第10章 第60节 二项式定理(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第60节　二项式定理 考试要求 考题分析 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T13 - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=(n∈N*). (2)二项展开式的通项:Tk+1=,它表示通项为展开式的第_____项. (3)二项式系数:(k=0,1,…,n). [注意点]　二项式系数是指,,…,,这只与各项的系数有关,而与a,b的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且与a,b的值有关. an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn an-kbk k+1 返回 2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)最大值:当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和: ①+++…+=2n, ②+++…=+++…. 返回 [注意点]　二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 返回 【常用结论】 　赋值法的应用 (1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 ①a0+a1+a2+…+an=f(1). ②奇数项系数之和a0+a2+a4+…=. ③偶数项系数之和a1+a3+a5+…=. 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项. (　 　) (2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关. (　 　) (3)通项公式Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换. (　 　) (4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 × √ √ × 返回 2.(选择性必修第三册P31T4变式)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是 (　　)　　　 　　　　　　　　　　 A. B. C. D.(-1)m-1 【解析】选D.(x-y)n的展开式中,第m项为Tm=xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·xn-m+1·ym-1,所以第m项的系数为(-1)m-1. 返回 3.(选择性必修第三册P31T1变式) 的值为 (　　) A.1 B.2 C.2 025 D.2 025×2 026 【解析】选A.原式===1. 返回 4.在二项式(x2-)n的展开式中二项式系数之和是32,则展开式中各项系数的和为________.  【解析】因为二项式系数之和为2n=32,所以n=5.令x=1,可得各项系数的和为 (1-2)5=-1. 答案:-1 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　求展开式中的特定项或特定系数 【例1】(1)(一题多法)(2023·天津卷)在(2x3-)6的展开式中,x2项的系数是_______.  【解析】法一:二项式(2x3-)6展开式的通项 Tk+1=(2x3)6-k(-)k=(-1)k26-k·x18-4k, 令18-4k=2,解得k=4, 所以x2项的系数为(-1)4×22×=60. 法二:将二项式(2x3-)6看成6个(2x3-)相乘,要想出现x2项,则先在2个多项式中分别取2x3,然后在余下的多项式中都取-相乘, 即(2x3)2×(-)4=60x2,所以x2项的系数为60. 答案:60 返回 (2)(2x2-n)的展开式的各项系数之和为3,则该展开式中含x3项的系数为________.  【解析】因为(2x2-n) (x-3的展开式的各项系数之和为3,所以令x=1得(2×12-n)=3,解得n=5. 则(x-)3的展开式的通项公式为Tr+1 =x3-r=·(-2)r·x3-2r, 又(2x2-5) (x-)3=2x2(x-)3-5, 令3-2r=1,求得r=1;令3-2r=3,求得r=0, 故(2x2-n) (x-)3的展开式中含x3项的系数为2(-2)1-5(-2)0=-17. 答案:-17 返回 (3)已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中x2的系数是7,则n=________.若xr与xr+1(r∈N*)的系数相等,则r=________.  【解析】由题意得·=7,则n(n-1)=56,可得n=8(负值舍去).由=,可得2=,即=,即=,解得r=2. 答案:8　2 返回 思维升华 1.求解二项展开式中的特定项的关键点 (1)求通项,利用(a+b)n的展开式的通项公式=an-kbk(k=0,1,2,…,n)求通项. (2)列方程(组)或不等式(组),利用二项展开式的通项及特定项的特征,列出方程(组)或不等式(组). (3)求特定项,先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数,再根据要求写出特定项. 2.已知展开式的某项或其系数求参数,可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其参数. 返回 对点训练 (1-) (2x+)6的展开式中的常数项为 (　　) A.-240 B.240 C.-180 D.180 【解析】选C.因为(1-=-,又展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r,r∈{0,1,2,3,4,5,6}, 令6-r=0,解得r=4,令6-r=3,解得r=2, 所以(1-) (2x+)6的展开式中的常数项为22-24=-180. 返回 【加练备选】 1.已知(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,则a3= (　　) A.280 B.35 C.-35 D.-280 【解析】选A.因为(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,令x-1=t,则x=t+1,所以(2t-1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7, (2t-1)7展开式的通项为Tr+1=(2t)7-r(-1)r, 令r=4,可得(2t)3=280t3,所以a3=280. 返回 2.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为________.  【解析】法一:(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 含y2的项为T3=(x2+x)3·y2. 其中(x2+x)3中含x5的项为x4·x=x5. 所以x5y2的系数为=30. 法二:(x2+x+y)5表示5个因式(x2+x+y)之积. 所以x5y2可从2个因式中取x2,剩余的3个因式中1个因式取x,其余2个因式取y, 因此x5y2的系数为=30. 答案:30 返回 考点二　二项式系数与各项的系数问题 角度1　二项式系数 【例2】已知(x+)n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则展开式中二项式系数最大的项是 (　　) A. B.7 C.x2 D.7x2 返回 【解析】选C.展开式中的第r+1项为Tr+1=xn-r()r=()r, 所以前三项系数依次为,,, 依题意,有+=, 即1+×=n, 整理,得n2-9n+8=0, 解得n=1(舍去)或n=8. 由二项式系数的性质可知,展开式中第5项的二项式系数最大,即T5=()4=x2. 返回 思维升华 　二项展开式系数最大项的求法 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,,且第k项系数最大,应用从而解得k. 返回 角度2　展开式中各项系数的和 【例3】(多选题)已知(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 (　　) A.a1+a2+a3+a4=17 B.a1+a3=-120 C.a1+2a2+3a3+4a4=96 D.|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=256 返回 【解析】选BC.A选项,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=24=16①, 令x=0,则a0=1, 因此a1+a2+a3+a4=15,故A错误; B选项,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=256②, ①-②,得2a1+2a3=-240, 所以a1+a3=-120,故B正确; C选项,对式子(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4两边求导, 得出12(3x-1)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3, 令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4=12×(3×1-1)3=96,故C正确; D选项,由展开式知a0,a2,a4为正,a1,a3为负, 由①+②得2(a0+a2+a4)=272,即a0+a2+a4=136, 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4=(a0+a2+a4)-(a1+a3)-a0=136+120-1=255,故D错误. 返回 思维升华 　赋值法的应用 对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n. (1)(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1). (2)(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)]. (3)(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)]. 返回 对点训练 (2024·南昌调研)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=________;a1+2a2+3a3+…+10a10=________.  【解析】由已知得(1+x)10展开式的通项为=xk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2+a6+a8=++=300. 对原式两边求导得, 10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9. 令x=1, 得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5 120. 答案:300　5 120 返回 【加练备选】 (多选题)已知(1-x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则 (　　) A.展开式的各二项式系数的和为0 B.a1+a2+…+a2 025=-1 C.22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025=1 D.++…+=-1 返回 【解析】选BCD. A选项,展开式中各二项式系数的和为22 025,故A错误; B选项,令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 025=0, 所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B正确; C选项,22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025 =22 025(a0+2-1a1+2-2a2+…+2-2 025a2 025)=22 025·(1-2-1)2 025=22 025·()2 025=1,故C正确; D选项,因为+=+=·(-1)k+·(-1)2 025-k= [(-1)k+(-1)2 025-k]()=0, 所以++…+=(+)+(+)+…+=0+=-=-1,故D正确. 返回 考点三　二项式定理的综合应用 【例4】(1)若9n+9n-1+…+9+是11的倍数,则自然数n为 (　　) A.奇数 B.偶数 C.3的倍数 D.被3除余1的数 【解析】选A. 因为9n+9n-1+…+9+=(9n+1+9n+…+92+9+)-=(9+1)n+1-=(10n+1-1)=[(11-1)n+1-1]=[11n+1-11n+11n-1-…+11·(-1)n+(-1)n+1-1] =[11P+(-1)n+1-1](P∈Z), 所以11P+(-1)n+1-1是9的倍数, 返回 又因为9n+9n-1+…+9+是11的倍数,所以[11P+(-1)n+1-1]是11的倍数, 所以11P+(-1)n+1-1是99的倍数, 又因为11和9是互质的, 所以11P+(-1)n+1-1是11的倍数, 因为P∈Z, 所以11P是11的倍数, 所以(-1)n+1-1是11的倍数, 所以n+1是偶数,即n为奇数. 返回 (2)设a∈N,且a<17,若522 026+a能被17整除,则a可以等于 (　　) A.0 B.1 C.13 D.16 【解析】选D.522 026+a=(51+1)2 026+a=512 026+512 025+ 512 024+…+51++a, 因为522 026+a能被17整除, 且512 026+512 025+512 024+…+51能被17整除, 故+a=1+a能被17整除, 观察选项可得a=16. 返回 思维升华 　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式. (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不是很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. 返回 对点训练 设n为奇数,那么11n+·1+·1+…+·11-1除以13的余数是 (　　) A.-3 B.2 C.10 D.11 【解析】选C.11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1=·11n+·11n-1+ ·11n-2+…+·11+-2=(11+1)n-2 =12n-2=(13-1)n-2 =·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13+(-1)n·-2, 因为n为奇数,则上式=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-3= [·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-13]+10, 所以11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余数是10.  返回 $