拓展拔高13 阿基米德三角形(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高13 阿基米德三角形 【高考考情】 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.阿基米德三角形有非常好的几何性质,是高考命题的热点. 返回 阿基米德三角形性质. 性质1:阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴. 性质2:若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为一条直线,该直线与以C点为中点的弦平行. 性质3:若直线l与抛物线没有公共点,以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l方程为ax+by+c=0,则定点的坐标为C(,-) ). 性质4:底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为. 性质5:若阿基米德三角形的底边AB过焦点,则顶点Q的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小,最小值为p2. 返回 类型一　定点问题 【例1】已知动点P在x轴及其上方,且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)若点Q是直线y=x-4上任意一点,过点Q作点P的轨迹C的两切线QA,QB,其中A,B为切点,试证明直线AB恒过一定点,并求出该点的坐标. 【解析】(1)设点P(x,y),因为y≥0,则|PF|=y+1,即=y+1, 化简得x2=2y+2y=4y,所以点P的轨迹方程为x2=4y. 返回 (2)对函数y=x2求导数y'=x. 设切点(x0,y0),则过该切点的切线的斜率为x0, 所以切线方程为y-y0=x0(x-x0)=x0x-=x0x-2y0. 即x0x-2y-2y0=0, 设点Q(t,t-4),由于切线经过点Q,所以tx0-2y0-2(t-4)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程是tx1-2y1-2(t-4)=0,tx2-2y2-2(t-4)=0, 所以过A,B两点的直线方程是tx-2y-2(t-4)=0,即t(x-2)+8-2y=0. 所以当x=2,y=4时,方程恒成立, 故对任意实数t,直线AB恒过定点(2,4). 返回 返回 (2)由题意可设D(t,-2),E(x1,y1),F(x2,y2), 由题意知切线DE,DF的斜率都存在, 由x2=4y,得y=,则y'=,所以kDE=, 直线DE的方程为y-y1=(x-x1),即y-y1=x-,① 因为E(x1,y1)在x2=4y上,所以=4y1,即=2y1,② 将②代入①得x1x-2y1-2y=0,所以直线DE的方程为x1x-2y1-2y=0, 同理可得直线DF的方程为x2x-2y2-2y=0.因为D(t,-2)在直线DE上,所以tx1-2y1+4=0, 又D(t,-2)在直线DF上,所以tx2-2y2+4=0,所以直线EF的方程为tx-2y+4=0, 故直线EF过定点(0,2). 返回 类型二　交点的轨迹 【例2】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点E在C上,以点E为圆心,|EF|为半径的圆的最小面积为π. (1)求抛物线C的标准方程; (2)过点F的直线与C交于M,N两点,过点M,N分别作C的切线l1,l2,两切线交于点P,求点P的轨迹方程. 【解析】(1)设点E(x0,y0),y0≥0,则|EF|=y0+≥,因为以E为圆心,以|EF|为半径的圆的最小面积为π, 所以π() 2=π,所以=1(负值舍去),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=4y. 返回 (2)设M(x1,),N(x2,), 易得F(0,1),由题意知直线MN的斜率一定存在, 则设直线MN的方程为y=kx+1(k∈R), 联立得x2-4kx-4=0,Δ>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4. 由y=x2,得y'=,则切线l1的斜率为,则切线l1的方程为y-=(x-x1), 即y=x-①. 返回 同理可得切线l2的方程为y=x-②. ①-②得xP==2k, 代入①得,yP=x-=·-==-1, 所以点P的轨迹方程为y=-1. 返回 对点训练 已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为. (1)求抛物线C的方程; (2)过点Q(2,2)的直线m交抛物线C于D,E两点,过点D,E分别作抛物线C的切线l1,l2,求l1,l2交点M满足的轨迹方程. 返回 【解析】(1)设抛物线的方程为x2=2py, 因为抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为, 所以=,解得c=1或c=-5(舍去),所以=1,p=2, 所以抛物线C的方程为x2=4y. 返回 (2)设D(x1,),E(x2,), 过点D的切线方程为y=(x-x1)+,过点E的切线方程为y=(x-x2)+, 则交点M(,). 设过Q点的直线方程为y=k(x-2)+2,联立, 得x2-4kx+8k-8=0,所以x1+x2=4k,x1x2=8k-8, 所以M(2k,2k-2),即y=x-2.故点M满足的轨迹方程为x-y-2=0. 返回 类型三　切线垂直问题 【例3】(2024·南通模拟)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=-的距离为2. (1)求抛物线的方程; (2)设直线y=kx+1交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B两点作抛物线的两条切线,两切线的交点为P,求证:PF⊥AB. 【解析】(1)由题意知F(0,),则焦点F到直线y=-的距离为-(-) =p=2, 所以抛物线的方程为x2=4y. 返回 (2)把直线y=kx+1代入x2=4y消去y,得x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0, 利用根与系数的关系得, 由题意设切线PA的斜率为kPA,切线PB的斜率为kPB,点P坐标为(m,n), 由(1)可得y=x2,则y'=x,所以kPA=x1,kPB=x2, 则切线PA的方程为y-n=x1(x-m),切线PB的方程为y-n=x2(x-m), 则, 返回 ①-②,并利用根与系数的关系化简整理得m=2k,把m=2k代入①整理得: n=-+kx1=-+x1=-+x1=x1x2=-1, 则P(2k,-1),F(0,1),kPF·kAB=×k=-1,PF⊥AB. 返回 思维升华 解这道题时要注意利用根与系数的关系得出两根的关系,再利用两切线的交点建立斜率之间的关系式求解. (1)利用抛物线的定义可求出p. (2)联立直线和抛物线的方程,再利用根与系数的关系建立关系式,设切线PA的斜率为kPA,切线PB的斜率为kPB,点P的坐标为(m,n),利用已知条件对函数求导得出切线的斜率,写出切线方程求出两切线的交点坐标,利用kAB·kPF=-1即可得出结论. 返回 对点训练 已知抛物线C的方程为x2=4y,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B. (1)若点P坐标为(0,-1),求切线PA,PB的方程. (2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点,求证:切线PA和PB互相垂直. 【解析】(1)由题意,开口向上的抛物线的切线斜率存在,设切线斜率为k, 点P坐标为(0,-1),过点P的切线方程为y=kx-1, 联立方程,消去y得x2-4kx+4=0,由Δ=16k2-16=0,解得k=±1, 所以切线PA,PB的方程分别为y=x-1和y=-x-1, 即切线方程分别为x-y-1=0和x+y+1=0. 返回 (2)设点P坐标为(t,-1),切线斜率为k,过点P的切线方程为y=k(x-t)-1, 联立方程,消去y得x2-4kx+4(kt+1)=0, 由Δ=16k2-16(kt+1)=0,得k2-tk-1=0, 记关于k的一元二次方程k2-tk-1=0的两根为k1,k2, 则k1,k2分别为切线PA,PB的斜率,由根与系数的关系知k1k2=-1, 所以切线PA和PB互相垂直. 返回 对点训练 (2024·滨州模拟)已知点A(0,-1),B(0,1),动点P满足||||=·.记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)设D为直线y=-2上的动点,过D作C的两条切线,切点分别是E,F.证明:直线EF过定点. 【解析】(1)设P(x,y),则=(-x,-1-y),=(-x,1-y),=(0,2),=(0,-2), 所以||||=·整理得=1+y,化简得x2=4y. 故C的方程为x2=4y. $