核心素养测评(第7章 第43节 利用空间向量研究直线、平面的位置关系)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:90分) 四十七 利用空间向量研究直线、平面的位置关系 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)设u=(-5,2,t),v=(6,-5,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】选D.由已知条件可得 u·v=(-5)×6+2×(-5)+4t=0, 解得t=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(5分)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 (　　) A.(1,-1,1) B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(5分)已知直线l的一个方向向量为m=(x,2,-5),平面α的一个法向量为n=(3,-1,2),若l∥α,则x等于 (　　) A.-6 B.6 C.-4 D.4 【解析】选D.若l∥α,则m⊥n,从而m·n=0,即3x-2-10=0,解得x=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(5分)已知A(3,2,0),B(0,4,0),C(3,0,2),则平面ABC的一个法向量的坐标是 (　　) A.(1,1,1) B.(2,2,3) C.(2,3,3) D.(,-,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,E为AB的中点,F为线段BB1上的一点,且A1C⊥EF,则= (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选C.取A1B1 的中点E1,连接EE1,EC,易知EC,EB,EE1两两垂直,以E 为坐标原点,EC,EB,EE1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则E(0,0,0),C(,0,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有 (　　) A.DB1=3 C.平面AEF的一个法向量是(4,-1,2) D.A1D⊥BD1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【加练备选】 (多选题)以下命题正确的是(　　) A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l⊥m B.直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),则l⊥α C.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量, 则u+t=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选CD.直线l的方向向量a=(1,-1,2), 直线m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,则l与m不垂直,所以A不正确; 直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1), a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,则l∥α或l⊂α,所以B不正确; 两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-n2=(2,-1,0),则α∥β,所以C正确; 平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量, 可得 ,则u+t=1,所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题 8.(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量 n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是______________.  α∥β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四、解答题 10.(10分)如图,已知AA1⊥ 平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和点F分别为BC和A1C的中点.求证: (1)EF∥平面A1B1BA; (2)平面AEA1⊥ 平面BCB1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【证明】 因为AB=AC,E为BC 的中点,所以AE⊥BC. 因为AA1⊥ 平面ABC,AA1∥BB1, 所以以E 为原点,过E 作平行于BB1 的直线为z 轴,EC,EA所在直线分别为x 轴、y轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图所示, 因为AB=3,BE=,所以AE=2, 所以E(0,0,0),C(,0,0), A(0,2,0),B(-,0,0),A1(0,2,), 则F(,1,). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【能力提升练】 11.(5分)(2024·银川模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 棱AA1,CC1的中点,过点E作平面α,使得α∥平面BDF,且平面α与A1C1交于点M,则 FM=(　　)　　　　　　　 　　　　　　　　 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(5分)(多选题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=6,CC1=4,AC⊥BC,M为棱A1C1的中点;E为棱BB1上的动点(含端点),过点A,E,M作三棱柱的截面α,且α交B1C1于Q,则(　　) A.线段ME的最小值为 B.棱BB1上不存在点E,使得B1C⊥平面AEM C.棱BB1上存在点E,使得AE⊥ME D.