第9章 第54节 随机抽样、统计图表(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第九章 统计与成对数据的统计分析 第54节　随机抽样、统计图表 考试要求 考题分析 1.知道获取数据的基本途径.了解总体、样本、样本量的概念. 2.掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法. 3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,掌握各层样本量比例分配的方法. 4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 T9 T19 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为______,组成总体的每一个 调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为______,在抽样调查中,从总体中抽 取的那部分个体称为______,样本中包含的个体数称为__________,简称样本量. 2.简单随机抽样 ________和__________是比较常用的两种简单随机抽样的方法. 总体 个体 样本 样本容量 抽签法 随机数法 返回 3.分层随机抽样 (1)分层随机抽样的相关概念 一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于 一个子总体,在每个子总体中独立地进行__________抽样,再把所有子总体中抽 取的样本__________作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子 总体称为____.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称 这种样本量的分配方式为比例分配. 简单随机 合在一起 层 返回 (2) 分层随机抽样的样本均值与样本方差 ①在分层随机抽样中,以层数是2层为例,如果第1层和第2层包含的个体数分别是 M,N,抽取的样本量分别为m,n,第1层和第2层的样本平均数分别为,,样本平均 数为,则=+=. ②在分层随机抽样中,以层数是2层为例,如果抽取的样本量为n,样本平均数为, 第1层和第2层的样本量分别为n1,n2,样本平均数分别为,,方差分别为,,则样 本方差s2=___________________________.  +   返回 4.统计图表 (1)常见的统计图表有________、________、________、________________等. (2)各类统计图的特点 类型 作用 频率分布 直方图 主要以面积的形式描述数据落在各个小组的频率的大小,可以估计总体数据的分布趋势 扇形图 主要用于直观描述各类数据占总数的比例 条形图 主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率,尤其是离散型的数据 折线图 主要用于描述数据随时间的变化趋势 条形图 扇形图 折线图 频率分布直方图 返回 (3)作频率分布直方图的步骤 ①求______; ②决定______与______; ③将______分组; ④列频率分布表; ⑤画频率分布直方图. 极差 组距 组数 数据 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会与先后顺序有关. (　 　) (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样. (　 　) (3)在比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关. (　 　) (4)不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体“被抽入样本”的概率是相同的. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1,4   × √ × √ 返回 2.(必修第二册P189·习题T6变式)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为 (　　)　　　　 　　　　　　　　　　 A.3 B.5 C.10 D.11 【解析】选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11. 返回 3.(必修第二册P189·习题T5变式)某单位有200名职工,其中女职工有60名,男职工有140名,现要从中抽取30名进行调研座谈,如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样,则应抽女职工________名.   【解析】设应抽女职工x名,则=, 解得x=9. 答案:9 返回 4.已知某一段公路限速70千米/时,现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度,其频率分布直方图如图所示,则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆.  【解析】速度在(70,80]内的频率为 1-(0.01+0.03+0.04)×10=0.2, 所以在(70,80]内的频数为0.2×400=80. 故这400辆汽车中在该路段超速的有80辆. 答案:80 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　简单随机抽样 【例1】(1) (多选题)下列抽取样本的方式,是简单随机抽样的是 (　　) A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验 D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【解析】选BC.A不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的;B是简单随机抽样;C是简单随机抽样,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取是等价的;D不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样. 返回 (2)利用简单随机抽样的方法,从n个个体(n>14)中抽取14个个体,若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为________.   【解析】第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则=,即n-1=65,则n=66,所以在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为=. 答案: 返回 对点训练 1.(2024·六安模拟)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则 (　　) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1　 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 【解析】选D.在简单随机抽样和分层随机抽样中,每个个体被抽中的概率均为p1=p2=p3=. 返回 2.某市在创建文明城市期间,对某小区的居民按分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行问卷调查.在这n个个体的样本中,任取1人,抽取到未成年人的概率为0.2,成年人共80人,则n=________(用数字作答).   【解析】由题可得,n·(1-0.2)=80,n=100. 答案:100 返回 考点二　分层随机抽样 角度1　分层随机抽样的比例分配 【例2】(1)某学校高一年级1 800人,高二年级1 600人,高三年级1 500人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三3个年级中抽取的人数分别为 (　　) A.35,33,30 B.36,32,30 C.36,33,29 D.35,32,31 【解析】选B.因为高一年级1 800人,高二年级1 600人,高三年级1 500人,所以3个年级的人数所占比例分别为,,,因此各年级抽取人数分别为98×=36,98×=32,98×=30. 返回 (2)(多选题)某运动会共设40个竞赛大项,其中31个奥运项目,9个非奥运项目.为了调查高中生对各个项目的了解情况,在某高中3 000名学生中,按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为150的样本,所得数据如表: 则下列判断正确的是 (　　) A.该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11 B.该校高三学生的人数比高一人数多50 C.估计该校高三学生对40个项目全部了解的人数为200 D.估计该校学生中对40个项目全部了解的人数不足8% 项目 高一 高二 高三 只对31个奥运项目全部了解 50 44 45 40个项目全部了解 0 1 10 返回 【解析】选ACD.由题表可知,50+44+1+45+10=150,所以该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55,即10∶9∶11,A正确; 高三学生人数为3 000×=1 100,高一学生人数为3 000×=1 000,故高三学生的人数比高一人数多1 100-1 000=100,B错误; 高三学生对40个项目全部了解的人数约为3 000×=200,C正确; 该校学生中对40个项目全部了解的人数约占×100%≈7.33%,D正确. 返回 思维升华 分层随机抽样的关注点 (1)分层原则:层内样本的差异要小,两层之间的 样本差异要大,且互不重叠. (2)分层比:各层所抽取的个体数与该层所包含 的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比, 即ni∶Ni=n∶N. (3)分层随机抽样的有关计算,转化为按比例 列方程或算式求解. 返回 角度2　分层随机抽样样本均值与样本方差的计算 【例3】(1)某高中团委举办了共青团史知识竞赛(满分100分),其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800,600,600.现用比例分配的分层随机抽样法从三个年级中抽取样本,经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为85,90,全校共青团员成绩的样本平均数为88,则高三年级共青团员成绩的样本平均数为 (　　) A.87 B.89 C.90 D.91 返回 【解析】选C.因为高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800,600,600,所以可设利用比例分配的分层随机抽样法从高一年级抽取4a人,从高二年级抽取3a人,从高三年级抽取3a人.设高三年级共青团员成绩的样本平均数为x,则=88,解得x=90. 返回 (2)(一题多法)采用比例分配的分层随机抽样法从某校高三(11)班(45人)和高三(12)班(30人)两个班中共抽取10名同学参加某比赛,相关统计情况如下:高三(11)班的同学答对题目数的平均数为1,方差为1;高三(12)班的同学答对题目数的平均数为1.5,方差为0.35.则这10人答对题目数的方差为 (　　) A.0.61 B.0.675 C.0.74 D.0.8 返回 【解析】选D.高三(11)班抽取的人数为×10=6,高三(12)班抽取的人数为×10=4. 法一:设高三(11)班的同学答对题目数依次为x1,x2,…,x6,高三(12)班的同学答对题目数依次为y1,y2,y3,y4.由题意可得xi=1, (xi-1)2=-6)=1,yi=1.5,(yi-1.5)2=-4×1.52)=0.35,可得xi=6,=12,yi=6,=10.4,则这10人答对题目数的平均数为xi+yi)=1.2,这10人答对题目数的方差为(+-10×1.22)=0.8. 法二:这10人答对题目数的平均数为=1.2, 则这10人答对题目数的方差为×{6×[1+(1-1.2)2]+4×[0.35+(1.5-1.2)2]}=0.8. 返回 思维升华 比例分配的分层随机抽样中有关计算的方法 (1)抽样比=. (2)在比例分配的分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为,方差为;第二层的样本量为n,平均值为,方差为,则样本的平均值=,方差s2={m[+(-)2]+n[+(-)2]}. 返回 对点训练 1.(多选题)某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取40人,则 (　　) A.抽取的体育特长生为10人 B.抽取的美术特长生为15人 C.抽取的音乐特长生为16人 D.抽取的体育特长生和美术特长生共25人 【解析】选AC.抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为×40=10(人),×40=14(人),×40=16(人). 返回 2.在比例分配的分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为________.   【解析】×3+×8=6. 答案:6 返回 【加练备选】 已知某厂有A,B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用比例分配的分层随机抽样法,从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品,测试产品可充电次数的均值及方差,结果如表: 则20件成品组成的总样本的方差为________.  则20件成品组成的总样本的方差为________.  【解析】依题意得,总样本平均数==204,所以总样本方差 s2=×{8×[1+(210-204)2]+12×[1+(200-204)2]}=25. 答案:25 项目 抽取成品件数 样本均值 样本方差 A生产线产品 8 210 1 B生产线产品 12 200 1 返回 考点三　统计图表 【例4】(1)已知某地区中小学生的人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取1%的学生进行调查,其中被抽取的小学生有80人,则样本量和该地区的高中生近视人数分别为 (　　) A.200,25 B.200,2 500 C.8 000,25 D.8 000,2 500 返回 【解析】选B.由题中扇形图并结合比例分配的分层随机抽样知识易知样本量为=200,则样本中高中生的人数为200×25%=50,易知该地区高中生人数为 =5 000,结合题中近视率条形图得该地区高中生近视的人数为5 000×50%=2 500. 返回 (2)走路是“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图,则下列结论中不正确的是 (　　) A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600 B.这一星期内甲的日步数的均值大于乙 C.这一星期内甲的日步数的方差大于乙 D.这一星期内乙的日步数的30%分位数是7 030 返回 【解析】选D.对于A,这一星期内甲的日步数从小到大为2 435,7 965,9 500, 11 600,12 700,16 000,16 800,所以中位数为11 600,选项A正确; 对于B,计算甲的平均数为=×(2 435+7 965+9 500+11 600+12 700+16 000+ 16 800)=11 000, 乙的平均数为=×(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)= 10 500,所以甲的日步数的均值大于乙,选项B正确; 对于C,甲有极端值,对方差的影响大,所以甲的日步数的方差大于乙,选项C正确; 对于D,因为7×30%=2.1,所以乙的日步数的30%分位数是从小到大的第3个数,为10 060,选项D错误. 返回 思维升华 　统计图表的主要应用 (1)扇形图:直观描述各类数据占总数的比例; (2)折线图:描述数据随时间的变化趋势; (3)条形图和直方图:直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. 返回 对点训练 1.(2024·绵阳模拟)睡眠很重要,教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10 h,初中生应达到9 h,高中生应达到8 h”.某机构调查了1万名学生的时间并利用信息得出下图,则以下判断正确的是 (　　) A.高三年级学生平均学习时间最长 B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准, 其中高中生平均睡眠时间最接近标准 C.大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间 D.与高中生相比,大学生平均学习时间大幅下降,释放出的时间基本是在睡眠 返回 【解析】选B.根据题中图象可知,高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长,A错误;根据图象可知,中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准,高中生平均睡眠时间最接近标准,B正确;学习时间大于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三,占比.睡眠时间长于学习时间的占比,C错误;从高三到大学一年级,学习时间减少9.65-5.71=3.94(h),睡眠时间增加 8.52-7.91=0.61(h),D错误. 返回 2.(多选题)为了解我国在芯片、软件方面的潜力,某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图,则下列说法中正确的是 (　　) A.芯片、软件行业从业者中,“90后”占总人数的比例超过50% B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25% C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中,“90后”比“80后”多 D.芯片、软件行业中,“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多 返回 【解析】选ABD.芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%,A正确; 芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的(37%+13%)×55%=27.5%,B正确; 芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%=20.35%,“80后”占总人数的40%,但从事技术的“80后”占总人数的百分比不知道,无法确定二者人数多少,C错误; 芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%=7.7%,“80前”占总人数的5%,D正确. 返回 $