第8章 第49节 第1课时 椭圆的定义及标准方程(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆定义及标准方程，依据新课标要求梳理“了解背景、掌握定义与方程、体会数形结合”三大考查维度。对接高考评价体系，分析2022-2024年新高考Ⅰ、Ⅱ卷真题考查频次，明确高频考点，系统构建知识网络，归纳定义应用、方程求解、焦点三角形计算等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“真题训练+素养导向”的备考策略，如以2023年全国甲卷焦点三角形问题为例，通过椭圆定义与勾股定理推导，培养学生数学思维。设置“一题多解”训练，如向量法与几何法结合，提升运算能力与逻辑推理，落实数学语言表达。知能自测含教材改编题与模拟题，帮助学生掌握焦半径公式等技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第1课时　椭圆的定义及标准方程 第49节　椭圆 考试要求 考题分析 1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程. 3.通过椭圆与方程的学习,进一步体会数形结合思想. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T16 - 2023年 T5 T5 2024年 T16 T5 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的______,两焦点间的距离叫做椭圆的______. [注意点]集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数: (1)若a>c,则集合P为椭圆; (2)若a=c,则集合P为线段; (3)若a<c,则集合P为空集. 常数 焦点 焦距 返回 2.椭圆的标准方程和几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 _______________ _______________ -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 返回 顶点 _______________ ______________ _______________ ______________ 轴长 短轴长为____,长轴长为____ 焦点 ______________ ______________ 焦距 |F1F2|=___ 对称性 对称轴:_________,对称中心:______ 离心率 e=(0<e<1) a,b,c的关系 _________ A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c x轴和y轴 原点 a2=b2+c2 返回 【常用结论】 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,如图所示,设∠F1PF2=θ, 返回 (1)△PF1F2周长为2a+2c; (2)焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2的连线叫做椭圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|. ①+=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0; ②+=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0; ③焦半径中长轴端点的焦半径是最大或最小的. |PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c; 返回 (3)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|,当|y0|=b,即点P的位置为短轴端点时,取最大值,最大值为bc. (4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2. (5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　 　) (2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　 　) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越扁.(　 　) (4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.(　 ) × √ √ √　 返回 2.(选择性必修第一册P109练习T3变式)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF2的周长为(　　) A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】选C.由题意知椭圆的长轴长为2a=2=10,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周长是20. 返回 3.(选择性必修第一册P115习题3.1T6改编)如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆O上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 返回 【解析】选A.连接QA(图略). 由已知得|QA|=|QP|, 所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r. 又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|, 根据椭圆的定义知,点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆. 返回 返回 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　椭圆定义的应用 【例1】(1)椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,P为一个交点,则|PF2|=(　　) A. B. C. D.4 返回 【解析】选C.由椭圆+y2=1可得椭圆的焦点坐标为, 设点F1的坐标为, 所以点P的坐标为, 所以|PF1|=. 根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF2|=. 返回 (2)已知椭圆C:+=1的两焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点且PF1⊥PF2,则||PF1|-|PF2||=(　　) A.4 B.4 C.4 D.2 【解析】选A.因为椭圆C:+=1,所以a=2,b=2,c=4,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,因为PF1⊥PF2,所以m2+n2=64, 所以2mn=(m+n)2-(m2+n2)=16, 所以(m-n)2=(m+n)2-4mn=80-32=48, 所以|m-n|=4,即||PF1|-|PF2||=4. 返回 对点训练 1.(2024·丽江模拟)一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,且与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(　　) A.椭圆　 B.双曲线 C.抛物线　 D.双曲线的一支 【解析】选A.设动圆P的半径为r(r>0), 又圆A:(x+1)2+y2=1的半径为1, 圆B:(x-1)2+y2=64的半径为8, 则|PA|=r+1,|PB|=8-r, 可得|PA|+|PB|=9,又9>2=|AB|, 则动圆的圆心P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为9的椭圆. 返回 2.(2025·梅州模拟)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆C的一个交点为A,若|AF2|=4,则△AF1F2的面积为(　　) A.2　 B.　 C.4　 D. 返回 【解析】选D.椭圆C:+=1中,|F1F2|=2=4,由|AF2|=4及椭圆定义得|AF1|=2, 因此△AF1F2为等腰三角形,底边上的高h===, 所以=|AF1|·h=. 返回 考点二　椭圆的标准方程 【例2】(1)(2024·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0,-2),P为椭圆上任意一点,若|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则此椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】选D.由题意|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8=2a,故a=4, 又c=2,则b=2,焦点在y轴上,故椭圆的标准方程为+=1. 返回 (2)(2025·安康模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,且满足∠F1MF2=90°,MF2的延长线交椭圆于另一点C,|MF2|=2|F2C|=2,则椭圆的方程为(　　) A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 返回 【解析】选C.因为点M在椭圆上,MF2的延长线交椭圆于另一点C,且|MF2|=2|F2C|=2, 所以|MF1|=2a-2,|CF1|=2a-1,则|CM|=3.由于∠F1MF2=90°,所以+|CM|2=,即(2a-2)2+9=(2a-1)2,解得a=3.所以|MF1|=2a-2=4,则|F1F2|= ==2,则c=,b2=a2-c2=4,所以椭圆方程为+=1. 返回 思维升华 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义. (2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可. 返回 对点训练 (2024·东莞模拟)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=25,动圆P与圆M外切并与 圆N内切,则圆心P的轨迹方程为________.  【解析】设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R(R>0),由题意得|PM|=R+1,|PN|=5-R, 所以|PM|+|PN|=6>2,则点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆,即2a=6,即a=3, 由M(-1,0),N(1,0)得c=1,则b2=8,所以动圆圆心P的轨迹方程为+=1. 答案:+=1 返回 考点三　椭圆中焦点三角形的应用 【例3】(一题多法)(2023·全国甲卷)已知椭圆+=1,F1,F2为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F1PF2=,则|PO|=(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选B.法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<, 所以=b2tan =b2tan θ, 由cos∠F1PF2=cos 2θ===,解得tan θ=, 由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以=|F1F2|·|yP|=×2×|yP|=6×,可得=3, 即=9×(1-)=, 因此|OP|===. 返回 返回 法三:因为|PF1|+|PF2|=2a=6①,+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=, 即+-|PF1||PF2|=12②,联立①②,解得+=21, 由中线定理可知, (2|OP|)2+=2(+)=42,易知|F1F2|=2,解得|OP|=. 返回 对点训练 已知A(3,0),B(-3,0),P是椭圆+=1上的任意一点,则|PA|·|PB|的最大值为________.  【解析】由已知可得A(3,0),B(-3,0)为椭圆+=1的焦点,根据椭圆定义知|PA|+|PB|=10, 所以|PA|·|PB|≤()2=25, 当且仅当|PA|=|PB|=5时等号成立, 故|PA|·|PB|的最大值为25. 答案:25 返回 4.(一题多法)设F1,F2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,点P在C上,若·=0, 则|PF1|·|PF2|=(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 【解析】选B.法一:因为·=0, 所以∠F1PF2=90°,从而=b2tan 45°=1=×|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=2. 法二:因为·=0, 所以∠F1PF2=90°, 由椭圆方程可知,c2=5-1=4⇒c=2, 所以+==42=16, 又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得:++2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20, 所以|PF1|·|PF2|=2. 法二:因为|PF1|+|PF2|=2a=6①,+-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=, 即+-|PF1||PF2|=12②,联立①②, 解得|PF1||PF2|=,+=21, 而=(+), 所以|OP|=||=|+|, 即||=|+| = ==. $