(f(x))只有2个零点,不符合题意;当a<0时,f(x)的大致图象如图2所示, 此时令f(f(x))=0,可得f(x)=1或f(x)=a,由图易知f(x)=a恰有1个根,则需满足f(x)=1有2个根,而x=0和x=2均为f(x)=1的根, 则需满足当x<0时,f(x)max<1, 又当x<0时f(x)=-x2+ax的对称轴为x=, 则f(x)max=f()=<1,解得-2<a<2,则-2<a<0.综上,a的取值范围为(-2,0). 【加练备选】 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,则实数a的取值范围为 (　　) A.(-1,1] B.(-1,0] C.[0,1] D.[-1,1] 【解析】选A. 由题意得[f(x)+a-1][f(x)+a]=0, 则f(x)=1-a或f(x)=-a.作出函数f(x)的图象如图所示,因为关于x的方程[f(x)]2+(2a-1)f(x)+a2-a=0有5个不同的实数根,所以或解得-1<a≤1,所以实数a的取值范围为(-1,1]. 5.(5分)已知函数f(x)=g(x)=x2-ax+4,若y=g(f(x))有6个零点,则a的取值范围为 (　　) A.(4,+∞) B.[4,) C.[4,5] D.[,]∪(4,5] 【解析】选D.作出函数f(x)= 的图象如图所示: 根据图象可得,当k=0或6≤k≤8时,f(x)=k有2个解; 当0<k<1时,f(x)=k有4个解; 当1≤k<6时,f(x)=k有3个解; 当k>8时,f(x)=k有1个解. 因为g(x)=x2-ax+4=0最多有两个解. 因此要使y=g(f(x))有6个零点, 则g(x)=x2-ax+4=0有2个解,设为k1,k2. 则存在下列几种情况: ①f(x)=k1有2个解,f(x)=k2有4个解, 即k1=0或6≤k1≤8,0<k2<1,显然g(0)≠0, 则此时应满足解得≤a≤; ②f(x)=k1有3个解,f(x)=k2有3个解,设k1<k2,即1≤k1<6,1<k2<6, 则应满足,解得4<a≤5; 综上所述,≤a≤或4<a≤5, 即a的取值范围为[,]∪(4,5]. 6.(5分)(2024·成都模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上的解析式为f(x)=则关于x的方程[f(x)]2+af(x)-1=0的解的个数可能为(　　) A.2或4或5或6 B.2或4或6 C.4 D.6 【解析】选C. 由题目给出的f(x)的解析式和奇偶性可得f(x)的图象如图, 令t=f(x),则原方程可化为t2+at-1=0, 其判别式Δ=a2+4>0,故该方程有两个不相等的非零实根t1,t2,且t1t2=-1,不妨设t1>t2. ①当t1>1时,t1=f(x)有1解,此时-1<t2<0,t2=f(x)有3解,所以原方程有4解; ②当t1=1时,t1=f(x)有2解,此时t2=-1,t2=f(x)有2解,所以原方程有4解; ③当0<t1<1时,t1=f(x)有3解,此时t2<-1,t2=f(x)有1解,所以原方程有4解. 综上所述,方程解的个数为4. 【加练备选】 函数f(x)=方程[f(x)]2-af(x)-a+3=0有6个不同的实数解,则实数a的取值范围是 (　　) A.(1,2) B.(2,3) C. (2,) D.[,3) 【解析】选C.由题意得,f(x)图象如图所示,令t=f(x),要使原方程有6个不同的实数解,则t2-at-a+3=0有两个不同实根t1,t2且t1<t2.若t1=0,则-a+3=0,则a=3,此时t2-3t=0, t2=3,显然此时不符合题意,故由图知0<t1<1<t2<2,即g(t)=t2-at-a+3的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,而g(t)的图象开口向上, 故⇒2<a<. 7.(5分)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的不同零点的个数为________.  【解析】设t=f(x),由f(t)=0可得或解得t=-2或t=2, 同理,由f(x)=2,解得x=-或x=5; 由f(x)=-2解得x=-或x=, 所以函数y=f(f(x))的不同零点的个数为4. 答案:4 8.(5分)已知函数f(x)=若f(f(t))-4=0,则实数t=________.  【解析】令a=f(t),则f(a)-4=0, 则当a<0时,2+log2(1-a)-4=0,解得a=-3; 当a≥0时,4a-1-4=0,解得a=2. 所以当f(t)=-3时,此时t<0, 则2+log2(1-t)=-3, 解得t=,不满足条件. 当f(t)=2时,若t<0,则2+log2(1-t)=2,解得t=0,不满足条件; 若t≥0,则4t-1=2,解得t=,满足条件. 答案: 9.(5分)已知函数f(x)=且关于x的方程[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0有7个不同的实数解,则实数m的取值范围为________.  【解析】由题意,f(x)的图象如图所示, 因为[f(x)]2-(2m+1)f(x)+m2+m=0有7个实数解, 设f(x)=t,则方程t2-(2m+1)t+m2+m=0有2个不相等的实根t1=m,t2=m+1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2,t2=2. 当1≤t1<2,t2=2时,m=1,满足题意; 当0<t1<1≤t2<2时,0<m<1≤m+1<2,解得m∈(0,1). 综上,m∈(0,1]. 答案:(0,1] 【加练备选】 已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x)+m(m∈R)有三个零点,则实数m的取值范围是________.  【解析】画出函数y=f(x)的图象,如图.令t=f(x),则由图可知要使g(x)有三个零点,则关于t的方程t2+2t+m=0有两个根,且一个根小于4,一个根大于等于4,所以解得m≤-24. 答案:(-∞,-24] 10.(5分)已知函数f(x)=|ex-3|,若函数g(x)=[f(x)]2-mf(x)+1有4个零点,则实数m的取值范围为________.  【解析】对于f(x)=|ex-3|,若ex-3=0⇒x=ln 3为零点, 且y=ex为定义域上的增函数, 所以f(x)=|ex-3|的大致图象如图所示, 由g(x)有4个零点,令f(x)=t,则f(x)=t最多2个解,令g(x)=0,可得t2-mt+1=0, 由题意t2-mt+1=0在(0,3)上必定有2个不同的实数根, 令F(t)=t2-mt+1,则转化为F(t)的图象在(0,3)上与x轴有两个不同交点, 则解得2<m<. 答案:(2,) - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $