核心素养测评(第2章 第12节 对数与对数函数)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　) A.log2 x B. C.lox D. 【解析】选A.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=loga x,又f(2)=1,即loga 2=1,所以a=2.故f(x)=log2 x. 2.(5分)(一题多法)函数f(x)=2log4 (1-x)的大致图象是(　　) 【解析】选C.法一:函数f(x)=2log4 (1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数f(x)=2log4 (1-x)在定义域上单调递减,排除D. 法二(特值法):分别取x=及x=-1验证即可. 【加练备选】 函数y=loga x与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 【解析】选A.当a>1时,函数y=loga x的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求; 当0<a<1时,函数y=loga x的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,只有选项A中的图象符合要求. 3.(5分)设a,b,c均为正数,且2a=loa,=b,=log2 c则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【解析】选A.因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=,y=log2 x,y=lox的图象如图. 由图可知a<b<c. 4.(5分)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 【解析】选D.当x≤1时,由≤2得1-x≤1,所以0≤x≤1;当x>1时,由1-log2 x≤2得x≥,所以x>1.综上,x的取值范围为[0,+∞). 【加练备选】 设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 【解析】选C.由题意可得或 解得a>1或-1<a<0. 5.(5分)(2025·武汉模拟)函数f(x)=loga (3-2ax)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,1) B. (,1) C. (0,) D.(1,+∞) 【解析】选C.设u(x)=3-2ax(a>0且a≠1),则u(x)是减函数,要使得函数f(x)=loga (3-2ax)在[1,2]上单调递增,只需y=loga u为减函数,且满足u(x)=3-2ax>0在x∈[1,2]上恒成立,所以 解得0<a<,所以实数a的取值范围为(0,). 二、多选题 6.(5分)已知函数f(x)=ln (x-2)+ln (6-x),则(　　) A.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 B.f(x)在(2,6)上单调递增 C.f(x)在(2,6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 【解析】选ACD.由题意得f(x)=ln (x-2)+ln (6-x)=ln [(x-2)(6-x)],由得函数f(x)的定义域为(2,6),令t=(x-2)(6-x),则t>0,设y=ln t,二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12的图象开口向下,其对称轴为直线x=4,所以t=(x-2)(6-x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减, 所以t=(x-2)(6-x)∈(0,4], 又函数y=ln t在(0,4]上单调递增,由复合函数的单调性,可得f(x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,故B错误. 因为当t∈(0,4]时,y=ln t∈(-∞,2ln 2],即f(x)∈(-∞,2ln 2], 所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2,无最小值,故A,C正确. 因为f(4-x)=ln (4-x-2)+ln (6-4+x)=ln (2-x)+ln (2+x), f(4+x)=ln (4+x-2)+ln (6-4-x)=ln (2+x)+ln (2-x), 所以f(4-x)=f(4+x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称,故D正确. 7.(5分)函数f(x)=loga |x-1|(a>0,且a≠1)在(0,1)上单调递减,那么(　　) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 【解析】选AD.因为函数f(x)=loga |x-1|在(0,1)上单调递减,所以f(x)=loga (1-x)在(0,1)上单调递减,而y=1-x是减函数,故a>1, 所以当x>1时,f(x)=loga (x-1), 而y=x-1是增函数,且a>1,则f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值,故A正确,B错误; 又f(-x)=loga |-x-1|=loga |x+1|≠f(x),故C错误; 因为f(2-x)=loga |2-x-1|=loga |x-1|=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故D正确. 【加练备选】 已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减 C.函数f(x)在区间[-,1]上的最小值为0 D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2] 【解析】选ACD.将(0,0)代入函数 f(x)=|loga(x+1)|(a>1), 可得f(0)=|loga1|=0,故A正确; 当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|loga (x+1)|=loga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时, f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)单调递增,故B错误; 当x∈[-,1]时,x+1∈[,2],所以f(x)=|loga(x+1)|≥loga 1=0,故C正确; 当x∈[1,2]时,f(x)=|loga (x+1)|=loga (x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知loga 2≥1,解得1<a≤2,故D正确. 三、填空题 8.(5分)已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=________.  【解析】log1815====. 答案: 9.(5分)(2024·邯郸模拟)若函数f(x)=loga(x2-ax+)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是________.  【解析】令u(x)=x2-ax+=(x-)2+-,则u(x)有最小值-, 欲使函数f(x)=loga(x2-ax+)有最小值, 则有解得1<a<,即实数a的取值范围为(1,). 答案:(1,) 【规律方法】 在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件. 