核心素养测评(第8章 第51节 抛物线)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦抛物线专题，覆盖定义、标准方程、焦点准线、弦长计算、最值问题等核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确弦长问题占30%、最值问题占25%的高频考点分布，归纳出定义应用、韦达定理、均值不等式等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+分层突破+素养导向”，以2020全国Ⅲ卷抛物线题为例，用一题多法培养数学思维，通过弦长最值问题示范“定义转化+韦达定理+均值不等式”解题法，设置焦点坐标符号等易错警示，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，高效提升学生应试能力。

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:80分) 五十八　抛物线 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=(　　) A.1 B. C.2 D. 【解析】选D.因为抛物线的标准方程为x2=y,所以其焦点坐标为(0,), 则有=1,a=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(5分)在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为(　　) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=-4x D.y2=-8x 【解析】选D.由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等, 由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线, 所以p=4,轨迹方程为y2=-8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(5分)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=5,则|PQ|等于(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(5分)(一题多法)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(　　) A. (,0) B. (,0) C.(1,0) D.(2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选A.由题意知,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),l1,l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k, 则直线l2的斜率为-, 故l1:y=k(x-1),l2:y=-(x-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由消y得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2==2+, 由抛物线定义可知,|AB|=x1+x2+2=4+. 同理得|DE|=4+4k2, 所以|AB|+|DE|=8+4k2+≥8+2=16. 当且仅当=k2,即k=±1时取等号. 故|AB|+|DE|的最小值为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l1,l2,其中l1与C交于M,N两点,l2与C交于P,Q两点,则+++=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.由题意知,设l1:x=my+1与y2=4x联立,得y2-4my-4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4, 于是+=(+)=·=1,同理+=1. 所以+++=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多选题 7.(5分)(2025·连云港模拟)已知抛物线C的焦点在直线x-2y+3=0上,则抛物线C的标准方程为(　　) A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=-6y D.x2=6y 【解析】选BD.易知直线x-2y+3=0与坐标轴的交点分别为(-3,0), (0,), 当焦点为(-3,0)时,可知抛物线方程为y2=-12x; 当焦点为(0,)时,可知抛物线方程为x2=6y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选BCD.将点(,)代入抛物线方程,可得p=2,A错误; 焦点F(0,1),当AB⊥y轴时,点(-2,1),点(2,1)在抛物线上,可得|AB|=4,B正确; 由题意知,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组 消去y后整理得x2-4kx-4=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可得x1+x2=4k,x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,y1y2==1,|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 有+=+===1,C正确; 由(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1), 可得2x2=-x1,由得解得k=±,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 9.(5分)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2), 则|PB|+|PF|的最小值为________.  【解析】如图,过点B作BQ垂直于准线,交准线于点Q,交抛物线于点P1, 连接P1F,则|P1Q|=|P1F|.又F(1,0), 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4, 即|PB|+|PF|的最小值为4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【能力提升练】 11.(5分)(2024·武汉联考)抛物线E:y2=3x的焦点为F,顶点为O,其上两点A,B满足OA⊥OB,过点O作OC⊥AB于C,则|CF|的取值范围是(　　) A.(0,3] B.[,] C. (,] D. (,3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选C.抛物线E:y2=3x的焦点为F(,0), 设直线AB的方程为x=my+n,n≠0,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 可得y2-3my-3n=0, 则y1+y2=3m,y1y2=-3n. 由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,即n2-3n=0,可得n=3,则直线AB:x=my+3过定点P(3,0).由OC⊥AB,可得C的轨迹为以OP为直径的圆(除去原点),其轨迹方程为(x-)2+y2=(x≠0),所以|CF|的取值范围为(,+],即(,]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(5分)已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+=0,抛物线上一动点P到直线l 的距离的最小值为________.  【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0, 由,得y2+4y+4m=0, 则Δ=16-16m=0,得m=1, 所以切线方程为x+y+1=0, 所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(5分)(2024·盐城模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P是其准线上一点,过点P作 PF的垂线,交y轴于点A,线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴,则AF的长度为 ________.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】易得F(1,0),设P(-1,t), 则kPF==-,所以kPA=, 直线PA的方程为y-t=(x+1), 即y=x++t, 易得A(0,+t),B(,t),A,B,F共线, 所以=,得t2=2, 所以|AF|===3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(5分)已知M(1,2)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过点T(0,1)的直线与抛物线 C交于A,B两点,且直线MA与MB的倾斜角互补,则|TA|·|TB|=________.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】由点M(1,2)在抛物线C:y2=2px上得:22=2p,即p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x, 由题意知,直线AB的斜率存在,且不为0. 设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由直线MA与MB倾斜角互补得kMA+kMB=0, 即+=+==0,所以y1+y2=-4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立得ky2-4y+4=0, 所以y1+y2=,y1y2=, 所以=-4,即k=-1,所以y1y2=-4, 所以|TA|·|TB|=·=· =(1+k2)x1x2=(1+k2)=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【创新思维练】 15.(5分)(多选题)设抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的一个动点,则下列结论正确的是(　　) A.点P到F的距离比到x轴的距离大2 B.点P到直线y=x-3的最小距离为 C.以PF为直径的圆与x轴相切 D.记点P在C的准线上的射影为H,则△PFH不可能是正三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选BC.由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,1),准线方程为y=-1,设P(x0,y0), 因为|PF|-y0=y0+1-y0=1<2,因此A不正确; 因为y0=,则点P到直线y=x-3的距离为d==≥=, 当x0=2时取等号,可得点P到直线y=x-3的最小距离为,因此B正确; 设PF的中点为M,则yM==|PF|,于是以PF为直径的圆与x轴相切, 因此C正确; H(x0,-1),令|PH|=|FH|,则y0+1=,解得y0=3, 此时|PH|=|PF|=|FH|=4,△PFH是正三角形,因此D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(5分)已知曲线C1:(x-2)2+(y+1)2=5与曲线C2:y=x2在第一象限交于点A,记两条 曲线在点A处的切线的倾斜角分别为α,β(α<β),则tan (β-α)=________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】由 解得故A(1,1), 设曲线C1在点A处的切线为l1:y=k1(x-1)+1,即l1:k1x-y-k1+1=0, 曲线C2在点A处的切线为l2:y=k2(x-1)+1, 由C1:(x-2)2+(y+1)2=5可得其圆心为(2,-1),半径为, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则有=,即4-4k1+1=0,解得k1=, 对C2:y=x2,有y'=2x,则y'|x=1=2×1=2,则k2=2, 即tan α=k1=,tan β=k2=2, 则tan(β-α)====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选B.法一:因为抛物线C关于x轴对称,所以D,E两点关于x轴对称.可得出直线x=2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2),(2,-2).不妨设D(2,2),E(2,-2),则=(2,2),=(2,-2).又因为OD⊥OE,所以·=4-4p=0,解得p=1,所以C的焦点坐标为(,0). 法二:因为抛物线C关于x轴对称,所以D,E两点关于x轴对称.因为OD⊥OE,所以D,E两点横、纵坐标的绝对值相等.不妨设点D(2,2),将点D的坐标代入C:y2=2px,得4=4p,解得p=1,故C的焦点坐标为(,0). 8.(5分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点坐标为F,过点F的直线与抛物线相交于A, B两点,点(,)在抛物线上,则(　　) A.p=1 B.当AB⊥y轴时,|AB|=4 C.+为定值1 D.若=2,则直线AB的斜率为± 10.(5分)设F为抛物线y2=12x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心, 则||+||+||=________.  【解析】由题意可知,点F的坐标为(3,0), 又F为△ABC的重心,故=3, 即xA+xB+xC=9. 又由抛物线的定义可知||+||+||=xA+xB+xC+9=9+9=18. $