核心素养测评(第7章 第42节 空间向量的运算及其坐标表示)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦空间向量的运算及其坐标表示，覆盖线性运算、数量积、坐标表示及空间几何体中的向量应用等核心考点，对接高考评价体系，分析各考点权重，归纳单选（如坐标运算）、多选（如共线共面判断）、解答题（如几何体数量积计算）等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于分层训练与核心素养培养，通过基础过关练夯实运算能力，能力提升练强化空间观念，如长方体中向量数量积用基底拆分法解析，培养数学思维。创新思维练结合真题级情境，指导坐标法简化运算等应试技巧，帮助学生高效突破考点，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

核心素养测评　 (时间:45分钟　分值:90分) 四十六 空间向量的运算及其坐标表示 【基础过关练】 一、单选题 1.(5分)已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c=(　　) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 【解析】选B.由b=c-2a得,c=4a+2b, 又4a+2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)=(0,6,-20),所以c=(0,6,-20). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(5分)向量a=(-1,3,x),b=(3,y,-1),若=,a⊥b,则x+y的值为 (　　) A.-3 B.-1 C.0 D.1 【解析】选D.因为==,则x=0,即a=(-1,3,0), 又a⊥b,则a·b=0,即-1×3+3y=0,所以y=1,则x+y=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(5分)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ= (　　) A.2　　B.-2　　C.-2或　　D.2或- 【解析】选C.由题意,向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),得cos<a,b>===, 解得λ=-2或λ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【变式备选】 已知空间向量a=(1,0,1),b=(1,1,n),且a·b=3,则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意,a·b=1+0+n=3,解得n=2, 又|a|==,|b|==,所以cos<a,b>===, 又<a,b>∈[0,π], 所以a与b的夹角为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(5分)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 (　　) A. B. C.1 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(5分)已知空间向量a=(1,-1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,m)共面,则实数m=______________.  【解析】设c=xa+yb, 即(1,2,m)=x(1,-1,0)+y(0,1,1), 故,解得m=y=3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求a与b夹角的余弦值. 【解析】(2)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又==,==, 所以cos<a,b>===-.所以a与b夹角的余弦值为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【能力提升练】 11.(5分)斗拱是中国建筑上特有的构件,是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分,用于支撑上部突出的屋檐,其简化结构如图所示,其中OB,OC,OD是两两互相垂直的线段,OA为斗拱,满足OB=OC=OD,且∠AOB,∠AOC和∠AOD都为钝角. A.- B.- C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(5分)(多选题)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1, ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,动点P在直线CD1上运动,以下四个命题正确的 是 (　　) A.BD⊥AP B.四棱锥P-ABB1A1的体积是定值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2a+c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; 【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【创新思维练】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=1,则·=(　　) A.1 B.2 C.3 D. 【解析】选A.由长方体的性质可知AD⊥AB, AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1, =++, 所以·=(++)· =·+·+· =0++0=1. 【解析】选D.因为=++, 所以||2=+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=. 二、多选题 6.(5分)下列关于空间向量的命题中,正确的有 (　　) A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a∥b B.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c C.若,,是空间的一组基底,且=++,则A,B,C,D四点共面 D.若向量a+b,b+c,c+a是空间的一组基底,则a,b,c也是空间的一组基底 【解析】选ACD.对于A,若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a,b为共线向量,即a∥b,故A正确; 对于B,若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则a与c不一定共线,故B错误; 对于C,若,,是空间的一组基底,且=++, 则-=(-)+(-),即=+, 可得A,B,C,D四点共面,故C正确; 对于D,若向量a+b,b+c,c+a是空间的一组基底, 则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x,y,z), 使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c, 则a,b,c也是空间的一组基底,故D正确. 7.