核心素养测评(第2章 第7节 函数的单调性与最值)(Word练习)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:90分) 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)下列函数中,在区间(-1,1)上单调递减的是(　　) A.y= B.y=cos x C.y=ln (x+1) D.y=2-x 【解析】选D.函数y=,y=ln (x+1)在(-1,1)上都单调递增,函数y=cos x在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,而函数y=2-x=()x在(-1,1)上单调递减. 2.(5分)函数f(x)=log 0.5(x+1)+log 0.5(x-3)的单调递减区间是(　　) A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 【解析】选A.由已知易得即x>3,又0<0.5<1,所以f(x)在(3,+∞)上单调递减. 3.(5分)已知f(x)是偶函数,f(x)在[1,3]上单调递增,则f(1),f(-2),f(-3)的大小关系 为(　　) A.f(1)>f(-2)>f(-3) B.f(-2)>f(-3)>f(1) C.f(-3)>f(1)>f(-2) D.f(-3)>f(-2)>f(1) 【解析】选D.因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).因为f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(3)>f(2)>f(1),所以f(-3)>f(-2)>f(1). 4.(5分)已知函数f(x)=x+ln x-1,则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(e,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,+∞) 【解析】选C.函数f(x)=x+ln x-1的定义域为(0,+∞).因为y=x-1在(0,+∞)上单调递增,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=1+ln 1-1=0,所以不等式f(x)<0的解集为(0,1). 5.(5分)已知函数f(x)=若f(a)<f(6-a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-3,+∞) B.(-∞,-3) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 【解析】选D.显然f(x)在R上单调递增,故f(a)<f(6-a)可化为a<6-a,解得a<3. 二、多选题 6.(5分)下列说法中,正确的是(　　) A.若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则y=f(x)在I上单调递增 B.函数y=x2在R上是增函数 C.函数y=-在定义域上是增函数 D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞) 【解析】选AD.对于A,若对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,>0,则有f(x1)<f(x2),由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上单调递增,故A正确; 对于B,由二次函数的性质可知,y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,由反比例函数单调性可知,y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,故C错误; 对于D,由反比例函数单调性可知,y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),故D正确. 7.(5分)(2025·广州联考)已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间[1,+∞)上一定(　　) A.单调递减 B.单调递增 C.有最小值 D.有最大值 【解析】选BC.因为函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,所以函数图象的对称轴应当位于区间(-∞,1),所以a<1,g(x)==x+-2a(x≥1), 任取1≤x1<x2,g(x1)-g(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2)·,由a<1,1≤x1<x2,有x1-x2<0,x1x2>1>0,x1x2-a>0,则g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),所以g(x)=x+-2a在区间[1,+∞)上单调递增,函数的最小值为g(1)=1-a,无最大值. 三、填空题 8.(5分)函数y=的单调递减区间是________.  【解析】由题意,要使函数y=有意义,需满足x2+2x-24≥0,解得x≤-6或x≥4,又由t=x2+2x-24在(-∞,-6]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,结合复合函数的单调性的判定方法,可得函数y=的单调递减区间是(-∞,-6]. 答案:(-∞,-6] 9.(5分)已知函数f(x)=log a(x2-ax+3)在[0,1]上单调递减,则实数a的取值范围是________.  【解析】函数f(x)=log a(x2-ax+3)在[0,1]上单调递减,当0<a<1时, x2-ax+3=(x-)2+3-≥3->0恒成立, 而函数u=x2-ax+3在区间[0,1]上不单调,因此0<a<1不符合题意; 当a>1时,函数y=log au在(0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性,得函数u=x2-ax+3在区间[0,1]上单调递减,因此≥1,并且12-a×1+3>0,解得2≤a<4,所以实数a的取值范围是[2,4). 答案:[2,4) 四、解答题 10.(10分)(2024·重庆模拟)已知f(x)=(x∈R). (1)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明; 【解析】(1)f(x)==1-在R上是增函数.证明:在R上任取x1,x2且x1<x2,f(x1)-f(x2)= (1-)-(1-)=,由x1<x2可知0<<,所以-<0,+1>0,+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 即f(x)在R上是增函数. (2)解关于t的不等式f(t2-3)+f(2t)<0. 