核心素养测评(第7章 第44节 第3课时 空间距离)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:85分) 五十 空间距离 【基础过关练】 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(5分)如图是一棱长为1的正方体,则异面直线A1B与B1D1之间的距离为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选B.分别以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(5分)(2024·长沙模拟)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离为 (　　) A.2 B.2 C.3 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【变式备选】 如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为(　　) A. B. 2 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选D.如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.(5分)已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离(　　) A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】选A.取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD, 所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错. 又A1B1∥平面PGCD, 所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错. 如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(5分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是(　　) A. B. C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 8.(5分)(2024·厦门模拟)已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1),且点A(1,2,3)在平面α内,则点B(1,1,1)到α的距离为________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(5分)(2024·枣庄模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是 AB,CC1的中点,则△D1GF的面积为______________.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 10.(10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.求: (1)点N到直线AB的距离; (2)点C1到平面ABN的距离; (3)直线AA1到直线BN的距离. 【解析】以A 为坐标原点,AC,AA1所在直线分别为y 轴、z轴, 过点A 且垂直于平面ACC1A1 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),A1(0,0,4), 因为N 是CC1 的中点,所以N(0,4,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【变式备选】 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,求点A到平面MBC的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点,以直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM=, 则O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,), B(0,-,0),A(0,-,2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【能力提升练】 11.(5分)(2024·沧州模拟)已知四面体ABCD满足∠BAC=,cos∠CAD=,cos∠DAB=, AB=2,AC=3,AD=2,则点A到平面BCD的距离为 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(5分)(多选题)如图所示,三棱锥S-ABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是 (　　) A.直线CE的一个方向向量为(,,) B.点D到直线CE的距离为 C.平面ACE的一个法向量为 D.点D到平面ACE的距离为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(5分)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC,则 异面直线AD与BC的距离为___________.   【解析】取AC的中点O,连接OB,OD,OD⊥AC,OB⊥AC.由条件可知,平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC=AC,OD⊂平面ACD, 所以OD⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(10分)(2024·台州模拟)如图,已知四边形ABCD为平行四边形,E为CD的中点,AB=4,AD=AE=2.将△ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置. (1)若平面APE⊥平面ABCE,求证:AP⊥BE; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】(1)因为四边形ABCD为平行四边形,且△ADE为等边三角形,所以∠BCE=120°. 又因为E为CD的中点,则CE=ED=DA=CB,所以△BCE为等腰三角形, 可得∠CEB=30°,∠AEB=180°-∠AED-∠BEC=90°,即BE⊥AE, 因为平面APE⊥平面ABCE,平面APE∩平面ABCE=AE,BE⊂平面ABCE, 则BE⊥平面APE,且AP⊂平面APE,所以AP⊥BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若点A到直线PC的距离为,求二面角P-AE-B的平面角的余弦值. 【解析】(2)取AE的中点O,连接PO,因为△APE为等边三角形,所以PO⊥AE, 取AB的中点G,则OG∥BE,由(1)得BE⊥AE,所以OG⊥AE,所以∠POG即为二面角 P-AE-B的平面角,记为θ. 以点O为坐标原点,以OA,OG,Oz所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【创新思维练】 15.(5分)(2024·华南师大附中模拟)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体,如图1所示的礼品包装盒就是其中之一,该礼品包装盒可以看成是一个十面体,其中上、下底面为全等的正方形,所有的侧面是全等的三角形.将长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转60°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB=AD=2,AE=,P是底面正方形ABCD内的点,且P到AB和AD的距离都为,过直线EP作平面α,则十面体ABCD-EFGH外接球被平面α所截的截面圆面积的最小值 是___________. π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 【解析】由题图可知,上底面的平面图如图所示, 记上底面A1B1C1D1的中心为O1,连接A1O1,O1E,因为旋转了60°, 所以△O1A1E为等边三角形,A1E=O1A1=. 又因为长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面EFGH,A1E⊂平面EFGH, 所以AA1⊥A1E,所以AE2=A+A1E2=6, 解得AA1=2. 因为十面体ABCD-EFGH是将长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面绕着其中心旋转60°得到的, 所以长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设十面体ABCD-EFGH的外接球半径为R,则4R2=AB2+AD2+A,即R==,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 结合上底面的平面图可知∠B1A1E=60°-45°=15°, 可得A1E·sin∠B1A1E=sin 15°=, A1E·cos∠B1A1E=cos 15°=, 所以E(,,2), 又因为P到AB,AD的距离都为, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.(5分)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量=(0,,0),则点F到平面ABC的距离为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意,点F到平面ABC的距离为 ==. 则=(1,1,0),=(0,1,-1),设n=(x,y,z)与和都垂直, 则 ,即,取n=(1,-1,-1),又因为=(1,0,0), 所以异面直线D1B1和A1B间的距离为d= ==. 【解析】选A.因为=(1,1,1), 所以的一个单位方向向量为u=(1,1,1). 因为=(1,-1,3),故||==,·u=(1-1+3)=, 所以点P到直线MN的距离为==2. 则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0), 则=(-3,0,1),=(-3,4,0),故点P到直线BD的距离d= ==, 所以点P到直线BD的距离为. 【解析】选D.由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0). 设向量n=(x,y,z)与向量,都垂直, 则 即取x=1,得n=(1,3,-4), 又平面α∥平面β,所以平面α与平面β间的距离d= ==. 则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(,0,a),所以=(0,a,0),=(a,0,a),=, 设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由 得 令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量. 设点Q到平面PEF的距离为d,则d= ==,A对,C错. 二、多选题 6.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,A(2,0,0),B(1,1,-2),C(2,3,1),则 (　　) A.·=-5 B.=2 C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【解析】选AC.对于A,依题意,=(-1,1,-2),=(1,2,3),·=-1+2-6=-5,故A正确; 对于B,=(0,3,1),==,故B错误; 对于C,=(1,1,-2),=,设异面直线OB 与AC 所成的角为θ , 所以cos θ=|cos<,>|= ==, 则异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为,故C正确; 对于D,因为=(1,1,-2),=(1,2,3),所以点O 到直线BC 的距离是 ==,故D错误. 【解析】选BC.如图,以D1为坐标原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ,2)(0≤λ≤2),D(0,0,2),C1(0,2,0), 故=(-2,2,0),=(-2,0,2), 设平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),由, 取x=1,则n=(1,1,1)为平面A1C1D的一个法向量,=(0,λ,2),所以P到平面A1C1D的距离d==. 因为0≤λ≤2,所以d∈,而-=>0,即B,C选项的数值才符合. 【解析】由题设=(0,1,2),则点B(1,1,1)到α的距离为 ==. 【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则D1(0,0,2),G(0,2,1),F(1,1,0),=(-1,-1,2),=(-1,1,1),所以点D1到直线GF的距离d= ==.又||=, 所以=××=. (1)=(0,4,2),=(2,2,0),则=2,=4,·=8. 设点N 到直线AB 的距离为d1,则d1= ==4. (2)设平面ABN的法向量为n=(x,y,z), 则由n⊥,n⊥,得 即 令z=2,则y=-1,x=,即n=(,-1,2)是平面ABN的一个法向量. 易知=(0,0,-2), 设点C1到平面ABN的距离为d2,则d2= ==. (3)因为直线AA1与直线BN为异面直线,=(0,0,4),=(-2,2,2),设直线AA1与直线BN的公垂线的方向向量为u=(x1,y1,z1), 则 即解得 令x1=1,则y1=,即u=(1,,0). 又=(2,2,0).设直线AA1到直线BN的距离为d3,则d3===2. 所以=(1,,0),=(0,,). 设平面MBC的法向量为n=(x,y,z), 由 ,得, 取x=,可得平面MBC的一个法向量为n=(,-1,1).又=(0,0,2), 所以所求距离为d= =. 【解题指导】设平面BCD的一个法向量n=x+y+z,列出方程组,求得n=+,再求得,·n的值,结合h=,即可求解. 【解析】选D.因为四面体ABCD满足∠BAC=,cos∠CAD=, cos∠DAB=,AB=2,AC=3,AD=2,可得·=3,·=2,·=1, 设平面BCD的一个法向量n=x+y+z,则 , 即 , 令z=1,解得x=1,y=0,所以n=+, 所以==,·n=4+1=5,设点A到平面BCD的距离为h,则h===. 【解析】选ABD.依题意,S(,0,3),A(,0,0),B(0,1,0),C,E(,,), 因为SD=SC,则D(,-,2),则=(,,),因为=,,),故A正确; =(,,2),= (-,-1,0),= (-,,),故点D到直线CE的距离 d= = ,故B正确; 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则 ,即, 令y=3,则n=(-,3,-2)为平面ACE的一个法向量,故C错误; 而=(,,2),故点D到平面ACE的距离d1==1,故D正确. 如图,以点O为坐标原点,以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,), =(0,,),=(-,,0),=(-,0,), 设与,都垂直的向量为n=(x,y,z), 则 ,令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1), 则异面直线AD与BC的距离为 ==. 则A(1,0,0),C(-2,,0), 因为OP=,则P(0,cos θ,sin θ), 可得=(1,-cos θ,-sin θ),=(-2,-cos θ,-sin θ), 则点A到直线PC的距离为=, 由题意可得=,解得cos θ=-或cos θ=,所以二面角P-AE-B的平面角的余弦值为-或. 所以P(2-,,0),球心O(1,1,1), 所以=(-,,2),=(,,1), 所以最小截面圆的半径为 , 此时截面圆面积为π( )2=π. $