核心素养测评(第7章 第44节 第1课时 线线角与线面角)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:80分) 四十八 线线角与线面角 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量.若cos<m,n>=-,则直线l与平面α所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】选A.由于cos<m,n>=-, 所以<m,n>=120°, 所以直线l与平面α所成的角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(5分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥AB,PA⊥AD,AD=1,AB=, △PAB是等腰三角形,点E是棱PB的中点,则异面直线EC与PD所成角的余弦值 是 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选B.因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A, 所以PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 因为AD=1,AB=,△PAB是等腰三角形,点E是棱PB的中点, 所以E(,0,),C(,1,0),P(0,0,),D(0,1,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(5分)在正四棱锥S-ABCD中,已知O为顶点在底面内的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多选题 4.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,∠ACB=90°,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.则下列结论正确的是 (　　) A.AC1与EF相交 B.B1C1∥平面DEF C.EF与AC1所成的角为90° D.点B1到平面DEF的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选BCD.对于选项A,由题图知AC1⊂平面ACC1A1,EF∩平面ACC1A1=E,且E∉AC1.由异面直线的定义可知AC1与EF异面,故A错误; 对于选项B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC. 因为D,F分别是AC,AB的中点, 所以DF∥BC,所以B1C1∥DF. 又因为B1C1⊄平面DEF,DF⊂平面DEF, 所以B1C1∥平面DEF,故B正确; 对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2), D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(5分)(2024·邢台模拟)在△ABC中,B=,AB=2,BC=3,E为AC的中点,点F在线段BC上,且CF=2BF,将△ABC以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥,D为底面圆上一点,满足=π,则(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选ABD.△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径AB=2, 所以圆的周长为4π,所以所对的圆心角∠ABD=,A正确;易知B正确;以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 6.(5分)(2024·东北三省三校模拟)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点,则异面直线DM与PA所成角的正切值为___________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点,且 AE=AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为_________.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 8.(10分)(2024·金华模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC和△ABC均为等腰三角形,且∠APC=∠BAC=90°,PB=AB=4. (1)判断AB⊥PC是否成立,并给出证明; 【解析】(1)AB⊥PC不成立.证明如下: 假设AB⊥PC,因为AB⊥AC,且PC∩AC=C, 所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥PA,这与已知PB=AB=4矛盾,所以AB⊥PC不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值. 【解析】(2)法一:取AC中点O,BC中点G,连接PO,OG,PG, 因为在三棱锥P-ABC中, △PAC和△ABC均为等腰三角形,∠APC=∠BAC=90°,PB=AB=4. 所以PO=OG=PG=2, 由已知得AC⊥PO,AC⊥OG,且PO∩OG=O, 所以AC⊥平面POG,所以平面ABC⊥平面POG, 取OG中点H,连接PH,BH,则PH⊥平面ABC, 所以∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角, 因为PH=,PB=4,所以直线PB与平面ABC所成角的正弦值sin∠PBH==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二:如图,以A为坐标原点,AB,AC所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0), 设P(x,y,z),则, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【能力提升练】 9.(5分)(2024·十堰模拟)如图,等边三角形ABC的边长为3,DE⊥AB分别交AB,AC于D,E两点,且AD=1,将△ADE沿DE折起(点A与P重合),使得平面PDE⊥平面BCED,则折叠后的异面直线PB,CE所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选D.由题意可知,DE⊥PD,DE⊥DB,平面PDE⊥平面BCED,平面PDE∩平面BCED=DE,PD⊂平面PDE,所以PD⊥平面BCED, 又BD⊂平面BCED,所以PD⊥BD,所以DB,DE,DP两两垂直,以D为坐标原点,DB,DE,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(5分)手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,A1F=B1F=2,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面 直线PQ与MN所成角的余弦值是 _________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 因为A1F=B1F=2,AB=AA1=2AD=4, 所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BC上运动,则异面直线A1P与 AD1所成角的取值范围是______________. [,] 【解析】如图,在正方体中建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,0),A(1,0,1),D1(0,0,0), 设P(t,1,1)(0≤t≤1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(10分)(2024·汕头模拟)如图,三棱台ABC-A1B1C1中,侧面四边形ACC1A1为等腰梯形,底面三角形ABC为正三角形,且AC=2A1C1=2.设D为棱A1C1上的点. (1)若D为A1C1的中点,求证:AC⊥BD; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)取AC中点M,连接DM,BM,则AC⊥DM,AC⊥BM, 由DM∩BM=M,DM,BM⊂平面BDM,得AC⊥平面BDM,又BD⊂平面BDM, 所以AC⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若三棱台ABC-A1B1C1的体积为,且侧面ACC1A1⊥底面ABC,试探究是否存在点D,使直线BD与平面BCC1B1所成角的正弦值为?若存在,确定点D的位置;若不存在,说明理由. 【解析】(2)取A1C1中点N,连接MN,由(1)得∠NMB为二面角A1-AC-B的平面角, 由平面ACC1A1⊥平面ABC得∠NMB=90°,即NM⊥BM, 以M为原点,直线MA,MB,MN分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【变式备选】 　(2024·石家庄模拟)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90°,如图1.把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD. (1)求证:CD⊥AB; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)因为AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,AB⊥BC, 所以AD=AB=,BD==2, 又∠DBC=∠ADB=45°, 所以CD==2, 所以BD2+DC2=BC2,则CD⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD, 所以CD⊥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 【解析】(2)由(1)知CD⊥BD. 以点D为坐标原点,DB,DC所在的直线为x轴,y轴,过点D作垂直平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系, 如图,由已知,得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【创新思维练】 13.(5分)空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(a,b,c)(abc≠0)的直线l的方程为==.阅读上面的内容并解决下面问题:现给出平面α的方程为2x-7y+z-4=0,经过(0,0,0)的直线l的方程为==,则直线l与平面α所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意得,直线l的一个方向向量为n1=(2,3,-1),平面α的一个法向量为 m1=(2,-7,1),设直线l与平面α所成角的大小为θ, 则sin θ=|cos<n1,m1>|===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(5分)(多选题)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制).已知正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,棱AB,A1B1的中点分别为D,D1.若该棱台顶点A,A1的曲率之差为π,则 (　　) A.CD1⊥BB1 B.BB1⊥平面AA1C1C C.直线CD1与平面AA1B1B所成角的正弦值等于 D.多面体ACC1D1D顶点D的曲率的余弦值等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选BC.正三棱台ABC-A1B1C1中,棱AB,A1B1的中点分别为D,D1, 延长AA1,CC1相交于P,设O为△ABC的中心,棱BC的中点为E, 以过O且平行于BC的直线为x轴,直线OE为y轴, 直线OP为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 因为正三棱台ABC-A1B1C1的顶点A,A1的曲率之差为π, 所以[π-(+2∠A1AB)]-[2π-(+2∠AA1B1)]π, 则∠AA1B1-∠A1AB=, 又∠AA1B1+∠A1AB=π, 所以∠AA1B1=,∠A1AB=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令AB=2A1B1=4, 则A(0,-,0),B(2,,0),C(-2,,0),D(1,-,0),P(0,0,),A1(0,-,),B1(1,,), C1(-1,,),D1(,-,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 =(,1,-),=(0,1,-), 设异面直线EC与PD所成角为θ, 则cos θ===. 