第10章 第65节 正态分布(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第65节　正态分布 考试要求 考题分析 1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用. 2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率. 3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - T13 2023年 - - 2024年 T9 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.正态分布的定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参 数, 则称随机变量X服从正态分布,记为___________. 2.正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的,它关于直线_____对称; (2)曲线在_____处达到峰值; (3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. X~N(μ,σ2) x=μ x=μ 返回 3.3σ原则 (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7; (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5; (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3; (4)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 4.正态分布的均值与方差 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=___. σ2 返回 【常用结论】 若X~N(μ,σ2),则P(X<a)=1-P(X≥a), P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方. (　 　) (2)正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方. (　 　) (3)正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化. (　 　) (4)正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3 1 2,4 √ × × √ 返回 2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(X<3)=0.7,则P(1<X<2)= (　　)　　　　 　　　　　　　　　　 A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 【解析】选A.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以曲线关于直线x=2对称.因为P(X<3)=0.7,所以P(X≥3)=1-0.7=0.3, 所以P(X≤1)=P(X≥3)=0.3, 所以P(1<X<3)=1-P(X≤1)-P(X≥3)=1-0.6=0.4,所以P(1<X<2)=P(1<X<3)=0.2. 返回 3.(选择性必修第三册P85·思考变式)设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c的值为________.  【解析】由X~N(2,9)可知,正态分布的图象关于直线x=2对称(如图所示).又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2, 所以c=2. 答案:2 返回 4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=________.  【解析】因为X~N(2,σ2), 所以P(X<2)=P(X>2)=0.5, 因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 答案:0.14 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　正态分布的性质 【例1】(1)已知三个正态密度函数φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则 (　　) A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3. 返回 (2)(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01, 已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布 N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入 Y服从正态分布N(,s2),则 (　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 【解析】选BC.由题意得X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 故P(X>2)<P(X>μ+σ)=1-P(X<μ+σ)<0.2, 故B正确,A错误; 而 P(Y>2)=P(Y>μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.841 3>0.8, 故C正确, D错误. 返回 思维升华 　解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为直线x=μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0. 返回 对点训练 1.设两个正态分布N1(μ1,)(σ1>0)和N2(μ2,)(σ2>0)的正态曲线如图所示,则有 (　　) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 【解析】选A.根据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得答案. 返回 2.设随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,),这两个正态曲线如图所示,下列结论中正确的是 (　　) A.μ1>μ2 B.σ1<σ2 C.P(X≤34)<P(Y≤34) D.P(X≤38)<P(Y≤38) 【解析】选D.由正态曲线的性质可知,X~N(μ1,),Y~N(μ2,)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称, 因此结合题中所给图象可得,μ1=30,μ2=34,则μ1<μ2, 根据正态曲线的性质,σ越大图象越矮胖,所以σ1>σ2,故A,B错误; 由曲线X的对称轴为直线x=μ1,曲线Y的对称轴为直线x=μ2,可知μ2>μ1, 所以P(X≤34)>=P(Y≤34),P(X≤38)<P(Y≤38),故C错误,D正确. 返回 【加练备选】 设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=(x∈R),则这个正态总体的平均数与标准差分别是 (　　) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 【解析】选B.因为f(x)=,所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2. 返回 考点二　服从正态分布的概率计算 【例2】(1)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 (　　) A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 返回 【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确,不符合题意; 对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5,故B正确,不符合题意; 对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确,不符合题意; 对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)内的概率与落在(10.2,10.3)内的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率不同,故D错误,符合题意. 返回 (2)在某次质量检测考试中,高二年级学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100 000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第________名.  (参考数值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) 【解析】因为数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以μ=98,σ=10, 所以108=μ+σ,则P(X>108)=P(X>μ+σ)=≈0.158 65,数学成绩为108分的学生大约排在全市第100 000×0.158 65=15 865(名). 答案:15 865 返回 思维升华 正态分布的概率计算的关键点 正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称. 返回 对点训练 1.新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位:kW·h/100km)情况,随机调查得到了1 200个样本,据统计,该型号新能源汽车的耗电量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,则样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有(　　) A.180辆 B.360辆 C.600辆 D.840辆 【解析】选A.因为ξ~N(13,σ2),且P(12<ξ<14)=0.7,所以P(ξ≥14)=×[1-P(12<ξ<14)] =×(1-0.7)=0.15,所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100km的汽车大约有 1 200×0.15=180(辆). 返回 2.某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析,数学成绩X近似服从正态分布N(72,82),则数学成绩位于(80,88]的人数约为 (　　) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.455 B.2 718 C.6 346 D.9 545 【解析】选B.由题意可知,μ=72,σ=8,P(80<X≤88)=P(μ+σ<X≤μ+2σ) =[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,则数学成绩位于(80,88]的人数约为0.135 9×20 000=2 718. 返回 【加练备选】 1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选B.因为随机变量X服从正态分布N(5,4),所以其图象关于直线x=5对称.又因为P(X>k)=P(X<k-4),所以=5,解得k=7. 返回 2.陕西洛川苹果享誉国内外,据统计,陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则直径在(80,85]内的概率为 (　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.0.021 4 B.0.043 0 C.0.818 5 D.0.682 6 【解析】选A.由题可设直径在(80,85]内的概率为P,则P= ≈=0.021 4. 返回 3.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X<3)+P(X≤1)=1,则μ=________.  【解析】因为X服从正态分布N(μ,σ2),所以P(X<3)+P(X≥3)=1,所以P(X≤1)=P(X≥3),由正态曲线的对称性知对称轴为直线x=2,所以μ=2. 答案:2 返回 $