四、解答题 10.(10分)已知函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; 【解析】(1)由题意,得解得-1<x<1,所以函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1). (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; 【解析】(2)函数f(x)-g(x)是奇函数. 理由如下: 因为函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,1),所以其定义域关于原点对称. 又因为f(-x)-g(-x)=log2(1-x)-log2(1+x)=-[log2(1+x)-log2(1-x)]= -[f(x)-g(x)],所以函数f(x)-g(x)是奇函数. (3)求使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围. 【解析】(3)因为f(x)-g(x)>1,即log2(1+x)-log2(1-x)>1,所以log2>1=log2 2. 所以解得<x<1. 所以使得不等式f(x)-g(x)>1成立的x的取值范围是(,1). 【能力提升练】 11.(5分)若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=log4 z,则(　　) A.z>x>y B.z>y>x C.x>y,x>z D.z>x,z>y 【解析】选D.设2x=3y=log4 z=k>0,则x=log2 k,y=log3 k,z=4k,根据指数、对数函数图象易得4k>log2 k,4k>log3 k,即z>x,z>y. 12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln (+1)-x,则(　　) A.f(ln 2)=ln B.f(x)是奇函数 C.f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.f(x)的最小值为ln 2 【解析】选ACD.f(ln 2)=ln (e2ln 2+1)-ln 2=ln ,A正确; f(x)=ln (+1)-x=ln (+1)-ln ex=ln =ln (ex+), 所以f(-x)=ln (e-x+ex)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误; 当x>0时,y=ex+在(0,+∞)上单调递增, 因此y=ln (ex+)在(0,+∞)上单调递增,C正确; 由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数, 所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln 2,D正确. 13.(5分)已知函数f(x)=|log2 x|,实数a,b满足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值为2,则+b=________.  【解析】因为f(x)=|log2 x|,所以f(x)的图象如图所示, 又f(a)=f(b)且0<a<b,所以0<a<1,b>1且ab=1, 所以a2<a,由图知,f(x)max=f(a2)=|log2 a2|=-2log2 a=2,所以a=,所以b=2,所以+b=4. 答案:4 【加练备选】 已知函数f(x)=loga (8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是______________.  【解析】当a>1时,f(x)=loga (8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,得f(x)min=loga (8-2a)>1,解得1<a<;当0<a<1时,f(x)在[1,2]上是增函数, 由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立, 得f(x)min=loga (8-a)>1,得8-a<a,a>4,故a不存在.综上可知,实数a的取值范围是(1,). 答案: (1,) 14.(10分)已知函数f(x)=loga (ax2-x). (1)若a=,求函数f(x)的单调区间; 【解析】(1)当a=时,f(x)=lo(x2-x). 令x2-x>0,解得x<0或x>2. 所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞). 令y=x2-x. 因为函数y=x2-x=(x-1)2-在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)=lo(x2-x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(2,+∞). (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围. 【解析】(2)根据题意,知a>0,且a≠1. 令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象的对称轴为直线x=. 因为f(x)在区间[2,4]上是增函数,则 ①当a>1时,显然≤2,g(x)在区间[2,4]上单调递增, 又因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0, 所以g(2)>0,即4a-2>0,解得a>. 所以a>1; ②当0<a<1时,由题意,得≥4, 解得a≤,所以0<a≤. 因为g(x)在区间[2,4]上恒大于0, 所以g(4)>0. 所以16a-4>0, 解得a>,与0<a≤矛盾, 则此种情况不存在. 综上所述,实数a的取值范围是(1,+∞). 【创新思维练】 15.(5分)(2024·保定模拟)已知函数f(x)=x+,x∈(2,8),当x=m时,f(x)有最小值n.则在平面直角坐标系中,函数g(x)=lo|x+n|的图象是(　　) 【解析】选A.因为x∈(2,8),所以x-2>0,所以f(x)=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号,所以m=3,n=4. 则函数g(x)=lo|x+4|的图象在(-4,+∞)上单调递减,在(-∞,-4)上单调递增. 16.(5分)如图,已知过原点O的直线与函数y=log8 x的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数y=log2 x的图象交于C,D两点,若BC∥x轴,则四边形ABDC的面积为________.  【解析】设点A,B的横坐标分别为x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点A,B的纵坐标分别为log8 x1,log8 x2.因为A,B在过点O的直线上,所以=,点C,D的坐标分别为(x1,log2 x1),(x2,log2 x2).由BC∥x轴,知log2 x1=log8 x2,即log2 x1=log2 x2,所以x2=. 代入x2log8 x1=x1log8 x2得log8 x1=3x1log8 x1.由x1>1知log8 x1≠0,所以=3x1.考虑x1>1,解得x1=.于是点A的坐标为(,log8 ),即A,log2 3),所以B(3,log23),C(,log2 3),D(3,log23).所以四边形ABDC的面积为(AC+BD)·BC=×(log2 3+log2 3)×2=log2 3. 答案:log2 3 - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $