第10章 第62节 事件的独立性、条件概率与全概率公式(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“事件的独立性、条件概率与全概率公式”核心考点，依据新课标要求明确“了解独立性、理解关系、会用全概率公式计算”的考查维度。通过2022-2023年新高考Ⅰ卷T20/T21、Ⅱ卷T19/T12等真题分布分析，系统梳理概念公式及性质，归纳事件独立性判断、概率计算等常考题型，对接高考评价体系，突出备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+方法提炼+素养提升”的复习模式，如以2021新高考Ⅰ卷例1为载体，用数学思维构建事件独立性的定义法判断流程，通过条件概率的定义法与缩小样本空间法、全概率公式的拆分求和步骤，培养学生逻辑推理与数学运算素养。特设易错辨析与母题变式训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第62节　事件的独立性、条件概率与全概率公式 考试要求 考题分析 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系,会利用全概率公式计算概率. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T20 T19 2023年 T21 T12 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.相互独立事件 (1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=_________成立,则称事件A与事件B 相互独立,简称为独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与___,与也都相互独立. P(A)P(B) B 返回 2.条件概率 (1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率,简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型:P(B|A)=; ②概率的乘法公式:P(AB)=____________. (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则 ①P(Ω|A)=___; ②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=______________. ③设和B互为对立事件,则P(|A)=_________. P(A)P(B|A) 1 P(B|A)+P(C|A) 1-P(B|A) 返回 3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)= P(Ai)P(B|Ai). 4.*贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则 对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n. 返回 【常用结论】 1.A,B都发生的事件为AB;A,B都不发生的事件为 . 2.A,B恰有一个发生的事件为A+B;A,B至多有一个发生的事件为B+A+ . 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. (　 　) (2)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率. (　 　) (3)P(A)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). (　 　) (4)P(A)=P(BA)+P(B). (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 × √ × × 返回 2.(必修第二册P253习题10.2T4变式)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出谜题的概率分别为,,则谜题没被破解出的概率为 (　　)　　　　　 　　　　　　　　　　 A. B. C. D.1 【解析】选A.设“甲独立地破解出谜题”为事件A,“乙独立地破解出谜题”为事件B, 则P(A)=,P(B)=,故P()=,P()=,所以P( )=×=,即谜题没被破解出的概率为. 返回 3.(选择性必修第三册P46例1变式)在8件同一型号的产品中,有3件次品,5件合格品,现不放回地从中依次抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.当第一次抽到次品后,还剩余2件次品,5件合格品,所以第二次抽到次品的概率为. 返回 4.甲、乙两个气象站同时进行气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为 (　　) A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38 【解析】选D.由于甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,则在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38. 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　事件的相互独立性 角度1　事件独立性的判断 【例1】(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 返回 【解析】选B.事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件丁发生的概率P(丁)==.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误; 事件甲与事件丁同时发生的概率为=, P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确; 事件乙与事件丙同时发生的概率为=, P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误; 事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误. 返回 角度2　相互独立事件的概率 【例2】(2024·宁波调研)投壶是中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中,对投壶的壶也有所改进,即在壶口两旁增添两耳,因此在投壶的花式上就多了许多名目,如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶,每一位参赛者各有四支箭,投入壶口一次得1分,投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的),甲四支箭已投完,共得3分,乙投完两支箭,目前只得1分,乙投中壶口的概率为,投中壶耳的概率为.四支箭投完,以得分多者赢,则乙赢得这局比赛的概率为________.  返回 【解析】由题意,若乙要赢得这局比赛,乙第三、四支箭的情况可分为两类: 第三支箭投入壶口,第四支箭必须投入壶耳,其概率P1=×=; ②第三支箭投入壶耳,第四支箭投入壶口、壶耳均可,其概率P2=×(+)=,所以乙赢得这局比赛的概率P=P1+P2=+=. 答案: 返回 思维升华 1.两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件. 2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定两个事件是相互独立的; (2)确定两个事件可以同时发生; (3)求出每个事件发生的概率,再求积. 返回 对点训练 1.(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则 (　　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 返回 【解析】选ABD.由相互独立的积事件的概率乘法公式可知A,B对;C选项三次传输译码为1,则可能是三次全部译为1,或者有两次译为1,则概率为β(1-β)2+(1-β)3,故C选项错误;针对D选项,可以采用特值法或者作差法计算.三次传输方案译为0的概率为α(1-α)2+(1-α)3,单次传输译为0的概率为1-α,而α(1-α)2+(1-α)3- (1-α)=(1-α)α(1-2α)>0,所以D对. 返回 2.甲、乙、丙三人进行网球比赛,约定赛制如下:累计负两场被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两个人,另一个人当裁判,没有平局;每场比赛结束时,负的一方在下一场当裁判;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获得冠军,比赛结束.已知在每场比赛中,双方获胜的概率都为,各局比赛的结果相互独立,经抽签,第一场比赛甲当裁判. (1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率; (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率. 返回 【解析】(1)记事件A为甲胜乙,则P(A)=,则P()=1-=,记事件B为甲胜丙,则P(B)=,则P()=1-=,记事件C为乙胜丙,则P(C)=,则P()=1-=,前三场比赛结束后,丙被淘汰可用事件CC∪CAB来表示,所以前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率P1=P(CC)+P(CAB)=P(C)P()P(C)+P(C)P(A)P(B)=××+××=. (2)若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA∪BAB来表示, P(CABA∪BAB)=P(CABA)+P(BAB)=P(C)P(A)P(B)P(A)+P()P(B)P(A)P(B) =×××+×××=; 返回 若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CC来表示,P(CC)=P(C)P()P(C)P()=×××=; 若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来示,P()=P()P()P()P()=×××=.综上,只需四场比赛就决出冠军的概率P2=++=. 返回 【加练备选】 (多选题)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中,甲袋中有编号为1,2,3的三个号签;乙袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签,从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A:从甲袋中抽取号签1;事件B:从乙袋中抽取号签6;事件C:抽取的两个号签和为3;事件D:抽取的两个号签编号不同.则下列选项中,正确的是 (　　) A.P(AB)= B.P(C)= C.事件A与事件C相互独立 D.事件A与事件D相互独立 返回 【解析】选ABD.对于A,事件A,B相互独立,P(AB)=P(A)P(B)=×=,A正确; 对于B,样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),共18种, 事件C包括(1,2),(2,1)2种情况,P(C)==,B正确; 对于C,由P(AC)=≠×=P(A)P(C),得事件A,C不相互独立,C错误; 对于D,由P(AD)==×=P(A)P(D),得事件A,D相互独立,D正确. 返回 考点二　条件概率与乘法公式 【例3】(1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成的:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的都是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设事件A为“从七巧板中取出两块,取出的都是三角形”, 事件B为“两块板恰好是全等三角形”,则P(AB)==,P(A)==, 所以P(B|A)===. 返回 (2)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. ①求任意取出的零件是合格品的概率; ②如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率. 【解析】设Ai表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”. ①P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C) =P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2) =×(1-0.03)+×(1-0.02)≈0.973. ②P(A2|B)= = ==0.25. 返回 思维升华 求条件概率的常用方法 (1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A). (2)缩小样本空间法:先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=. 返回 对点训练 1.(多选题)(2025·武汉模拟)设,分别为随机事件A,B的对立事件,已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说法正确的是 (　　) A.P(B|A)+P(|A)=1 B.P(B|A)+P(B|)=0 C.若A,B是相互独立事件,则P(A|B)=P(A) D.若A,B是互斥事件,则P(B|A)=P(B) 返回 【解析】选AC.P(B|A)+P(|A)===1,故A正确; 当A,B是相互独立事件时,P(B|A)+P(B|)=2P(B)≠0,故B错误; 因为A,B是相互独立事件,则P(AB)=P(A)P(B),所以P(A|B)==P(A),故C正确; 因为A,B是互斥事件,所以P(AB)=0,则根据条件概率公式得P(B|A)=0,而P(B)∈(0,1),故D错误. 返回 2.(2024·日照模拟)如图,用K,A1,A2三种不同的元件连接成一个系统,当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次是,,,则在系统正常工作的前提下,只有K和A1正常工作的概率是________.  【解析】设事件A为系统正常工作,事件B为只有K和A1正常工作, 因为并联元件A1,A2能正常工作的概率为 1-(1-)×(1-)=, 所以P(A)=×=. 又P(AB)=P(B)=××(1-)=, 所以P(B|A)==. 答案: 返回 考点三　全概率公式的应用 【例4】(1)一份高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率 P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)= ×0.9+×0.25=. 返回 (2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为 (　　) A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.51 【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5, P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95, 因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5×(0.07+0.95)=0.51. 返回 思维升华 全概率问题求解策略及步骤 (1)拆分:将样本空间拆成互斥的两部分,如A1,A2(或A,). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 返回 对点训练 (一题多法)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为________;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为________.  【解析】法一:设A=“从甲盒子中取一个球是黑球”,B=“从乙盒子中取一个球是黑球”,C=“从丙盒子中取一个球是黑球”,由题意可知P(A)=40%=,P(B)=25%=,P(C)=50%=. 现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= ××=; 返回 设D1=“取到的球是甲盒子中的”,D2=“取到的球是乙盒子中的”,D3=“取到的球是丙盒子中的”,E=“取到的球是白球”,由题意可知 P(D1)==,P(D2)==, P(D3)==,P(E|D1)=1-=, P(E|D2)=1-=,P(E|D3)=1-=, 所以P(E)=P(D1E+D2E+D3E)=P(D1E)+P(D2E)+P(D3E)=P(D1)P(E|D1)+P(D2)·P(E|D2)+ P(D3)P(E|D3)=×+×+×=. 返回 法二:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6,其中甲盒子中黑球的个数为2,白球的个数为3;乙盒子中黑球的个数为1,白球的个数为3;丙盒子中黑球的个数为3,白球的个数为3. 则从三个盒子中各取一个球,共有5×4×6种结果,其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果,所以取到的三个球都是黑球的概率为=; 将三个盒子中的球混合在一起共有5+4+6=15(个)球,其中白球共有3+3+3=9(个), 所以混合后任取一个球,共有15种结果,其中取到白球有9种结果,所以混合后任取一个球,是白球的概率为=. 答案:　 返回 $