当E为棱BB1的中点时,ME=7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【变式备选】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=,点P为线段A1C上的动点,则下列结论不正确的是(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),C(0,,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,,1),D(0,0,0),B(1,,0),C1(0,,1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(5分)如图,圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形,O为底面中心,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP,则点P在圆锥底面上形成的轨迹的 长度为___________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】(1)若平面MNQ∥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PAB∩平面MNQ=QN,所以QN∥AB, 又因为N为PB的中点,所以Q为PA的中点,同理M为PD的中点,所以λ=μ=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】(2)因为∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD, 如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、 z轴正半轴建立空间直角坐标系, 故P(0,0,2),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0), (2)若MQ∥平面PBC,求的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【变式备选】 (2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1. (1)求证:AB⊥PD; 【解析】(1)取AB的中点为O,连接DO,PO, 因为PA=PB,所以PO⊥AB, 又因为底面ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1, 所以四边形OBCD为正方形,则DO⊥AB, 又因为DO∩PO=O,且DO,PO⊂平面POD, 所以AB⊥平面POD,又PD⊂平面POD, 所以AB⊥PD; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值; 【解析】(2)PO⊥AB且PO⊂平面PAB, 又因为平面PAB⊥平面ABCD, 且平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以PO⊥平面ABCD,则PO⊥DO, 由OA,OD,OP两两垂直, 以OD,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz, 因为△PAB为等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1, 所以OA=OB=OD=OP=1, 则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),P(0,0,1), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)线段PA上是否存在点E,使得PC∥平面EBD?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【创新思维练】 15.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP⊥平面MBD1.线段AP长度的取值范围是 (　　) A.[1,] B.[,] C.[,] D.[,+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 　-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】选B.由题意可知符合条件的点P应满足·n=0,选项A, =(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内; 同理可得:选项B,=(1,-4,),·n=0,故在平面α内; 选项C,= (1,2,),·n=6≠0,故不在平面α内; 选项D,= (3,-4,),·n=12≠0,故不在平面α内. 【解析】选C.由题可知=(-3,2,0),=(0,-2,2).设n=(x,y,z) 是平面ABC的法向量, 则 即 可得 显然(1,1,1),(2,2,3),(,-,)不是平面ABC 的法向量的坐标,(2,3,3)是平面ABC 的一个法向量的坐标. A1(0,-,2),=(,,-2). 设F(0,,λ) (0≤λ≤2),则=(0,,λ). 由A1C⊥EF,得·=-2λ=0,解得λ=,故==15. 二、多选题 6.(5分)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且=(2,-1,-4), =(4,2,0),=(-1,2,-1),则 (　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的法向量 D.∥ 【解析】选ABC.因为·=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=0, ·=(4,2,0)·(-1,2,-1)=0, 所以AB⊥AP,AD⊥AP,则选项A,B正确. 又与不平行, 所以是平面ABCD的法向量,则选项C正确. 由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1), 所以与不平行,故选项D错误. B.向量与所成角的余弦值为 【解析】选BCD.根据空间直角坐标系D-xyz, 可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为BB1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2), 故DB1=||==2,故A错误; 对于B,因为=(0,2,1),=(-2,2,2), 所以||=,||=2, 故cos<,>= ==,故B正确; 对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为=(0,2,1),=(-1,0,2), 所以 ,整理得,令x=4,可得y=-1,z=2,故n=(4,-1,2),故C正确; 对于D,由于=(-2,0,-2),=(-2,-2,2), 故·=0,故A1D⊥BD1,故D正确. 【解析】=(0,1,-1),=(1,0,-1). 设平面α的法向量为m=(x,y,z),m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z, 由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1, 所以m=(1,1,1),m=-n, 所以m∥n,所以α∥β. 9.(5分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x+y+z=________.  【解析】因为⊥,所以·=3+5-2z=0,所以z=4,所以=(3,1,4), 又因为BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC, 所以 ,解得, 因此x+y+z=. (1)=(,1,),=(-,-2,0),=(0,0,). 设平面A1B1BA 的法向量为n=(x,y,z), 则 即取 所以n=(-2,,0) 是平面A1B1BA 的一个法向量. 因为·n=×(-2)+1×+×0=0,所以⊥n. 又EF⊄ 平面A1B1BA, 所以EF∥ 平面A1B1BA. (2)因为AA1⊥ 平面ABC,EC⊂ 平面ABC, 所以AA1⊥EC,又EC⊥AE,AE∩AA1=A,AE,AA1⊂ 平面AEA1,所以EC⊥ 平面AEA1, 所以=(,0,0)为平面AEA1 的一个法向量. 同理易证EA⊥平面BCB1, 所以=(0,2,0) 为平面BCB1的一个法向量. 因为·=0, 所以⊥, 故平面AEA1⊥ 平面BCB1. 【解析】选C.如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(2,2,0),F(0,2,1),E(2,0,1),A1(2,0,2),C1(0,2,2), 可得=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0), 设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则, 令y=-1,则x=1,z=2,可得n=(1,-1,2), 因为α∥平面BDF,可知平面α的法向量为n=(1,-1,2),设=λ=(-2λ,2λ,0),可得=+=(-2λ,2λ,1),可得n·=-2λ-2λ+2=0,解得λ=, 则=(-1,1,1),可得=-=(1,-1,1),所以==. 【解析】选ABD.如图,以CA,CB,CC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(6,0,0),B(0,6,0),C1(0,0,4),A1(6,0,4),B1(0,6,4),M(3,0,4), 由于BB1与底面A1B1C1垂直, 因此当E与B1重合时,ME在平面A1B1C1内,BB1⊥ME, 此时ME最小为==3,A正确; =(0,-6,-4),=(-3,0,4),若·=0×(-3)+(-6)×0+(-4)×4=-16≠0,B1C与AM不垂直,因此B1C不可能与平面AME垂直,B正确; 设E(0,6,t) (0≤t≤4),则=(-6,6,t),=(-3,6,t-4),若AE⊥ME,则·=18+36+t(t-4)=0,即t2-4t+54=(t-2)2+50=0,此方程无实数解,因此棱BB1上不存在点E,使得AE⊥ME,C不正确; E是BB1中点时,E(0,6,2),ME==7,D正确. A.当=2时,B1,P,D三点共线 B.当⊥时,⊥ C.当=3时,D1P∥平面BDC1 D.当=5时,A1C⊥平面D1AP 当=2时,= (-,,-), =+=(,,), 而=(1,,1), 所以=, 所以B1,P,D三点共线,A正确,不符合题意; 设=λ,=(-1,,-1), 则=+=+λ=(-λ,λ,1-λ). 当⊥时,有·=5λ-1=0, 所以λ=,所以=(-,,),=+=(,,-), 所以·=(-,,)·(,,-)=-≠0, 所以与不垂直,B不正确,符合题意; 当=3时,= (-,,-), =-=(,,-), 又=(1,,0),=(0,,1),所以=-,所以,,共面, 又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正确,不符合题意; 当=5时,= (-,,-), 从而=(-,,),又·=(-1,0,1)·(-1,,-1)=0,所以A1C⊥AD1, ·=(-,,)·(-1,,-1)=0,所以A1C⊥AP,因为AD1∩AP=A,AD1,AP⊂平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正确,不符合题意. 【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M(0,0,), 设P(x,y,0),-1≤x≤1,-1≤y≤1,则=(0,1,),=(x,y,-). 由于AM⊥MP,所以(0,1,)·(x,y,-)=0,即y=,此为P点的 轨迹方程,其在底面圆内的长度为2=. 14.(10分)(2024·长沙模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=90°,AB=2,CD=AD=1,N是PB的中点,点M,Q分别在线段PD与AP上,且=λ,=μ. (1)若平面MNQ∥平面ABCD,求λ,μ的值; 则=(0,2,-2),=(1,1,-2), 设平面PBC的法向量为t=(x,y,z),则 取y=1,可得t=(1,1,1). 因为=λ,=μ, 所以M(,0,),Q(0,0,), 则=(-,0,-), 因为MQ∥平面PBC,所以⊥t,即·t=0, 所以(-)×1+0×1+(-)×1=0,即-=0, 所以=0,所以μ=1+2λ, 所以==4λ++4≥2+4=8, 当且仅当4λ=,即λ=时取等号,所以的最小值为8. 即=(1,-1,-1), 平面PAB的一个法向量为=(1,0,0), 设直线PC与平面PAB所成的角为θ, 则sin θ=|cos<,>|==,即cos θ==,则所求直线PC与平面ABP所成角的余弦值为; 【解析】(3)线段PA上存在点E,且当=时,使得PC∥平面EBD,证明如下: 由==(0,,-),得E(0,,),则=(0,-,-),=(1,1,0), 设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),则 ,即,取y=-1,则x=1,z=2,即n=(1,-1,2),又·n=1×1+(-1)×(-1)+(-1)×2=0,所以⊥n, 又因为PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD,即点E满足=时,有PC∥平面EBD. 【解析】选C.以D为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,设P(a,b,1),M(0,1,t)(0≤t≤1), 则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),则=(a-1,b,1),=(-1,-1,1),=(0,-1,1-t), 因为AP⊥平面MBD1,所以AP⊥BD1,AP⊥MD1, 即, 解得, 所以=(t,1-t,1),所以==, 又0≤t≤1,所以当t=时,即M是CC1的中点时,取得最小值, 当t=0或1,即M与点C或C1重合时,取得最大值,所以线段AP长度的 取值范围为[,]. 16.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是侧面BB1C1C内的一个动点.若点E满足⊥,则||的最大值为________,最小值为________.  【解析】如图,建立空间直角坐标系,则C(0,2,0),D1(0,0,2),B(2,2,0), 设E(x,2,z),x∈[0,2],z∈[0,2], 所以=(x,2,z-2),=(x,0,z), 因为⊥, 所以·=x2+z(z-2)=0, 即x2+(z-1)2=1,x∈[0,2],z∈[0,2], 则动点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心,1为半径的半圆, 将其放到平面直角坐标系中如图所示,则B(2,0),M(0,1),N(0,2), 所以||==, 所以||min=-1; 显然当点E在点N处(即立体图形中的C1点)时,||取得最大值, ||max==2, 因此,||的最大值为2,最小值为-1. $