第10章 第63节 离散型随机变量及其分布列、均值与方差(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦离散型随机变量及其分布列、均值与方差核心考点，依据高考评价体系明确概念理解、性质应用及实际计算的考查要求。通过知识梳理构建定义-性质-公式体系，结合近三年新高考真题分析考点权重，归纳分布列参数求解、均值方差实际应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+思维建模”策略，如2024新高考Ⅱ卷投篮比赛题，通过分步拆解培养数学思维，用分布列性质和均值公式规范数学语言表达。特设易错辨析与变式训练，帮助学生掌握参数方程法等突破技巧，助力教师精准教学，提升学生应试能力。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第63节　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考试要求 考题分析 1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差). 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有______的实数X(ω)与之对应, 我们称X为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机 变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列. 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi___0,i=1,2,…,n; (2)p1+p2+…+pn=___. 唯一 ≥ 1 返回 4.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值:E(X)=_________________= xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机 变量取值的__________. (2)方差:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的________,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的__________. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1+x2p2+…+xnpn 平均水平 标准差 偏离程度 返回 [注意点] 1.E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均状态. 2.变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程 度,其中标准差与随机变量本身具有相同的单位. 5.均值(数学期望)与方差的性质 (1)E(aX+b)=_________. (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数) aE(X)+b a2D(X) 返回 【常用结论】 1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. 2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 3.D(X)=E(X2)-(E(X))2. 4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象. (　 　) (2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以大于1. (　 　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. (　 　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 √ × √ √ 返回 2.(选择性必修三P63·例1变式)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值为 (　　)　　　 　　　　　　　　　　 A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1 【解析】选C.X的取值可能为0,1, P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8. 返回 3.(选择性必修三P70·T2变式)随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=________.  【解析】设P(X=1)=p,P(X=2)=q, 由题意得 解得p=,q=,所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=. 答案: 返回 4.已知离散型随机变量X的取值为有限个,E(X)=,D(X)=,则E(X2)=________.  【解析】因为E(X)=,D(X)=,由D(X)=E(X2)-(E(X))2,得E(X2)=D(X)+(E(X))2=+=. 答案: 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　离散型随机变量分布列的性质 【例1】(1)离散型随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<X<的值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以+++=1,即a=,所以P(<X<=P(X=1)+P(X=2)=×+×=. 返回 (2)设随机变量X满足P(X=i)=(i=1,2,3),则k=________;P(X≥2)=________.  【解析】由已知得随机变量X的分布列为 所以++=1,所以k=, 所以随机变量X的分布列为 所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 答案:　 X 1 2 3 P X 1 2 3 P 返回 思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 返回 对点训练 设X是一个离散型随机变量,其分布列为 则q=________.  【解析】由离散型随机变量分布列的性质得 解得q=. 答案: X -1 0 1 P 1-q q-q2 返回 【加练备选】 设离散型随机变量X的分布列为 (1)求2X+1的分布列; (2)求随机变量η=|X-1|的分布列. 【解析】(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3. 列表为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 返回 从而2X+1的分布列为 (2)由(1)知m=0.3,列表为 所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3, P(η=3)=P(X=4)=0.3, 故η=|X-1|的分布列为 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 返回 考点二　均值与方差的简单计算 【例2】(1)设0<m<1,随机变量ξ的分布列为: 则当m在(0,1)上增大时, (　　) A.D(ξ)单调递增,最大值为 B.D(ξ)先增后减,最大值为 C.D(ξ)单调递减,最小值为 D.D(ξ)先减后增,最小值为 ξ 0 m 1 P 返回 【解析】选D.由题知++=1,解得a=1,所以E(ξ)=0++=,所以 D(ξ)= (-2×+(m-2×+(1-2×=(m2-m+1)=[(m-2+],所以D(ξ)先减后增,在m=时取得最小值,最小值为. 返回 (2)已知随机变量X的概率分布列如下: 其中a,b,c都是正数,若随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)<,则 (　　) A.0<b< B.<b< C.<b<1 D.<b<1 X -1 0 1 P a b c 返回 【解析】选B.由已知⇒ 所以D(X)=×(-+(0-2b+(1-2×(-<, 且解得<b<. 返回 思维升华 均值与方差的简单计算方法 (1)对于一般的离散型随机变量的均值与方差的计算,要分清各数据,选择公式,代入计算. (2)由已知期望或方差求参数值时,可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组),解方程(组)即可求出参数值. 返回 对点训练 1.(多选题)离散型随机变量X的分布列如表: 若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则 (　　) A.m=0.2 B.n=0.1 C.E(Y)=-8 D.D(Y)=11.2 X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 返回 【解析】选BC.由题意得E(X)=m+2×0.1+3×0.2+4n+5×0.3=3,且m+0.1+0.2+n+0.3=1,解得m=0.3,n=0.1, 故A错误,B正确; 因为Y=-3X+1,所以E(Y)=-3E(X)+1=-9+1=-8,故C正确; D(X)=(1-3)2×0.3+(2-3)2×0.1+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.1+(5-3)2×0.3=2.6,因为Y=-3X+1,所以D(Y)=(-3)2D(X)=9×2.6=23.4,故D错误. 返回 2.(多选题)已知ξ为随机变量,则下列说法正确的是 (　　) A.P(|ξ|≤≤P(ξ2≤ B.D(ξ)=D(1-ξ) C.D(ξ2)=D[(1-ξ)2] D.(E(ξ))2≤E(ξ2) 【解析】选ABD.对于A,P(|ξ|≤=P(-≤ξ≤≤P(ξ2≤=P(-≤ξ≤,因此A正确; 对于B,D(1-ξ)=(-1)2D(ξ)=D(ξ),因此B正确; 对于C,D[(1-ξ)2]=D(ξ2-2ξ+1)=D(ξ2)+4D(ξ)≠D(ξ2),因此C不正确; 对于D,因为D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2≥0,所以(E(ξ))2≤E(ξ2),因此D正确. 返回 3.已知数据x1,x2,x3,…,xn的方差为8,则数据 x1+5,x2+5,x3+5,…,xn+5的方差为___________.  【解析】因为数据x1,x2,x3,…,xn的方差为8,所以数据x1+5,x2+5,x3+5,…,xn+5的方差为(2×8=2. 答案:2 返回 【加练备选】 设0<a<1,随机变量X的分布列是 则当a在(0,1)内逐渐减小时, (　　) A.D(X)逐渐减小 B.D(X)逐渐增大 C.D(X)先减小后增大 D.D(X)先增大后减小 【解析】选C.根据题意可得,E(X)==,则D(X)=×+×+×==,所以当a在(0,1)内逐渐减小时,D(X)先减小后增大. X 0 a 1 P 返回 考点三　离散型随机变量的分布列(规范答题) 【例3】(2024·新高考Ⅱ卷)(17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率; (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 返回 　解题分析 信息读取 信息联想 1 第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分 比赛分为2个阶段,第一阶段某球员连续投3次,投中与未投中会影响下一阶段的比赛 2 各次投中与否相互独立 本题是对独立事件概率的考查 返回 标准答案 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分, [①基础思维]分步求解:甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次.第1步,计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率;第2步,计算乙在第二阶段至少得5分的概率;第3步,计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”, 则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.………………[1分] 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”, 则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875. ……………… [2分] 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”, 则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686. ……………… [4分] 返回 (2)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大. [②进阶思维]分情况说明:若甲参加第一阶段比赛,比赛过程如何?概率如何求?若乙参加第一阶段,比赛过程如何? (i)若甲参加第一阶段比赛, 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 P甲=[1-(1-p)3]q3, ……………… [5分] 若乙参加第一阶段比赛, 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 P乙=[1-(1-q)3]p3, ………………[6分] 返回 因为0<p<q, 所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3 =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2) =3pq(p-q)(pq-p-q) =3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0, ……………… [8分] 所以P甲>P乙, 应该由甲参加第一阶段比赛. ……………… [10分] (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大. [③进阶思维]分情况说明:若甲先参加第一阶段比赛,得分可以是0,5,10,15;若乙先参加第一阶段比赛,得分也可以是0,5,10,15. 返回 若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能取值为0,5,10,15, ………… [11分] P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3,P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2,P(X=10) =[1-(1-p)3]q2(1-q),P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, 所以E(X)=15[1-(1-p)3]q =15q(p3-3p2+3p). ……………… [13分] 若乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y(单位:分)的所有可能取值为0,5,10,15, 同理E(Y)=15p(q3-3q2+3q), ………………[15分] 所以E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3), 因为0<p<q,则p-q<0,p+q-3<1+1-3<0,则(p-q)pq(p+q-3)>0, 所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y). ……………… [16分] 所以应该由甲参加第一阶段比赛. ……………… [17分] 返回 思维升华 解决本题的得分关键 (1)本题以相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列为工具,考查分类讨论思想和推理论证能力,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养. (2)本题以投篮比赛的成绩为背景,调用独立事件的概率计算知识,应用数学阅读技能和数学表达技能,将题目中的大量文字信息转化成数学符号语言,应用数学运算技能求解独立事件的概率. (3)要解决具有实际背景的题目,理解题意是关键,在比赛过程的分析中,要注意不重不漏. 返回 对点训练 1.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 【解析】(1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:   第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛 甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8 乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2 返回 甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场, ①甲学校3场全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16, ②甲学校3场获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, 所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6. (2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06, 返回 则X的分布列为: X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 返回 2.(2024·石家庄调研)在一次班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率; (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 返回 【解析】(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)==, 故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)=, P(X=1)==, P(X=2)=+=, P(X=3)==, P(X=4)==, 返回 所以随机变量X的分布列为 期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,方差D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=. X 0 1 2 3 4 P 返回 【加练备选】 (多选题)高考数学试题第二部分为多选题,共3个小题,每小题有4个选项,其中有2个或3个是正确选项,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.若正确答案是2个选项,只选对1个得3分,有选错的得0分;若正确答案是3个选项,只选对1个得2分,只选对2个得4分,有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会,该题有两个正确选项的概率是,记X为小明随机选择1个选项的得分,记Y为小明随机选择2个选项的得分,则 (　　) A.P(X=0)>P(Y=0) B.P(X=3)=P(Y=4) C.E(X)=E(Y) D.D(X)>D(Y) 返回 【解析】选BC.由题可知X的所有可能取值为0,2,3, P(X=0)=×+×=, P(X=2)=×0+×=, P(X=3)=×+×0=, X的分布列为 X 0 2 3 P 返回 由此可得E(X)=0×+2×+3×=, D(X)=×+×+×=. Y的可能取值为0,4,6, P(Y=0)=×+×=, P(Y=4)=×=, P(Y=6)=×=, Y的分布列为 Y 0 4 6 P 返回 由此可得E(Y)=0×+4×+6×=, D(Y)= (0-2×+(4-2×+(6-2×=. 对于A,P(X=0)=<=P(Y=0),故A错误; 对于B,P(X=3)==P(Y=4),故B正确; 对于C,E(X)==E(Y),故C正确; 对于D,D(X)=<=D(Y),故D错误. 返回 $