第10章 第59节 排列与组合(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第59节　排列与组合 考试要求 考题分析 通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - T5 2023年 T13 T3 2024年 T14 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照____________排成一列 组合 作为一组 一定的顺序 返回 2.排列数与组合数 (1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数,用 符号表示. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数,用 符号表示. 不同排列 不同组合 返回 3.排列数、组合数的公式及性质 公 式 =___________________ == 性 质 0!=_________,=_________  =, =___________ n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 1 n!  +  = 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事. (　 　) (2)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成. (　 　) (3)=n(n-1)(n-2)…(n-m). (　 　) (4)=n(n-1)(n-2)…(n-m). (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 题号 3 1,2 √ √ × × 返回 2.随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这些备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为 (　　)　　　 　　　　　　　　　　 A.144 B.24 C.72 D.60 【解析】选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位会产生5个空隙,可供3辆车选择停车, 因此,任意两辆车都不相邻的停车种数为=5×4×3=60. 返回 3.(选择性必修第三册P26习题T3变式)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女同学都有的选法种数是 (　　) A.18 B.24 C.30 D.36 【解析】选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有=18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有=12种,故3人中男、女同学都有的选法有18+12=30(种). 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　排列问题 【例1】有7名学生(3名男生、4名女生)打算拍照,在下列不同条件下,求不同的排队方法种数. (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端; (5)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人; (6)全体排成一排,女生必须站在一起; (7)全体排成一排,男生互不相邻; (8)全体排成一排,甲必须排在乙左边(可不相邻). 返回 【解析】(1)从7个人中选5个人排,排法有=7×6×5×4×3=2 520(种). (2)分两步完成,先选3人排在前排,有种排法,余下4人排在后排,有种排法,故共有=5 040(种). 另解:本题即为7人排成一排的全排列. (3)法一:甲为特殊元素.先排甲,有5种排法,其余6人有种排法,故共有5×=3 600(种). 法二:排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从除甲的其余6个人中选2个排列,有种排法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有种排法,共有×=3 600(种). 返回 (4)甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置. 法一(特殊元素法):甲在最右端时,其他的可全排列,有种;甲不在最右端时,可从余下5个位置中任选一个,有种,而乙可排在除去最右端位置后剩余的5个位置中的任意一个上,有种,其余人全排列,共有种.由分类加法计数原理,共有+=3 720(种). 法二(特殊位置法):先排最左端,除去甲外,有种,余下6个位置全排列,有种,但应剔除乙在最右端时的排法种,因此共有-=3 720(种). 法三(间接法):7个人全排列,共种,其中,不符合条件的有甲在最左端时,有种,乙在最右端时,有种,其中都包含了甲在最左端,同时乙在最右端的情形,有种.因此共有-2+=3 720(种). 返回 (5)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步:先排甲、乙两人,有种排法;第二步:从余下5人中选3人排在甲、乙中间,有种排法;第三步:把这个整体与余下2人进行全排列,有种排法.故共有=720(种). (6)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生一起全排列,有种排法,再将4名女生进行全排列,也有种排法,故共有=576(种). (7)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有种排法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有种排法,故共有 =1 440(种). 返回 (8)法一:7人的全排列有种,其中甲排在乙左边与乙排在甲左边各占,故共有=2 520(种). 法二:7个位置中任选5个排除甲、乙外的5人,余下的两个位置甲、乙的排法即定,故有=2 520(种). 返回 思维升华 　求解排列应用问题的六种常用方法 返回 对点训练 1.为迎接新年到来,某中学“唱响时代强音,放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的9个学生节目中增加2个教师节目,若保持原来的9个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为 (　　)　　　　 　　　　　　　　　　 A.55 B.72 C.90 D.110 【解析】选D.采用插空法即可. 第1步:原来排好的9个学生节目产生10个空隙,插入1个教师节目有10种排法; 第2步:排好的9个学生节目和1个教师节目产生11个空隙,插入1个教师节目有11种排法. 故共有10×11=110(种)排法. 返回 2.(2025·南通模拟)某人将斐波那契数列的前6项“1,1,2,3,5,8”进行排列设置数字密码,其中两个“1”必须相邻,则可以设置的不同数字密码有 (　　) A.120种 B.240种 C.360种 D.480种 【解析】选A.将两个1捆绑在一起,则可以设置的不同数字密码有=120(种) 返回 【加练备选】 　三根绳子上共挂有8只气球,绳子上的球数依次为2,3,3,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是 (　　) A.350 B.140 C.560 D.280 返回 【解析】选C. 将8只气球编号,依次从下往上,从右往左编号为1,2,3,…,8, 问题等价于8只气球排列, 其中1,2,3号,4,5,6号,7,8号必须是从下到上的顺序打破气球,则有==560(种). 返回 考点二　组合的应用 【例2】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有________种不同的选法(用数字作答).  【解析】法一:①只有1名女生时,先选1名女生,有种选法; 再选3名男生,有种选法; 然后排队长、副队长位置,有种选法. 由分步乘法计数原理知, 共有=480(种)不同的选法. 返回 ②有2名女生时,再选2名男生,有种选法; 然后排队长、副队长位置,有种选法. 由分步乘法计数原理知,共有=180(种)不同的选法. 所以依据分类加法计数原理知, 共有480+180=660(种)不同的选法. 法二:不考虑限制条件,共有种不同的选法, 而没有女生的选法有种, 故至少有1名女生的不同选法有 -=840-180=660(种). 答案:660 返回 思维升华 　解决组合问题的注意点 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理. (3)成双成对的元素一般是先取双再取单. 返回 对点训练 1.(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).  【解析】法一:由题意,可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有种方案;第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有种方案;第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有种方案.综上,不同的选课方案共有++=64(种). 法二:若学生从这8门课中选修2门课,则有--=16(种)选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有--=48(种)选课方案.综上,不同的选课方案共有16+48=64(种). 答案:64 返回 2.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.  【解析】分两种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法; (2)A类选修课选2门,B类选修课选1门, 有种不同的选法. 不同的选法共有+=18+12=30(种). 答案:30 返回 【加练备选】 学校对面天桥最下面共有10级台阶,小王同学一步可跨一级台阶,也可跨两级台阶或三级台阶,则他恰好6步上完台阶的方法种数是 (　　) A.30 B.90 C.75 D.60 【解析】选B.由题意可知,完成这件事情分三类: 第一类,按照3,3,1,1,1,1的走法有种; 第二类,按照3,2,2,1,1,1的走法有种; 第三类,按照2,2,2,2,1,1的走法有种. 所以他恰好6步上完台阶的方法种数是++=15+60+15=90. 返回 考点三　排列组合综合问题 【例3】(1)(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有 (　　) A.20种 B.16种 C.12种 D.8种 【解析】选B.因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位. ①当乙、丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙、丙中间, 排乙、丙有种排法,排甲有种排法,剩余两个位置两人全排列有种排法, 所以有=8(种)排法; ②当乙、丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙、丙中间, 排乙、丙有种排法,排甲有种排法,剩余两个位置两人全排列有种排法, 所以有=8(种)排法. 由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16(种)排法. 返回 (2)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛,决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名,且丙和丁的名次相邻,则5人的名次排列可能有________种不同的情况.  【解析】由题意知,将丙和丁看成一个整体, 分4种情况分析: ①丙和丁的整体分别为第1、2名,有=12(种)情况; ②丙和丁的整体分别为第2、3名,第1名只能是戊, 所以甲和乙为第4、5名,有=4(种)情况; ③丙和丁的整体分别为第3、4名,第1名只能是戊, 所以甲和乙为第2、5名,有=4(种)情况; ④丙和丁的整体分别为第4、5名,第1名只能是戊, 所以甲和乙为第2、3名,有=4(种)情况. 所以共有12+4+4+4=24(种)情况. 答案:24 返回 思维升华 　排列组合问题的解题策略 (1)对于有限制条件的排列组合问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法. 返回 对点训练 1.(2022·新高考Ⅰ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 (　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【解析】选B.因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故共有3!×2×2=24(种)不同的排列方式. 返回 2.有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则两天中恰有1人连续两天参加服务的选择种数为 (　　) A.120 B.60 C.40 D.30 【解析】选B.先从5人中选1人连续两天参加服务,共有=5(种)选法,然后从剩下4人中选1人星期六参加服务,剩下3人中选1人星期天参加服务,共有·=12(种)选法,根据分步乘法计数原理可得共有5×12=60(种)选法. 返回 $