核心素养测评(第9章 第55节 用样本估计总体)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:75分) 六十四 用样本估计总体 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知一组从小到大排列的数据34,36,39,41,44,45,x,50的第65 百分位数是45,那么实数 x的取值范围是 (　　)　　　 　　　　　　　　　　 A.[45,+∞) B.(45,+∞) C.(45,50) D. 【解析】选D.因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据45,又因为数据按从小到大排列,所以45≤x≤50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(5分)(2025·贵阳模拟)平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息,它们的大小关系和数据分布的形态有关,在如图分布形态中,a,b,c分别对应这组数据的平均数、中位数和众数,则下列关系正确的是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选A.由题中数据分布图知,众数是最高矩形下底边的中点的横坐标,因此众数c为右起第二个矩形下底边的中点值,直线x=b左右两边矩形面积相等,而直线x=c左边矩形面积大于右边矩形面积,则b<c, 又数据分布图左拖尾,则平均数a小于中位数b,即a<b,所以a<b<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(5分)若样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为10,方差为20,则样本2x1-5,2x2-5,2x3-5,…,2xn-5的平均数和方差分别为 (　　) A.20,35 B.20,40 C.15,75 D.15,80 【解析】选D.由题得样本2x1-5,2x2-5,…,2xn-5的平均数为2×10-5=15,方差为22×20=80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(5分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　) A.对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35% B.对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40% C.估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分 D.估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选C.对于A,对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为(0.015+0.020)×10×100%=35%,故A正确,不符合题意; 对于B,对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为(0.020+0.010+0.010)×10×100%=40%,故B正确,不符合题意; 对于C,估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67>60,故C错误,符合题意; 对于D,对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为(0.025+0.020+0.020)×10×100%=65%, 估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间,故D正确,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(5分)(2025·南通模拟)现有一份由连续正整数(可重复)组成的样本,其容量为m,满足上四分位数为28,第80百分位数为30,则m的最小值为 (　　) A.24 B.25 C.28 D.29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选D.对于A,若样本容量的最小值为24,则24×=18,24×0.8=19.2, 则第18,19个数据均为28,第20个数据应为30, 与x1,x2,…,xn是连续的正整数显然不符,故A错误; 对于B,若样本容量的最小值为25,则25×=18.75,25×0.8=20, 则第19个数据应为28,第20,21个数据均为30, 与x1,x2,…,xn是连续的正整数显然不符,故B错误; 对于C,若样本容量的最小值为28,则28×=21,28×0.8=22.4, 则第21,22个数据均为28,第23个数据应为30, 与x1,x2,…,xn是连续的正整数显然不符,故C错误; 对于D,若样本容量的最小值为29,则29×=21.75,29×0.8=23.2, 则第22个数据应为28,第24个数据应为30,所以第23个数据应该是29,符合题意,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(5分)在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中,高三年级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛,每个小组各有10位选手.记录参赛人员失分(均为非负整数)情况,若小组的每位选手失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”,已知选手失分数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是 (　　) A.甲组中位数为3,极差为5 B.乙组平均数为2,众数为2 C.丙组平均数为2,方差为3 D.丁组平均数为2,第85百分位数为7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选C.A选项,假设存在选手失分超过7分,失8分,根据极差为5,得到最低失分为3分, 此时中位数可以为3,故假设可以成立,故A错误; B选项,假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8, 满足平均数为2,众数为2,但该组不为“优秀小组”,故B错误; C选项,丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2,…,x10, 丙组平均数为2,方差为3,即++…+=30, 若x10=8,则=36>30,不合要求,故x10≤7, 所以该组每位选手失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”,故C正确; D选项,85%×10=8.5,故从小到大,选取第9个数作为第85百分位数, 即从小到大第9个数为7,假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8, 满足平均数为2,第85百分位数为7,但不是“优秀小组”,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多选题 7.(5分)现有十个点的坐标为 (x1,0),(x2,0),…,(x10,0),它们分别与 (y1,10),(y2,10),…,(y10,10)关于点(3,5)对称.已知 x1,x2,…,x10的平均数为a,中位数为 b,方差为c,极差为d,则 y1,y2,…,y10这组数满足 (　　) A.平均数为6-a B.中位数为 6-b C.方差为c D.极差为6-d 【解析】选ABC.由于 (x1,0),(x2,0),…,(x10,0),它们分别与 (y1,10),(y2,10),…,(y10,10)关于点(3,5)对称,则有xi+yi=6(i∈Z,1≤i≤10),即有 yi=6-xi(i∈Z,1≤i≤10). 则由平均数的性质可得y1,y2,…,y10这组数的平均数为 6-a, 结合中位数性质可知中位数为6-b,结合方差性质可得方差为c,由极差定义可知极差为d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(5分)在某次射击比赛结束后,通过数据记录得到其中一名选手的得分分别为7,12,13,17,18,20,32,则 (　　) A.该组数据的极差为25 B.该组数据的第75百分位数为19 C.该组数据的平均数为17 D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选ACD.