新定义3 以圆锥曲线为背景的新定义解答题(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

新定义3 以圆锥曲线为背景的新定义解答题 【题型解读】 圆锥曲线背景下的新定义问题,关键在于理解新定义的本质,并将其与常规圆锥曲线知识相结合.①明确新定义:首先仔细阅读题目,明确新定义的内容、符号及其含义.②联系常规知识:将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来,找出它们的相似之处或转换关系.③建立数学模型:根据新定义,建立相应的数学模型或方程,利用解析几何或代数方法进行求解.④验证与推理:在求解过程中,注意验证每一步推理的正确性,确保最终答案符合题目要求.⑤灵活应用:对于复杂问题,可能需要综合运用多种数学知识和方法,灵活应对. 返回 类型一　圆锥曲线的新定义、新性质(规范答题) 【例1】(2024·新高考Ⅱ卷)(17分)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上, k为常数,0<k<1,按照如下公式依次构造点Pn(n=2,3,…):过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn). (1)若k=,求x2,y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意正整数n,Sn=Sn+1. 返回 解题分析 信息读取 信息联想 1 点P1(5,4)在C上 联想双曲线的标准方程 2 过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点 将文字语言转化为图形语言,作出C的图形 3 求证数列{xn-yn}是公比为的等比数列 建立Pn-1和Pn两点坐标之间的关系 4 求证对任意正整数n,Sn=Sn+1 联想到△PnPn+1Pn+2的面积为定值 返回 标准答案 (1)因为点P1(5,4)在C上,代入方程得 25-16=m,所以m=9. 过点P1(5,4)且斜率为的直线方程为y-4=(x-5), 即x-2y+3=0. …………………………………………………[2分] 由解得或 所以Q1(-3,0),P2(3,0),即x2=3,y2=0.…………………………………………………[4分] 返回 (2)如图, [①基础思维]作出图形:将文字语言和符号语言翻译成图形语言,数形结合. 当n≥2且n∈N*时,点Pn(xn,yn)关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),且Pn-1(xn-1,yn-1). 因为Pn-1,Qn-1在同一条斜率为k(0<k<1)的直线上, 所以xn-1≠-xn,所以=k,0<k<1, 所以yn-yn-1=-k(xn+xn-1)　①. …………………………………………[6分] 返回 又Pn-1,Qn-1都在双曲线上,所以 两式相减得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1), 所以xn-xn-1=-k(yn+yn-1)　②, ………………………………………………[8分] [②进阶思维]引入参数:设参时要考虑待证目标的几何特征. ②-①得xn-yn-(xn-1-yn-1)=k(xn-yn)+k(xn-1-yn-1), 即(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),即=. 又x1-y1≠0,故数列{xn-yn}是公比为的等比数列. ………………………………………………[10分] 返回 (3)设=q,0<k<1,则q>1. 由(2)可知xn-yn=(x1-y1) () n-1=qn-1. 又因为-=9,所以xn+yn=. [③进阶思维]表示坐标:利用引入的参数,表示出点Pn的坐标. 所以xn=(+qn-1),yn=(-qn-1), 所以Pn(,),Pn+1(,),Pn+2(,). ………………………………………………[13分] 返回 [④高阶思维]计算定值:求出点Pn+2到直线PnPn+1的距离d及|PnPn+1|,利用三角形面积公式求解. 所以直线PnPn+1的方程为x-xn=(y-yn),即(9+q2n-1)x-(9-q2n-1)y-9qn-1(1+q)=0. 易知点Pn+2到直线PnPn+1的距离d==. 返回 又|PnPn+1|== , …………………………………………………………[16分] 则Sn=·|PnPn+1|·d==,即Sn为定值,所以Sn=Sn+1. …………………………………………………………[17分] 返回 多想少算 路径 面积相等问题转化为平行线问题 对于第(3)问,直接计算面积较为复杂.于是,想到能否根据Sn,Sn+1的两个三角形共边特点,转化为证明两条直线平行,然后再利用斜率公式判断平行关系成立.如图, 解题路径:要证Sn=Sn+1,即证 △PnPn+1Pn+2与△Pn+1Pn+2Pn+3的面积相等,这两个三角形有共同的底边Pn+1Pn+2,这样只需证明PnPn+3∥Pn+1Pn+2. 返回 【解析】要证Sn=Sn+1,只需证PnPn+3∥Pn+1Pn+2,设=q,0<k<1,则q>1. 由(2)可知,xn-yn=(x1-y1) () n-1=qn-1. 又因为-=9,所以xn+yn=.所以xn=(+qn-1),yn=(-qn-1), 所以==, 同理==, 即PnPn+3∥Pn+1Pn+2. 所以对任意正整数n,Sn=Sn+1. 返回 解题反思 1.解决圆锥曲线有关定量问题的关键点 引入合适的参数将几何条件和目标代数化,然后运用设而不求、整体代换的方法消参. 2.解决本题的关键得分点 (1)解决本题的关键是选择合适的面积公式,以及合理的将面积相等问题进行转化,解题时要防止因复杂的运算而失分. (2)解题时要深刻认识到几何性质对问题解决的重要性,在解题过程中,要注意观察、分析问题的几何特征. 返回 对点训练 定义:若椭圆C:+=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2)满足+=0,则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”.如图,A,B为椭圆C:+=1的“共轭点对”,已知A(3,1),且点B在直线l上,直线l过原点. (1)求直线l的方程; (2)已知P,Q是椭圆C上的两点,O为坐标原点,且PQ∥OA. (i)求证:线段PQ被直线l平分; (ii)若点B在第二象限,直线l与PQ相交于点M,点N为PB的中点,求△BMN面积的最大值. 返回 【解析】(1)由已知,点B在直线+=0上, 又因为直线+=0过原点, 所以所求直线l的方程为y=-x. (2)(i)法1:因为PQ∥OA,所以kPQ=kOA=,设P(x3,y3),Q(x4,y4),则 两式相减得+=0,整理得kPQ==-×=, 即=-,所以线段PQ的中点在直线l:y=-x上. 所以线段PQ被直线l平分. 返回 法2:因为PQ∥OA,kOA=,所以设P(x3,y3),Q(x4,y4),lPQ:x=3y-m, 由⇒12y2-6my+m2-12=0, 由根与系数的关系得y3+y4=,于是x3+x4=-, 从而=-,所以线段PQ的中点在直线l:y=-x上. 返回 (ii)由(i)可知M为PQ的中点,而N为PB的中点,所以S△BMN=S△BPQ. 由解得B(-,),设lPQ:x=3y-m, 由⇒12y2-6my+m2-12=0,由Δ>0⇒-4<m<4, 由根与系数的关系得y3+y4=,y3y4=. 点B到直线PQ的距离d=, |PQ|==×. 返回 S△BMN=S△BPQ==. 令f(m)=-(m-4)3(m+4),则f'(m)=-4(m-4)2(m+2), 当-4<m<-2时,f'(m)>0,f(m)单调递增; 当-2<m<4时,f'(m)<0,f(m)单调递减; 所以f(m)max=f(-2)=3×64,所以S△BMN的最大值为. 返回 类型二　定义圆锥曲线的新图形 【例2】定义:一般地,当λ>0且λ≠1时,我们把方程+=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆+=1(a>b>0)的相似椭圆.已知椭圆C:+y2=1,椭圆Cλ(λ>0且λ≠1)是椭圆C的相似椭圆,点P为椭圆Cλ上异于其左、右顶点M,N的任意一点. (1)当λ=2时,若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l1,l2恰好相交于点P,直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值; (2)当λ=e2(e为椭圆C的离心率)时,设直线PM与椭圆C交于点A,B,直线PN与椭圆C交于点D,E,求|AB|+|DE|的值. 返回 【解析】(1)设P(x0,y0),则直线l1的方程为y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+y0-k1x0, 记t=y0-k1x0,则l1的方程为y=k1x+t, 将其代入椭圆C的方程,消去y,得(4+1)x2+8k1tx+4t2-4=0, 因为直线l1与椭圆C有且只有一个公共点, 所以Δ=(8k1t)2-4(4+1)(4t2-4)=0,即4-t2+1=0, 将t=y0-k1x0代入上式,整理得(-4)-2x0y0k1+-1=0, 同理可得,(-4)-2x0y0k2+-1=0, 所以k1,k2为关于m的方程(-4)m2-2x0y0m+-1=0的两根,所以k1k2=. 又点P(x0,y0)在椭圆C2:+=1上,所以=2-,所以k1k2==-. 返回 (2)由椭圆C:+y2=1,得其离心率e=, 所以当λ=e2,即λ=时,椭圆Cλ的标准方程为+=1, 所以M(-,0),N(,0),恰好为椭圆C的左、右焦点, 易知直线PM,PN的斜率均存在且不为0, 所以kPMkPN=·=, 因为P(x0,y0)在椭圆Cλ上,所以+=1,即=-,所以kPMkPN=-. 设直线PM的斜率为k,则直线PN的斜率为-, 返回 所以直线PM的方程为y=k(x+). 由得(1+4k2)x2+8k2x+12k2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2| ===, 同理可得|DE|=,所以|AB|+|DE|=+=5. 返回 解题技法 解决本题的关键点:(1)设P(x0,y0),则直线l1的方程为y-y0=k1(x-x0),进而与椭圆C联立方程,并结合判别式得(-4)-2x0y0k1+-1=0,同理得到(-4)-2x0y0k2+-1=0,进而得k1k2=,再根据=2-即可求得答案; (2)由题知椭圆Cλ的标准方程为+=1,进而结合点P(x0,y0)在椭圆Cλ:+=1上得kPMkPN=-,设直线PM的斜率为k,则直线PN的斜率为-,进而得其对应的直线方程,再与椭圆C联立方程并结合根与系数的关系、弦长公式得|AB|,|DE|,进而求得|AB|+|DE|的值. 返回 【加练备选】 中国结是一种手工编制工艺品,因其外观对称精致,符合中国传统装饰的审美观念,广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线,却可以还原成单纯的二维线条,其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上,我们把与定点 F1(-a,0),F2(a,0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线,F1,F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点F1,F2的坐标; (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A,B(异于坐标原点O),使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在,求出A,B坐标;如果不存在,请说明理由. 返回 【解析】(1)法一:设焦点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0), 曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)与x轴正半轴交于点P(3,0), 由题意知|PF1||PF2|=(3+a)(3-a)=9-a2=a2,于是a2=,a=, 因此F1(-,0),F2(,0); 法二:设焦点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0), 由题意知[(x+a)2+y2][(x-a)2+y2]=a4, 即[(x2+a2+y2)+2ax][(x2+a2+y2)-2ax]=a4, 整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2),于是a2=,a=.因此,F1(-,0),F2(,0); 返回 (2)假设曲线C上存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O,即OA⊥OB, 由题意知直线OA,OB斜率均存在, 不妨设直线OA的方程为y=k1x,直线OB的方程为y=k2x, 将直线OA的方程与曲线C联立,得(1+)2x4=9x2(1-), 即x2=>0.解得-1<k1<1,同理-1<k2<1, 因此k1k2=-1不可能成立,于是假设不成立, 即曲线C上不存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O. 返回 $