【解析】(2)易知f(-x)===-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,由(1)知,函数f(x)在R上是增函数,由f(t2-3)+f(2t)<0,可得f(t2-3)<-f(2t)=f(-2t),所以t2-3<-2t,即t2+2t-3<0,解得-3<t<1,即关于t的不等式f(t2-3)+f(2t)<0的解集为{t|-3<t<1}. 【能力提升练】 11.(5分)已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠x2,都有>-1,则下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 【解析】选A.不妨令x1<x2,所以x1-x2<0, 因为>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,所以g(x1)<g(x2),又x1<x2,所以g(x)=f(x)+x是增函数. 12.(5分)(多选题)(2025·长沙模拟)已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且对于y=f(x)(x∈R),当x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时,<0恒成立,若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围可以是(　　) A.(-,-1) B. (-,1] C.[0,) D.(,+∞) 【解析】选ABC.由题意得y=f(x)为偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,故y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(2ax)<f(2x2+1),故f(|2ax|)<f(2x2+1),所以|2ax|<2x2+1,当x=0时,|0|<1恒成立,满足要求,当x≠0时,|2a|<=2|x|+在x∈(-∞,0)∪(0,+∞)上恒成立,其中2|x|+≥2=2,当且仅当2|x|=,即|x|=时,等号成立,故|2a|<2,解得-<a<, 综上,a的取值范围为{a|-<a<}, A选项,由于(-,-1)⊆(-,),A正确; B选项, (-,1]⊆(-,),B正确; C选项,[0,)⊆(-,),C正确; D选项,(,+∞)显然不是(-,)的子集,D错误. 13.(5分)设函数f(x)=x2 024-+5,则f(x)的单调递增区间为________,不等式f(x-1)<5的解集为_________________.  【解析】由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)=x2 024-+5,f(x)单调递增,因此当x<0时,f(x)单调递减.又因为f(1)=f(-1)=5,所以由f(x-1)<5可得-1<x-1<0或0<x-1<1,即0<x<1或1<x<2. 答案:(0,+∞)　(0,1)∪(1,2) 14.(10分)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足下面三个条件: ①对任意正数a,b都有f(a)+f(b)=f(ab); ②当x>1时,f(x)<0; ③f(2)=-1. (1)求f(1)和f()的值; 【解析】(1)令a=b=1,可得2f(1)=f(1),解得f(1)=0. 令a=b=2,可得2f(2)=f(4)=-2; 令a=4,b=,可得f(4)+f()=f(1)=0, 即有f()=-f(4)=2. (2)试用单调性定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上是减函数; 【解析】(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,可得>1,即有f()<0,则f(x2)=f(x1·)=f(x1)+f()<f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上是减函数. (3)求满足f(t)+f(2t-1)>1的t的取值范围. 【解析】(3)令a=b=,可得2f()=f()=2,即f()=1.因为f(t)+f(2t-1)=f(t(2t-1))>1=f(),所以解得<t<. 所以满足f(t)+f(2t-1)>1的t的取值范围为(,). 【创新思维练】 15.(5分)已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,若F(x)=则F(x)(　　) A.最大值为3,最小值为-1 B.最大值为7-2,无最小值 C.最大值为3,无最小值 D.无最大值,最小值为-1 【解析】选B.根据已知条件,可以求出F(x)=其图象如图所示,所以F(x)有最大值F(2-)=7-2,无最小值.B正确. 16.(5分)(多选题)已知函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]⊆D使得: (1)f(x)在[m,n]上具有单调性; (2)f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n],则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)=x+ D.f(x)= 【解析】选ABD.函数中存在“倍值区间”,则(1)f(x)在[m,n]上具有单调性, (2)或对于A,f(x)=x2,若存在“倍值区间”[m,n],则⇒⇒所以f(x)=x2存在“倍值区间”[0,2];对于B,f(x)=,若存在“倍值区间”[m,n],当x>0时,⇒mn=,故只需 mn=即可,故存在;对于C,f(x)=x+,当x>0时,在区间[0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1]⇒m+=2n,n+=2m⇒m2-2mn+1=0, n2-2mn+1=0⇒m2=n2不符合题意;若存在“倍值区间”[m,n]⊆[1,+∞)⇒m+=2m, n+=2n⇒m2=n2=1不符合题意,故此函数不存在“倍值区间”;对于D,f(x)==,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减,若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1],=2m,=2n,所以m=0,n=,即存在“倍值区间”[0,]. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $