第8章 第52节 直线与圆锥曲线的位置关系(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”核心考点，依据高考评价体系明确位置关系判断、弦长公式应用、焦点弦及中点弦问题三大考查要求。通过2022-2024年新高考真题分析，梳理出位置关系判断、弦长计算等高频考点权重，归纳出位置关系判断、弦长求解、中点弦方程等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”的复习模式，如以2023全国乙卷中点弦问题为例，运用点差法推导斜率关系，培养学生数学思维与运算能力。通过“根与系数关系求弦长”“位置关系判断结合渐近线”等技巧指导，帮助学生掌握答题方法，提升得分率。对学生冲刺高考有实战帮助，为教师复习教学提供系统指导。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第52节　直线与圆锥曲线的位置关系 考试要求 考题分析 1.了解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法; 2.掌握直线与圆锥曲线的弦长公式; 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T11 T16 2023年 - T10 2024年 T11 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____;相交有两个交点(特殊情况 除外),相切有一个交点,相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0代入圆锥 曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). ①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有Δ>0时,直线l与曲线C_____;Δ=0时,直 线l与曲线C_____;Δ<0时,直线l与曲线C_____. ②当a=0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线, 则直线l与双曲线的_______平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的_______平行或重 合. 相交 相切 相离 相交 相切 相离 渐近线 对称轴 返回 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ________________________________________________________,k为直 线斜率且k≠0. ()或 返回 3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入椭圆的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与椭圆C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),直线AB的斜率k,将点A,B代入圆锥曲线的方程,两式相减,整理得 (分别以+=1,-=1,y2=2px为例),椭圆中k=-·;双曲线中k= ; 抛物线中k= . · 返回 【常用结论】 1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径,椭圆、双曲线中长为,抛物线中长为2p. 2.过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-; 同理,双曲线中kPA·kPB=(以上焦点在x轴上). 3.若点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为+=1;同理,双曲线中为 -=1(以上焦点在x轴上). 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 返回 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交. (　 　) (2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共 点”. (　 　) (3)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交. (　 　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦. (　 　) √ × √ √ 返回 2.(选择性必修第一册P114·例7变式)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.- C.± D.± 【解析】选C.由得(2+3k2)x2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±. 返回 3.(选择性必修第一册P136·T3变式)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选C.联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==×=8. 返回 4.过点P(0,1)作斜率为-1的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,则线段AB的中点坐标为________.  【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l的方程为y=-x+1, 与+=1联立,可得7x2-8x-20=0,所以x1+x2=,x1x2=-, 所以线段AB的中点的横坐标为=,线段AB的中点的纵坐标为-+1=, 故线段AB的中点坐标为(,). 答案: (,) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 【例1】(1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选A.法一:联立直线3x-4y=0与双曲线-=1的方程,, 得-=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点. 法二:由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0, 因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0. 返回 (2)(2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________.  【解析】C:-=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x, 结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4,可满足条件“直线y=2x与C无公共点”, 所以e==≤=,又因为e>1,所以1<e≤. 答案:2(答案不唯一,满足1<e≤皆可) 返回 思维升华 1.直线与双曲线位置关系的判断方法 (1)联立方程,消元化为关于x(或y)的一元方程; (2)讨论最高次数项系数是否为零求解; (3)依据方程解的个数,判断交点的个数. 设直线l:y=kx+m,双曲线-=1(a>0,b>0), 联立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. ①m=0时,-<k<,直线与双曲线交于两点(左支一个点右支一个点); k≥,k≤-,或k不存在时,直线与双曲线没有交点; 返回 ②m≠0时,若b2-a2k2=0,k=±,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2), Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直线与双曲线相交于两点; Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直线与双曲线相切于一点; Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直线与双曲线相离. 返回 2.判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数. 返回 对点训练 1.(2024·长沙模拟)椭圆+=1与直线y=k(x-1)的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交. 返回 2.(2024·盐城模拟)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M,N,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.与点P的位置有关系 返回 【解析】选B.双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为-=1, 设P(m,n)为-=1上一点,则-=1, 过P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n), 所以直线MN:y=-x+n,联立得(1-)x2+x-n2-1=0, 所以Δ=() 2-4×(1-)×(-n2-1)=4n4(1+) -4×[1-n2(1+)]×(-n2-1) =4n4+4n2-4n4-4n2=0. 则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1. 返回 【加练备选】 (2024·吉林模拟)已知直线L:y=x+m与曲线C:y=仅有三个交点,则实数m的取值范围是(　　) A.(-2,) B.(-,) C.(1,) D.(1,) 返回 【解析】选C.由题意得曲线C:y=,即2y=,可得4y2=|4-x2|(y≥0); 当4-x2≥0时得到4y2=4-x2,即+y2=1(y≥0);当4-x2<0时得到-y2=1(y≥0); 由以上可得曲线C的图象如图所示, 返回 易知直线L:y=x+m与双曲线-y2=1的一条渐近线y=x平行; 把直线y=x向上平移到过(0,1)点时,即y=x+1与曲线C有两个交点,此时m=1; 继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点. 当直线与椭圆的上半部分相切时, 联立直线与椭圆的方程代入整理得x2+2mx+2m2-2=0, Δ=4m2-4(2m2-2)=0即m=或-(舍),由图示可得m<, 综上可知1<m<. 返回 考点二　与弦相关的问题 角度1　中点弦 【例2】(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B. (-1,2) C. (1,3) D. (-1,-4) 返回 【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(,), 可得kAB=,k==,因为A,B在双曲线上,则, 两式相减得(-)-=0,所以kAB·k==9. 对于选项A: 可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程组, 消去y得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0, 所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误; 返回 对于选项B:可得k=-2,kAB=-,则AB:y=-x-, 联立方程组,消去y得45x2+2×45x+61=0, 此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2 880<0, 所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误; 对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x, 由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线, 所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误; 返回 对于选项D:k=4,kAB=,则AB:y=x-, 联立方程组,消去y得63x2+126x-193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0, 故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确. 返回 思维升华 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示弦中点坐标; (2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率. 返回 角度2　弦长问题 【例3】(1)(2025·南京调研)已知顶点在原点,关于y轴对称的抛物线与直线x-2y=1交于P,Q两点,若|PQ|=,则抛物线的方程为(　　) A.x2=-4y　　　　　　 B.x2=12y C.x2=-4y或x2=12y D.以上都不是 返回 【解析】选C.设抛物线的方程为x2=2ay,则抛物线与直线x-2y=1联立消去y, 得x2-ax+a=0,所以x1+x2=a,x1x2=a,则|x1-x2|==, 所以|PQ|=|x1-x2|=·=, 所以a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6, 所以x2=-4y或x2=12y. 返回 (2)(一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为___________.  返回 【解析】法一:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 所以即因为kAB=kMN,所以==-. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程, 得相减得+=0, 返回 由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以·=-,即·(-) =-,整理得m2=2n2.① 又|MN|=2,所以由勾股定理,得m2+n2=12,② 由①②并结合m>0,n>0,得所以直线l的方程为+=1, 即x+y-2=0. 返回 法二:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 设为Q,则Q(,),则kAB==-,kOQ==. 由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即(-)·=-,以下同法一. 答案:x+y-2=0 返回 对点训练 1.(2024·岳阳模拟)已知椭圆+y2=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=2x+m对称,则实数m的取值范围是________.  【解析】因为椭圆+y2=1,所以x2+2y2-2=0,设椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=2x+m对称,AB中点为M(x0,y0),则+2=2,①;+2=2②, ①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即2x0·(x1-x2)+2×2y0·(y1-y2)=0, 所以kAB==-·=-.所以y0=x0,代入直线方程y=2x+m得x0=-m,y0=-m.因为(x0,y0)在椭圆内部,所以m2+2(-m)2<2,解得-<m<. 答案: (-,) 返回 2.已知椭圆T:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A,B两点,若|AB|=,则椭圆T的方程为________.  【解析】因为a=2b,则c=b,所以椭圆T:+=1,左焦点F(-b,0), 直线AB:y=x+b,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组 消去y得5x2+8bx+8b2=0,所以x1+x2=-b,x1x2=, |AB|==,可得b2=2,所以椭圆T:+=1. 答案:+=1 返回 【加练备选】 (2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 返回 【解析】(1)由题意,椭圆半焦距c=,且e==,所以a=, 又b2=a2-c2=1,所以椭圆方程为+y2=1; 返回 (2)由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0), 当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意; 当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2), 必要性: 若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-),即kx-y-k=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1,联立 可得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1·x2=, 所以|MN|=·=,所以必要性成立; 返回 充分性:设直线MN:y=kx+b'(kb'<0),即kx-y+b'=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以b'2=k2+1, 联立可得(1+3k2)x2+6kb'x+3b'2-3=0,所以x1+x2=-,x1·x2=, 所以|MN|=·= =·=, 返回 化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1,所以或 所以直线MN:y=x-或y=-x+, 所以直线MN过点F(,0),M,N,F三点共线,充分性成立; 所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 返回 考点三　直线与圆锥曲线的综合问题(规范答题) 【例4】(2024·新高考Ⅰ卷)(15分)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:+=1(a>b>0) 上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线l交C于另一点B, 且△ABP的面积为9, 求l的方程. 返回 解题分析 信息读取 信息联想 1 A(0,3)和P(3,)为 椭圆C:+=1(a>b>0)上两点 联想用待定系数法求方程,求椭圆的离心率 2 过点P的直线l交椭圆C于另一点B 联想作出椭圆和直线,将直线与椭圆方程联立、消元 3 △ABP的面积为9 联想用面积公式表示出S△ABP,进而应用距离公式 4 求直线l的方程 求出斜率k,进而求直线l的方程 返回 标准答案 (1)因为A(0,3)和P(3,)为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点, [①基础思维]曲线方程:利用待定系数法将方程组表示出来. 可得解得 ………………………………………………[4分] 所以椭圆的离心率e===. …………………………………… [6分] 返回 (2)由(1)知椭圆C的方程为+=1. [②进阶思维]表示直线:面积代数化的关键是引入合适的直线表示出三角形的底和高. 当直线l的斜率不存在时, 直线l的方程为x=3,B(3,-),|PB|=3,点A到直线l的距离为3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 故直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y-=k(x-3), …………………………………………………[8分] 返回 [③高阶思维]转化面积:利用引入的参数k,借助面积、弦长公式,将直线与曲线联立,实现三角形面积的代数化. 联立直线l与椭圆C的方程, 得消去y可得,(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0. 法一:设点B(x0,y0),则 …………………………………………[10分] 所以|PB|=|x0-3|=·=. 又点A到直线l的距离d=, ……………………………………………………… [11分] 返回 [④高阶思维]构造方程:利用三角形面积的表达形式构造方程求解. 所以△ABP的面积为··=9,解得k=或k=. ………………[13分] 所以直线l的方程为y=x或y=x-3, 即x-2y=0或3x-2y-6=0. ………………………………………………………[15分] 返回 法二:设l与y轴的交点为Q,令x=0,得Q(0,-3k+). …………………………[10分] 设点B的横坐标为xB,则有3xB=, 所以xB=. …………………………………………………………[12分] 由已知得△ABP的面积为|AQ||3-xB|=|3k+|||=9,解得k=或k=. ……[14分] 则直线l的方程为y=x或y=x-3, 即x-2y=0或3x-2y-6=0. ………………………………………………………[15分] 返回 多想少算 路径1 利用椭圆的对称性 第②问,通过观察找到点A1,P1,再通过分析说明直线PA1和PP1即为所求的直线l的方程. 路径2 利用平移直线 注意点B到直线AP的距离为定值,则点B的轨迹应该是与直线AP平行的直线.可直接设出这条直线的方程,进而求出点B的坐标,再求出直线l的方程. 返回 法一:(对称性) 如图,设椭圆的对称中心为O,由A(0,3),P(3,),得S△APO=, 设点A关于点O的对称点为A1,则=2S△APO=9. 所以直线PA1即为所求的直线l,其方程为y=x-3,即3x-2y-6=0; 同理,设点P关于点O的对称点为P1,则=2S△APO=9. 所以直线PP1也为所求的直线l,其方程为y=x,即x-2y=0. 返回 因为点A与点A1,点P与点P1分别关于椭圆的对称中心O对称, 所以四边形APA1P1为平行四边形.所以A1P1∥AP. 所以点B即为直线A1P1与椭圆的交点. 易知直线A1P1与椭圆至多有两个交点. 所以点A1,P1即为所求的点B. 所以直线PA1和PP1即为所求的直线l,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 返回 法二:(平移)由A(0,3),P(3,),所以|AP|==, 因为△ABP的面积为9,所以若设点B到直线AP的距离为d,则d==. 又因为直线AP的斜率kAP==-,所以直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0. 将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度,所得平行线与椭圆的交点即为点B. 返回 设该平行线的方程为x+2y+C=0,则=,解得C=6或C=-18. 当C=6时,联立解得或 即点B的坐标为(0,-3)或(-3,-). 记直线l的斜率为kl,若B(0,-3),则kl=,则直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0; 若B(-3,-),则kl=,则直线l的方程为y=x,即x-2y=0. 当C=-18时,联立消去x得2y2-27y+117=0, 由于Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上所述,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 返回 解题反思 1.直线与椭圆的位置关系问题的解题方法 求解的基本思想是利用代数方法研究几何问题,借助方程思想来解读直线与曲线的位置关系,通常利用直曲联立. 2.解决本题的得分关键 (1)解决本题的过程中需要调用三角形面积公式、点到直线的距离公式等知识对条件进行分析. (2)应用数学作图技能准确作出图形,应用数学推理技能探索直线的求解思路,运用直曲联立等方法将几何条件代数化. (3)直线与椭圆综合问题需要科学引参,实现目标和几何条件的代数化,引参时尽可能减少参数的个数,并有利于后面的数学运算. 返回 对点训练 (2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M(1,)在椭圆C上,且MF⊥x轴. (1)求椭圆C的方程; (2)P(4,0),过P的直线与椭圆C交于A,B两点,N为FP的中点,直线NB与MF交于Q,证明:AQ⊥y轴. 返回 【解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1,点M(1,)在椭圆C上,且MF⊥x轴,则|F1F|=2,|MF|=,由勾股定理可知,|MF1|=, 故2a=|MF1|+|MF|=4,解得a2=4,b2=a2-1=3, 故椭圆C的方程为+=1; 返回 返回 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),=λ,则,即①, 由,可得3··+4··=12②, 由①②可得,5λ-2λx2+3=0,P(4,0),F(1,0),N(,0),B(x2,y2), 则直线NB的方程为y-0=(x-), MF⊥x轴,直线NB与MF交于Q,则xQ=1, 故yQ===-λy2=y1,故AQ⊥y轴. $