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是棱AB,AD,AA1上的点,则一定成立的是 (　　) A.|++|2=||2+||2+||2 B.|++|=|--| C.(++)·=0 D.·+·+·=0 【解析】选ABD.如图,由已知可得,·=0,·=0,·=0. 对于A项,|++|2 =||2+||2+||2+2·+2·+2· =||2+||2+||2,故A项正确; 对于B项,因为|--|2 =||2+||2+||2-2·+2·-2· =||2+||2+||2=|++|2, 所以|++|=|--|,故B项正确; 对于C项,因为=-,所以(++)· =(++)·(-)=-,当≠时,显然有-≠0,故C项错误; 对于D项,因为=-,=-,=-, 所以·+·+· =·(-)+·(-)+·(-)=0,故D项正确. 9.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点G,E,D分别是A1B1,CC1,AC的中点,点F是棱AB上的点.若·=-1,则线段DF的长度为________.  【解析】以A 为坐标原点,,,的方向分别为x 轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则G(1,0,2),E(0,2,1),D(0,1,0),=(-1,1,-2), 因为点F是棱AB上的点, 所以可设F(a,0,0),0≤a≤2, 则=(a,-2,-1),因为·=-1, 所以-a-2+2=-1,解得a=1, 所以F(1,0,0), 因此DF==. 四、解答题 10.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)若=3,且c∥,求c; 【解析】(1)因为c∥,所以c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m). 所以==3=3.所以m=±1. 所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). 若cos<,>=-,cos<,>=-,则cos<,>= (　　) 【解析】选D.以O为原点,以OB,OC,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OB=OC=OD=1,可得B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1), 所以=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1).设点A(a,b,c), 可得=(a,b,c), 则==t,由cos<,>===-, 可得a=-t, 由cos<,>===-,可得b=-t,所以c=-=-t, 即=-t,-t,-t,所以cos<,>===-. C.若M为BC的中点,则=2- D.·的最小值为- 【解析】选BCD.对于A,假设BD⊥AP,则BD⊥平面ACD1, 因为AC⊂平面ACD1,所以BD⊥AC,则四边形ABCD是菱形,AB=AD,故A错误; 对于B,由平行六面体ABCD-A1B1C1D1得CD1∥平面ABB1A1,所以四棱锥P-ABB1A1的底面积和高都是定值,所以体积是定值,故B正确; 对于C,=++,=+,故2-=-=,故C正确; 对于D,设=λ, ·=(++)· =(λ--)·λ=(λ--)·λ =(λ-λ--)·(λ-λ) =λ(λ-1)||2-λ2·-λ·-λ(λ-1)·+λ2||2+λ· =λ(λ-1)||2-(2λ2-λ)·-λ·+λ2||2+λ· =λ(λ-1)×4-(2λ2-λ)×4cos 60°-λ×2cos 60°+4λ2+λ·2cos 60° =4λ2-2λ=(2λ-)2-≥-, 当且仅当λ=时,等号成立, 所以·的最小值为-,故D正确. 【变式备选】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,且满足=x+y+(1-x-y), 则||的最小值是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.因为=x+y+(1-x-y), 由空间向量的共面定理可知,点E,A,C,D1四点共面,即点E在平面ACD1上, 所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离为d,由正方体的棱长为1,可得△ACD1是边长为的等边三角形,则=×()2×sin =,S△ACD=×1×1=, 由等体积法得=, 所以××d=××1, 解得d=,所以||的最小值为. 13.(5分)(2024·永州模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,P为DD1的中点,过PB的平面α分别与棱AA1,CC1交于点E,F,且AE=CF,则+=________(用a,b,c表示).  【解析】如图所示:由题意不妨设Q,R,E,F分别为AA1,CC1,QA,RC的中点,容易证明四边形PEBF是平行四边形,即平面PEBF为符合题意的平面α, 因此+=(+)+(+) =(--+)+(-+), 又因为=,-=--,=+, 且=,=, 所以+=(--+)+(--++) =-2+=-2a+c. (2)在直线AB上是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点) 【解析】(2)令=t(t∈R), 所以=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,则·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 解得t=.因此存在点E,使得⊥b, 此时E点的坐标为. 15.(5分)在四面体ABCD中,△BCD是边长为2的等边三角形,O是△BCD内一点,四面体ABCD的体积为2,则对∀x,y∈R,|-x-y|的最小值是 (　　) A.2 B. C. D.6 【解析】选D.设=x+y,由共面向量定理得点E为平面BCD内任意一点, 且-x-y=-=, 所以=, 求|-x-y|的最小值,即求点A到平面BCD的距离,设点A到平面BCD的距离为h, 由题意知S△BCD=×2×2sin=, 四面体ABCD的体积V=S△BCD·h=2, 解得h=6,故所求最小值为6. 16.(5分)(多选题)棱长为6的正四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上,若点M为球面上的任意一点,则·-(+)·的取值可以为 (　　) A.-2 B.3 C.5 D.9 【解析】选ABC.将正四面体ABCD放到正方体中,记AB的中点为点N,连接ON,如图,设正方体的棱长为a,则a=6,故a=3, 所以ON=a=,易知正方体的体对角线就是正四面体ABCD外接球O的直径, 则2OM=a=3,即OM=, 因为=+,=+=-,NA=AB=3, 所以·=(+)(-)=-=-32=-, +=-++=2,记<,>=θ,0≤θ≤π, 所以·-(+)·=--2·=--2· - 1 - cos θ=--2××cos θ=--9cos θ,因为-1≤cos θ≤1, 所以--9≤--9cos θ≤-+9, 则--9≤·-(+)·≤-+9,经检验,A,B,C均满足要求,D不满足 要求. - 1 - $