对于A项,极差为32-7=25,故A正确; 对于B项,7×75%=5.25,故第75百分位数为20,故B错误; 对于C项,平均数为=17,故C正确; 对于D项,去掉17后,这两组数据的平均数相等,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【加练备选】 (多选题)(2024·济南模拟)某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100)内的学生成绩方差为10.则 (　　) A.a=0.004 B.估计该年级学生成绩的中位数为77.14 C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选BCD.A项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1, 则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,故A错误; B项,前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5, 前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5. 设该年级学生成绩的中位数为m,则m∈[70,80), 根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈77.14, 所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14,故B正确; C项,估计成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为×85+×95=87.5分,故C正确; D项,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为 +[10+(87.5-95)2]=30.25,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.(5分)已知样本x1,x2,…,x2 026的平均数为2,方差为2 025,则,,…,的平均数为________.  【解析】由题意,可得=2,所以x1+x2+…+x2 026=4 052, 又由=2 025, 即++…+-4(x1+x2+…+x2 026)+22×2 026=2 025×2 026, 所以=2 029. 2 029 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(5分)数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn.若记数据 a1,a2,a3,…,a1 000的标准差为σ1,数据,,,…,的标准差为σ2,则=________.  【解析】因为数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,所以==an+a1,因此σ2=σ1,即=2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【能力提升练】 11.(5分)(2025·海口模拟)已知数据x1,x2,x3,…,x10,满足:xi-xi-1=1(2≤i≤10),若去掉x1,x10后组成一组新数据,则新数据与原数据相比,下列说法错误的是 (　　) A.中位数不变 B.若x1=1,则数据x1,x2,x3,…,x10的第75百分位数为7.5 C.平均数不变 D.方差变小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选B.原来的中位数与现在的中位数均为,故中位数不变,故A正确,不符合题意; 当x1=1时,数据按从小到大顺序排列为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. 因为10×75%=7.5,所以该组数据的第75百分位数是第8个数8,故B错误,符合题意; 由于xi-xi-1=1(2≤i≤10),故x2=x1+1,x3=x1+2,…,x9=x1+8,x10=x1+9, 原来的平均数为==x1+4.5, 去掉x1,x10后的平均数为==x1+4.5,平均数不变,故C正确,不符合题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 原来的方差为=8.25, 去掉x1,x10后的方差为=5.25, 方差变小,故D正确,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(5分)(多选题)记男生样本x1,x2,…,xm的平均数为,方差为;女生样本y1,y2,…,yn的平均数为,方差为;男、女总样本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均数记为,方差为s2,则下列说法正确的是 (　　) A.若=(+),则= B.若>,则< C.若=,=,则s2= D.s2=+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选BCD.对A,=+=+,可得(-)=0,则=或m=n,A不正确. 对B,=+,所以-=(-),若>,则<,B正确. 对C,因为=,所以=+=, 则s2=[+]=-m+-n). 又=-,=-, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以s2=(m+m-m+n+n-n)=(m+n)==,C正确. 对D,s2=+] =+] =+2(xi-)(-)+++2(yj-)(-)+], 所以s2=+,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(5分)(2024·新乡模拟)若一组数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为3,方差为,则a1,a2,a3,a4,a5,9这6个数的平均数为________,方差为________.  【解析】依题意,知这6个数的平均数为=4, 又-5×32)=,得=63, 所以这6个数的方差为+92-6×42)=(63+92-6×42)=8. 4 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(5分)已知一组统计数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则函数f(x)=的最小值为___________.  【解析】由=xi,得s2= =-2xi+n)=-n), 则=n(s2+), 故f(x)==nx2-2xxi+=nx2-2n·x+=n+ns2≥ns2,当且仅当x=时等号成立,所以函数f(x)=的最小值为ns2. ns2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)设一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5满足xi<xi+1(i=1,2,3,4),则 (　　) A.拿走x3,这组数据的方差变大 B.拿走x2,x4,这组数据的方差变大 C.拿走x2,x3,x4,这组数据的方差减小 D.拿走x1,x2,x4,x5,这组数据的方差减小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选AD.对一组数据x1,x2,…,xn,其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差, 即-. 将拿走前后的方差分别记为D1,D2. 对于A,给五个元素同时加上或减去同一个数,不影响方差,所以可以适当平移,使得剩下的4个元素:x1,x2,x4,x5的平均值为0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 不妨设x1+x2+x4+x5=0,则x3<x4<,x3>x2>=-,所以<. 故D2-D1=--+ =-+=-+≥-+ ≥-+ =-]>0,   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以A正确; 对于B,考虑(x1,x2,x3,x4,x5)=(-102,-101,0,101,102),则D1=8 242,D2=6 936,所以B错误; 对于C,考虑(x1,x2,x3,x4,x5)=(-102,-1,0,1,102),则D1=4 162,D2=10 404,所以C错误; 对于D,由于这组数据不全相等,所以D1>0,而D2=0,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $