拓展拔高12 阿波罗尼斯圆(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高12 阿波罗尼斯圆 【高考考情】 动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点,尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立平面直角坐标系,寻找动点满足的条件,得出动点的轨迹是一个定圆,从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题. 返回 【知识链接】如图,点A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|,则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点P的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆. 返回 【证明】设|AB|=2m(m>0),|PA|=λ|PB|,以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-m,0),B(m,0). 又设P(x,y),则由|PA|=λ|PB|得=λ,两边平方并化简整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1)x+(λ2-1)y2=m2(1-λ2). 当λ=1时,x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线; 当λ>0且λ≠1时, (x-m)2+y2=,轨迹为以点(m,0)为圆心, ||为半径的圆. 返回 类型一　求轨迹方程及分析点的轨迹 【例1】(1)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P 的轨迹的圆心坐标为______________.  【解析】设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2, 整理得(x-)2+y2=,所以点P的轨迹的圆心坐标为(,0). 答案: (,0) 返回 (2)正方形ABCD的边长为3,P为正方形ABCD边界及内部的动点,且|PB|=2|PA|,则动点P的轨迹长度为___________.  返回 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),设P(x,y), 又因为|PB|=2|PA|,所以=2, 化简为x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4, 所以P点的轨迹是以Q(-1,0)为圆心,半径为2的圆. 又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点, 所以动点P与y轴正半轴的交点为M(0,), 返回 动点P与x轴正半轴的交点为N(1,0),则动点P的轨迹长度为的长度, 在△QMA中,AM=,MQ=2, 所以sin∠MQA==,∠MQA=, 所以的长度=×2=. 答案: 返回 思维升华 阿波罗尼斯圆的逆用 当题目给了一个圆的方程和一个定点,我们可以假设另一个定点,构造相同的阿氏圆,利用两圆是同一个圆,便可以求出定点的坐标. 返回 对点训练 1.阿波罗尼斯圆指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A(-,0)和点B(0,),M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选B.设点M(x,y),令2|MA|=|MC|, 则=,由题知圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=, 设点C(m,n), 则==,整理得x2+y2+x+y=, 比较两个方程可得=0,=0,=1,即m=-2,n=0,点C(-2,0),当点M位于图中M1的位置时,2|MA|-|MB|=|M1C|-|M1B|,此时取得最大值,最大值为|BC|=. 返回 2.如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________.  返回 【解析】因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为 (x-3)2+y2=4(y≠0). 设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为 (4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),所求的面积为4π. 答案:4π 返回 类型二　求三角形面积的最值问题 【例2】(1)(一题多法)满足条件AB=2,AC=BC的△ABC的面积的最大值为________.  返回 【解析】法一(直解法): 建立如图的平面直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0),设C点的坐标为(x,y), 因为|AC|=|BC|, 所以=×. 整理得(x-3)2+y2=8, 所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆(除去与x轴的交点). 设圆心为M,当CM⊥x轴时,△ABC的面积最大,此时|CM|=2, (S△ABC)max=|AB|·r=×2×2=2. 返回 法二(秒解法): 由题意可知,动点C的轨迹是圆M,且半径r===2,分析可得, 当且仅当CM⊥AB时,△ABC面积最大,=|AB|·r=×2×2=2. 答案:2 返回 (2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A=2sin B,acos B+bcos A=2,则△ABC面积的最大值为___________.  返回 【解析】依题意,sin A=2sin B,得BC=2AC, acos B+bcos A=+=c=2,即AB=2,以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(1,0),B(-1,0),设C(x,y),x≠0, 由BC=2AC,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆, 其方程为(x-)2+y2=,x≠0,边AB高的最大值 为,所以=. 答案: 返回 对点训练 1.(一题多法)(2024·柳州模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=,则S△ABC的最大值为________.  返回 【解析】法一(直解法): 以BD中点为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(-,0),D(,0), 设A(x,y),因为AB=2AD. 所以(x+)2+y2=4, 整理得(x-)2+y2=,即有|y|≤, 所以S△ABC=2S△ABD=BD·|y|≤2, 当|y|=时取等号, 所以S△ABC的最大值为2. 返回 法二(秒解法): 因为AB=AC,中线BD=,S△ABC=2S△ABD.又AB=2AD,所以点A的轨迹是以B,D为定点的阿波罗尼斯圆,其半径为r===, 所以=2×|BD|·r=2×××=2. 答案:2 返回 2.已知圆O:x2+y2=1和点A(-,0),若定点B(b,0) (b≠-)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=________,△MAB面积的最大值为___________.  返回 【解析】设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|, 得(x-b)2+y2=λ2[(x+)2+y2],整理得x2+y2-x+=0, 所以解得 如图所示,S△MAB=|AB|·|yM|,由图可知,当|yM|=1,即M的坐标为(0,1)或 (0,-1)时,S△MAB取得最大值,故△MAB面积的最大值为×|--(-2) |×1=. 答案:2　 返回 $