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为. 【解析】选A.如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a(a>0),则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,-,), 所以=(2a,0,0),= (-a,-,),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n=(x,y,z), 则即得x=0,令y=1,则n=(0,1,1). 因为cos<,n>===,所以<,n>=60°, 所以直线BC与平面PAC所成的角为30°. 所以=(-1,1,-1),=(-2,0,2).因为·=2+0-2=0,所以⊥, 所以EF与AC1所成的角为90°,故C正确; 对于选项D,设向量n=(x,y,z)是平面DEF的法向量, 因为=(1,0,1),=(0,1,0),所以得 取x=1,则z=-1,所以n=(1,0,-1).设点B1到平面DEF的距离为d. 又因为=(-1,2,2),所以d===, 所以点B1到平面DEF的距离为,故D正确. A.BA⊥BD B.在上的投影向量是 C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为 D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为 则A(0,2,0),D(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,),F(0,0,1), 所以=(0,-1,-),=(2,0,-3),=(0,2,-3), 所以cos<,>==,C错误; 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2, 则n=(3,3,2). 设直线EF与平面ACD所成的角为θ, 则sin θ==,D正确. 【解析】四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点, 所以以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图, 则D(0,0,2),P(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),所以=(1,1,-2),=(2,0,0), 则cos<,>===.设异面直线DM与PA所成角为θ, 则cos θ=cos<,>=,所以sin θ==, 所以tan θ==,所以异面直线DM与PA所成角的正切值为. 所以=(0,3,1),=(1,1,-1),=(0,3,-1).设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z), 则即取y=1,得n=(2,1,3). 所以|cos<,n>|==,所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 解得P(1,2,),=(3,-2,-), 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), 所以直线PB与平面ABC所成角的正弦值为sin θ==. 由已知得DE=,点C到直线BD的距离为, P(0,0,1),B(2,0,0),C(,,0),E(0,,0),从而=(2,0,-1),= (-,-,0), 故cos<,>===-, sin<,>==. 所以=(-2,1,5),=(0,-3,3), 所以cos<,>===,因为异面直线PQ与MN所成角为锐角,所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是. 则=(t-1,1,1),=(-1,0,-1).设异面直线A1P与AD1所成角为θ, 则cos θ=|cos<,>|===. 当t=0时,cos θ=0,θ=; 当t≠0时,cos θ=≥1). 因为y=6()2-4()+2的对称轴为=,所以当≥1时,y=6()2-4()+2≥6-4+2=4, 即0<cos θ=≤, 由0<θ≤,知≤θ<. 综上,≤θ≤. 设该棱台的高为h,由V=++)·h=,得h=. 则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),C1(-,0,),=(1,,0),=(,0,), 设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z), 则,令x=,得n=(,-1,-1),设D=(t,0,) (-≤t≤), 则=(t,-,),于是|cos<,n>|===, 解得t=或t=-(舍去), 所以存在点D满足条件,此时D与A1重合. 所以=(0,-2,0),=(-1,0,-1). 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z), 则,令x=1,则n=(1,0,-1). 假设存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设=λ,0≤λ≤1, 则N(2-2λ,2λ,0),=(1-2λ,2λ,-1).所以sin 60°= ==,可得8λ2+2λ-1=0,解得λ=或λ=-(舍去). 综上所述,在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,此时=. 对于A,因为=(,-,),=(-1,-,), ·=×(-1)+ (-) (-)+×=-1, 所以CD1与BB1不垂直,故A错误; 对于B,因为PA=PB,∠PAB=,则PB⊥PA,同理,PB⊥PC, 又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC, 所以PB⊥平面PAC,即BB1⊥平面AA1C1C,故B正确; 对于C,因为=(0,-,-),= (2,,-), 令平面PAB,即平面AA1B1B的法向量为m=(x,y,z), 则即, 取z=,得m=(,-1,), 令直线CD1与平面AA1B1B所成角为θ, 所以sin θ== ==, 故C正确;对于D,因为=(-,,),=(-3,,0), 所以cos∠D1DC=cos<,>= ==, 又多面体ACC1D1D顶点D的曲率 α=2π-(∠ADC+∠ADD1+∠D1DC) =2π-(++∠D1DC)=π-∠D1DC, 所以cos α=-cos∠D1DC=-,故D错误. $