核心素养测评(第2章 第14节 函数的零点与方程的解、二分法)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)函数f(x)=x-5+3x的零点所在的区间为 (　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【解析】选A.因为y=x-5和y=3x在R上单调递增,所以f(x)=x-5+3x在R上是增函数,且其图象是连续不断的一条曲线,又f(1)=1-5+31=-1<0,f(2)=2-5+32=6>0,故函数f(x)=x-5+3x的零点所在的区间为(1,2). 2.(5分)函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.由2x|log0.5 x|-1=0得|log0.5 x|=()x,作出y=|log0.5 x|和y=()x的图象,如图所示,则两个函数图象有2个交点,故函数f(x)=2x|log0.5 x|-1有2个零点. 【加练备选】 已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选C.令f(x)+3x=0, 则 或 解得x=0或x=-1,所以函数y=f(x)+3x的零点个数是2. 3.(5分)(2024·沈阳调研)若函数f(x)=a+x+lg x(1<x<10)有零点,则a的取值范围 为(　　) A.(-10,-1) B.(1,10) C.(1,11) D.(-11,-1) 【解析】选D.因为函数y=x+a,y=lg x均在(1,10)上单调递增,所以f(x)=a+x+lg x在(1,10)上单调递增.若函数f(x)=a+x+lg x(1<x<10)有零点,则解得-11<a<-1. 4.(5分)已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【解析】选A.因为ea=-a,所以a<0;因为ln b=-b,且b>0,所以0<b<1;因为ln c=1,所以c=e>1,综上,a<b<c. 5.(5分)(2025·济宁模拟)已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是 (　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 【解析】选B.因为a>1,0<b<1,所以f(x)=ax+x-b在R上是增函数,又f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,所以由函数零点存在定理可知,f(x)在区间(-1,0)上存在零点. 6.(5分)(一题多法)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x) (　　) A.在区间(,1),(1,e)内均有零点 B.在区间(,1),(1,e)内均无零点 C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 【解析】选D.法一(图象法):令f(x)=0,得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,显然y=f(x)在(,1)内无零点,在(1,e)内有零点. 法二(函数零点存在定理法):当x∈(,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=-=<0,所以函数f(x)在(,e)上单调递减.又f()=+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,所以函数在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. 二、多选题 7.(5分)下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln (x+2) 【解析】选BCD.对于A,因为x2-2x-8=0的解为x=-2,x=4, 所以f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误; 对于B,因为f(x)=-2在[-1,+∞)上为增函数,且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2=6>0,即f(-1)f(3)<0, 所以f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确; 对于C,因为f(x)=-1在R上为增函数,且f(-1)=-<0,f(3)=3>0,即f(-1)f(3)<0,所以f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确; 对于D,因为f(x)=1-ln (x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0, 即f(-1)f(3)<0,所以f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确. 8.(5分)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的 是 (　　) A.1<x1<2 B.x1+x2<1 C.x1+x2<2 D.x1<1 【解析】选AC.函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|的图象与直线y=-b有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x1>x2),在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象,如图所示,可知1<x1<2,-2+-2=0,即4=+>2= 2,所以<4,所以x1+x2<2. 三、填空题 9.(5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c是奇函数,且有三个不同的零点,写出一个符合条件的函数:f(x)=________.  【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c为奇函数,故a=c=0,f(x)=x3+bx=x(x2+b)有三个不同零点,所以b<0,所以f(x)=x3-x满足题意. 答案:x3-x(答案不唯一) 10.(5分)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,则x1x2=________.  【解析】x1,x2分别是函数y=ex,y=ln x与函数y=的图象的交点A,B的横坐标,所以A(x1,),B(x2,)两点关于y=x对称,则x1=,因此x1x2=1. 答案:1 【能力提升练】 11.(5分)(2025·保定模拟)已知x>0,函数f(x)=2x+x-5,g(x)=x2+x-4,h(x)=log2 x+x-3的零点分别为a,b,c,则 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【解析】选C.因为f(x)=2x+x-5单调递增, 且f(1.6)=21.6-3.4=-=-<0,f(2)=4+2-5=1>0, 由函数零点存在定理可知,f(x)有唯一零点a,且1.6<a<2;因为g(x)=x2+x-4在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=-2<0, g(1.6)=1.62-2.4=2.56-2.4>0, 由函数零点存在定理可知,g(x)有唯一零点b,且1<b<1.6;因为h(x)=log 2x+x-3在(0,+∞)上单调递增,且h(2)=1+2-3=0,则h(x)有唯一零点c=2,所以b<a<c. 12.(5分)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(1,2] B.(1,2) C.(0,1) D.[1,+∞) 【解析】选A.因为函数g(x)=f(x)-m有三个零点,所以函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,作出函数f(x)的图象,如图所示, 由图可知,1<m≤2,即m的取值范围是(1,2]. 13.(5分)(多选题)已知实数x1,x2为函数f(x)=()x-|log2(x-1)|的两个零点,则下列结论正确的是 (　　) A.(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0) B.(x1-1)(x2-1)∈(0,1) C.(x1-1)(x2-1)=1 D.(x1-1)(x2-1)∈(1,+∞) 【解析】选AB.令f(x)=0,则()x=|log 2(x-1)|,分别作出y=()x与y=|log 2(x-1)|的图象,如图所示. 由图不妨设1<x1<2<x2,所以(x1-2)(x2-2)∈(-∞,0)成立,故A正确;由于 log 2[(x1-1)(x2-1)]=log 2(x1-1)+log 2(x2-1)=-(+(<0,所以0<(x1-1)(x2-1)<1, 故B正确,C,D错误. 14.(5分)已知函数f(x)=函数y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则=________.  【解析】y=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,即方程f(x)=a有四个不同的解,即y=f(x)的图象与直线y=a有四个交点. 在同一平面直角坐标系中分别作出y=f(x)与y=a的图象,如图所示, 由二次函数的对称性可得,x3+x4=4. 因为1-=-1,所以+=2,故=. 答案: 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)在数学中,布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间,是构成一般不动点定理的基石.简单地讲,就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数,下列函数是“不动点”函数的是 (　　) A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x-3 C.f(x)=+1 D.f(x)=|log 2x|-1 【解析】选BCD.选项A,若f(x0)=x0,则=0,该方程无解,故该函数不是“不动点”函数; 选项B,若f(x0)=x0,则-2x0-3=0, 解得x0=3或x0=-1,故该函数是“不动点”函数; 选项C,若f(x0)=x0,则+1=x0, 可得-3x0+1=0,且x0≥1, 解得x0=,故该函数是“不动点”函数; 选项D,若f(x0)=x0,则|log2 x0|-1=x0, 即|log2 x0|=x0+1, 作出y=|log2 x|与y=x+1的函数图象,如图, 由图可知,方程|log2 x|=x+1有实数根,即存在x0,使|log2 x0|-1=x0,故该函数是“不动点”函数. 16.(5分)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使得|α-β|<n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为________.  【解析】由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)只有一个零点2,由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”,得|2-β|<1.由|2-β|<1,得1<β<3, 所以函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点. 由g(x)=x2-aex=0,得a=. 令h(x)=,则h'(x)==, 所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减, 且h(1)=,h(2)=,h(3)=>, 要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点, 只需a∈(,]. 答案:(,] - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $