核心素养测评(第2章 第11节 指数与指数函数)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)下列函数中,值域是(0,+∞)的为(　　) A.y= B.y=()x C.y= D.y= 【解析】选B.函数y=的值域为[0,+∞); 函数y=()x的值域为(0,+∞); 函数y=的值域为[0,1); 函数y=的值域为(0,1)∪(1,+∞). 2.(5分)(2022·北京卷)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 【命题意图】考查函数的奇偶性、对称性,中档题. 【解析】选C.因为f(x)=,所以f(-x)==,f(x)+f(-x)==1. 3.(5分)函数f(x)= ()|x+1|的图象大致为(　　) 【解析】选B.作出函数y=()|x|=的图象,如图所示,将y=()|x|的图象向左平移1个单位长度得到f(x)= ()|x+1|的图象. 4.(5分)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 【解析】选B.由f(1)=,得a2=,所以a=或a=-(舍去),即f(x)= ()|2x-4|,由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=()x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减. 5.(5分)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a.6 min后发现容器内还有一半的细沙,要使容器内的细沙只有开始时的八分之一,则需再经过(　　) A.6 min B.12 min C.18 min D.32 min 【解析】选B.当t=0时,y=a;当t=6时,y=a=a,所以=.若容器内的细沙只有开始时的八分之一,则y=a=a,所以e-bt==()3=,则t=18,18-6=12(min),所以再经过12 min,容器内的细沙只有开始时的八分之一. 二、多选题 6.(5分)(2024·广州模拟)已知函数y=(),则下列说法正确的是(　　) A.定义域为R B.值域为(0,2] C.在[-2,+∞)上单调递增 D.在[-2,+∞)上单调递减 【解析】选ABD.函数y=()的定义域为R,A正确; 因为x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,所以0<()≤2,故函数y=()的值域为(0,2],B正确; 因为y=()u在R上是减函数,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 所以函数y=()在[-2,+∞)上单调递减,C错误,D正确. 7.(5分)(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0 【解析】选AC.对于A,由f(-x)==-=-f(x),可得函数f(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于原点对称,故选项A正确,选项B错误; 对于C,设y=,可得3x=,所以>0,即<0,解得-1<y<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),所以C正确; 对于D,对∀x1,x2∈R,且x1≠x2,<0,可得函数f(x)为减函数, 而f(x)==1-为增函数,所以D错误. 【加练备选】 (多选题)已知函数f(x)=,则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)是奇函数 C.f(x)在定义域上是减函数 D.f(x)无最小值,无最大值 【解析】选BD.对于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,故f(x)的定义域为{x|x≠0},故A错误; 对于B,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确; 对于C,f(x)===1+, 故函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,当x→-∞时,f(x)→-1,x→0-时,f(x)→-∞,x→0+时,f(x)→+∞,x→+∞时,f(x)→1, 所以f(x)在定义域上不是减函数,故C错误; 对于D,由选项C的分析可知,函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),无最小值,无最大值,故D正确. 三、填空题 8.(5分)(一题多法)(2024·东莞调研)已知函数f(x)=+是奇函数,则a=________.  【解析】法一:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以+=-(+), 即+=--, 所以+=-1, 即=-1,所以a=1. 法二:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1), 即+=-(+),解得a=1. 当a=1时,f(x)=+, f(-x)=+=+=-+=-+ =--=-(+)=-f(x), 所以当a=1时,f(x)为奇函数. 答案:1 9.(5分)(2025·深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是________.  【解析】y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是(0,). 答案: (0,) 四、解答题 10.(10分)已知函数f(x)=4x-a·2x-1+4. (1)若a=4,求f(x)在[0,1]上的值域; 【解析】(1)当a=4时,f(x)=4x-2·2x+4=(2x-1)2+3,令2x=t,则y=(t-1)2+3. 因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],即t∈[1,2], 而y=(t-1)2+3的对称轴为直线t=1, 所以函数y=(t-1)2+3在[1,2]上单调递增, 所以3≤(t-1)2+3≤4,即3≤f(x)≤4. 所以f(x)在[0,1]上的值域为[3,4]. (2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围. 【解析】(2)f(x)=4x-·2x+4, 令2x=m(m>0),则y=m2-·m+4. 因为f(x)=0有解,所以m2-·m+4=0在(0,+∞)上有解,所以解得a≥8,所以a的取值范围为[8,+∞). 【能力提升练】 11.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=4x-3×2x+2a.则关于x的不等式f(x)≤-6的解集为(　　) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[-2,0)∪(0,2) D.[-2,0)∪(2,+∞) 【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=4x-3×2x+2a,则f(0)=40-3×20+2a=2a-2=0,解得a=1,即当x≥0时,f(x)=4x-3×2x+2,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-(4-x-3×2-x+2),而当x≥0时,f(x)=-≥-,不符合题意.故由f(x)≤-6, 知 即变形得解得x≤-2,所以不等式f(x)≤-6的解集为(-∞,-2]. 12.(5分)(多选题)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈(0,1]时,f(x)=,则下列判断正确的是(　　) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的值域为[-1,1] C.f(x+1)是偶函数 D.f(2 025)=1 【解析】选ACD.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=f(2-x),所以f(x)=-f(-x)=-f(2+x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期函数,4是它的一个周期;f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,因此f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数; f(2 025)=f(4×506+1)=f(1)==1;当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],所以f(x)=∈(,1],又f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,f(x)的图象关于原点对称,所以当x∈[-1,0)时,f(x)∈[-1,-),再结合f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)的值域是[-1,-)∪{0}∪(,1].综上A,C,D正确,B错误. 13.(5分)若函数f(x)= ()的值域是(0,],则f(x)的单调递增区间是________.  【解析】令g(x)=ax2+2x+3,因为f(x)的值域是(0,],所以g(x)的值域是[2,+∞). 因此有解得a=1, 所以g(x)=x2+2x+3,f(x)= (). 因为g(x)的单调递减区间是(-∞,-1], 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 14.(10分)已知函数f(x)=(x∈R). (1)求证:函数f(x)是R上的减函数; 【解析】(1)设任意的x1,x2∈R,x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,因为x1,x2∈R,x1<x2, 所以->0,(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是R上的减函数. (2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=f(x+a)-b的图象关于原点中心对称,判断函数f(x)的图象是否存在对称中心?若存在,求出该对称中心的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(2)假设函数f(x)的图象存在对称中心(a,b),则g(x)=f(x+a)-b=-b的图象关于原点中心对称,由于函数的定义域为R, 所以g(-x)+g(x)=-b+-b=0恒成立,即(1-2b)(+)+2-2b-2b·=0恒成立, 所以解得a=0,b=, 所以函数f(x)的图象存在对称中心(0,). 【加练备选】 定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有-M≤f(x)≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x+a·2x-2. (1)当a=-2时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由; 【解析】(1)当a=-2时,f(x)=4x-2×2x-2=(2x-1)2-3,令2x=t,由x∈(0,+∞),可得t∈(1,+∞).令g(t)=(t-1)2-3,有g(t)>-3,可得函数f(x)的值域为(-3,+∞),故函数f(x)在(0,+∞)上不是有界函数. (2)若函数f(x)在(-∞,0)上是以2为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 【解析】(2)由题意有,当x∈(-∞,0)时,-2≤4x+a·2x-2≤2,可化为0≤4x+a·2x≤4, 必有a·2x≥0且a≤-2x. 令2x=k,由x∈(-∞,0),可得k∈(0,1), 由a·2x≥0恒成立,可得a≥0, 令h(k)=-k(0<k<1),可知函数h(k)为减函数,有h(k)>h(1)=4-1=3, 由a≤-2x恒成立,可得a≤3, 若故函数f(x)在(0,+∞)上是以2为上界的有界函数,则实数a的取值范围为[0,3]. 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)已知函数f(x)=a·()|x|+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 【解析】选ABD.因为函数f(x)=a·()|x|+b的图象过原点, 所以a+b=0,即b=-a,f(x)=a·()|x|-a, 且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交, 所以b=2,a=-2,f(x)=-2·()|x|+2,故A正确; 由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,即x+y=0,故B正确; 由于当x∈(-∞,0)时,f(x)=2-2·2x单调递减, 故若x<y<0,则f(x)>f(y),故C错误; 因为()|x|∈(0,1], 所以f(x)=-2·()|x|+2∈[0,2). 16.(5分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是________.  【解析】因为f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”, 所以存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0), 所以+m-1=--m+1, 所以2m=--+2, 构造函数y=--+2, x0∈[-1,1],令t=,t∈[,3], 则y=--t+2=2-(t+)在[,1]上单调递增, 在(1,3]上单调递减,所以当t=1时,函数取得最大值0, 当t=或t=3时, 函数取得最小值-, 所以y∈[-,0], 又因为m≠0,所以-≤2m<0, 所以-≤m<0. 答案: [-,0) - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $