第7章 第42节 空间向量的运算及其坐标表示(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量的运算及其坐标表示”专题，依据高考评价体系明确空间直角坐标系、向量概念及运算等核心考查要求，通过知识梳理与考题分析，归纳线性运算、共线共面判定、数量积应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础落实+考点突破+真题变式”的分层设计，通过易错辨析（如空间向量共面判断）和课本改编题（如向量垂直求参数），培养学生数学思维与运算能力。思维升华部分总结用已知向量表示未知向量的关键步骤，助力学生掌握得分技巧，为教师高效复习教学提供系统指导。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第42节　空间向量的运算及其坐标表示 考试要求 考题分析 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式. 2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义. 3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.空间向量有关概念 (1)单位向量:模为__的向量. (2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量. (3)共面向量:平行于_______平面的向量. [注意点](1)零向量与任意向量平行; (2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量. 1 互相平行或重合 同一个 返回 2.空间向量有关定理 (1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使_____. (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使___________.叫做空间的一个_____. a=λb p=xa+yb+zc 基底 返回 3.空间向量有关运算 设a=,b=(b1,b2,b3), (1)坐标运算:则a+b=__________________; a-b=_______________; λa=________________. (2)数量积运算:a·b=|a||b|cos<a,b>=a1b1+a2b2+a3b3. [注意点]向量a在向量b方向上的投影向量:cos<a,b>·=·b. (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3),λ∈R 返回 4.空间向量有关公式 (1)空间两点间距离公式 已知P1,P2,则 =. (2)空间两点的中点公式 设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则. 返回 (3)空间向量共线与垂直公式 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0. a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R). (4)空间向量的模与夹角公式 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 |a|==; cos<a,b>==. 返回 返回 【知能自测】 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)空间中任意两个非零向量a,b共面. (　 　) (2)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c. (　 　) (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,4 1 3 √ × × √ 返回 2.(选择性必修一P22练习T2改编)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x=________.  【解析】因为a⊥b,所以a·b=-8-2+3x=0,解得x=. 答案: 【解析】因为P,A,B,C四点共面,所以++t=1,所以t=. 答案: 返回 返回 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　空间向量的线性运算 【例1】 A.-a+b+c B.a+b+c C.-a+b+c D.a+b+c 返回 返回 (2)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分 A.1 B. C. D. 返回 【解析】选A.连接AM,AN,因为G是MN的中点, 因为ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直棱柱, 所以四边形AA1B1B,BCC1B1,ACC1A1为长方形. 又因为M,N分别是A1C1,BB1的中点, 返回 所以可得,解得, 所以x+y+z=++=1. 返回 返回 思维升华 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 返回 返回 返回 【加练备选】 返回 返回 考点二　共线、共面向量的应用 【例2】(1)(2024·黄石模拟)已知向量a=(x,1,2),b=(-1,y,1),c=(2,-4,-2),若a,b,c互不共线,且a,b,c共面,则x为________.  【解析】令a=mb+nc, 即 令y=-,则n=-,m=,x=-2,经检验,可知a,b,c互不共线. 所以x为-2. 答案:-2 返回 返回 因为ND∩MN=N,所以M,N,D三点共线. 返回 思维升华 1.共线、共面向量定理的应用 (1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线; (2)向量共面可以用来判断直线与平面平行,四点共面; (3)根据向量共线和向量共面求参数取值; (4)与a同向的单位向量为,反向的单位向量为-,共线的单位向量为±. 返回 返回 对点训练 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是 (　　) A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2 【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa, 所以,解得或. 返回 返回 返回 【加练备选】 1.设x,y是实数,已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2)在同一条直线上,那么x+y等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 返回 2.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则 (　　) A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0 C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0 返回 返回 考点三　空间向量的数量积及应用 【例3】(1)如图是缠线用的线拐子,在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直,E,F分别为AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD,线拐子使用时将丝线从点A出发,依次经过D,B,C又回到点A,这样一直循环,丝线缠好后从线拐子上脱下,称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm,则丝线缠一圈长度为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.90 cm B.90 cm C.60 cm D.80 cm 返回 返回 (2)(多选题)(2025·合肥模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为线段A1C上的动点,则(　　) 返回 【解析】选BC.A选项:当P为A1C的中点时AP⊥CD1,理由如下:由题意可知,当P为A1C的中点时,AP⊂平面AB1C1D, 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD⊥平面CDD1C1,DC1⊥CD1, 因为CD1⊂平面CDD1C1,所以AD⊥CD1, 因为AD∩DC1=D,AD,DC1⊂平面AB1C1D,所以CD1⊥平面AB1C1D,因为AP⊂平面AB1C1D,所以AP⊥CD1,故A错误; 返回 返回 返回 思维升华 空间向量数量积的应用 返回 对点训练 1.(多选题)(2025·黔东南模拟)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均 为2,AB,AD,AA1两两所成夹角均为60°,点E,F分别在棱BB1,DD1上,且BE=2B1E,D1F=2DF,则(　　) 返回 【解析】选ABD. 对于A,在A1A上取点H,使得A1H=2HA,连接AE,C1F,B1H,C1E,AC1,HF,AF,因为AH=B1E,AH∥B1E,所以四边形AHB1E为平行四边形,可得AE=B1H.因为HF=B1C1,HF∥B1C1. 所以四边形HFC1B1为平行四边形,可得B1H∥C1F, 所以AE∥C1F,可得A,E,C1,F四点共面, 故A正确; 对于B,因为平行六面体棱长均为2,AB,AD, AA1两两所成夹角均为60°, 返回 返回 = 返回 2.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则∠BAC=___________,以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为___________.  返回 【加练备选】 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值为 (　　) A.1 B. C. D. 【解析】选D.(ka+b)·(2a-b)=2k|a|2-|b|2+(2-k)a·b=0, 因为a=(1,1,0),所以|a|2=2. 因为b=(-1,0,2),所以|b|2=5. a·b=-1, 所以4k-5-(2-k)=0,所以k=. 返回 返回 3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°. (1)求线段AC1的长; (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值; (3)证明:AA1⊥BD. 返回 返回 返回 【常用结论】 1.对空间任意一点O,若三点P,A,B满足=λ⇔=x+y(x+y=1)⇔P,A,B三点共线. 2.证明空间四点共面的方法 对空间任意一点O,若四点P,M,A,B满足=m+n⇔=x+y+z(x+y+z=1)⇔P,M,A,B四点共面. (4)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0. (　 　) 3.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=________.  4.(选择性必修一P7例2改编)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,则·=________,AC'的 长为________.  【解析】·=||·||·cos 60°=5×4×=10. 因为=+=++, 所以=(++)2=+++2(·+·+·) =16+9+25+2×(0+4×5×+3×5×)=85, 所以||=,即AC'的长为. 答案:10　 (1) 如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=OM,设 =a,=b,=c,则下列向量与相等的向量是(　　) 【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=OM,所以=-=-=×(+)- =+-=-a+b+c. 别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若=2x+y+z,则x+y+z=(　　) 所以=. 所以=+=+,=+=+, 则==+=++. 又因为=2x+y+z, [变式探究] 本例(1)中点N的位置改为“点N在上,且满足=2”,其他条件不变,如图,试用a,b,c表示. 【解析】由题意可得=-=(+)-=+-=-a+b+c. 对点训练 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: (1); (2); (3)+. 【解析】(1)因为P是C1D1的中点, 所以=++=a++=a+c+=a+c+b. (2)因为N是BC的中点, 所以=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c. (3)因为M是AA1的中点, 所以=+=+=-a+=a+b+c. 又=+=+=+ =c+a,所以+=+=a+b+c. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.则--=___________;用,,表示,则=______________.  【解析】--=-(+)=-=+=; 因为==(+). 所以=+=(+)+ =++. 答案:　++ (2)(2025·临沂模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱BB1,DD1,B1C1的中点,=2. ①试用,,表示,. ②证明:A,E,F,C1四点共面. ③证明:M,N,D三点共线. 【解析】①依题意可得=+=+,=+=+. ②连接AC.因为=+=++, 所以=+, 则,,共面,故A,E,F,C1四点共面. ③连接MN,ND. 因为=+=-=-=--, =+=-+=-(++)+=--, 所以=2, 则∥. 2.证明四点P,M,A,B共面的方法 (1)=x+y; (2)对空间任意一点O,=+x+y; (3)对空间任意一点O, =x+y+z(x+y+z=1); (4)∥或∥或∥. 2.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足 =k,=k(0≤k≤1). (1)向量是否与向量,共面? (2)直线MN是否与平面ABB1A1平行? 【解析】(1)因为=k,=k, 所以=++=k++k =k(+)+=k(+)+ =k+=-k=-k(+)=(1-k)-k, 所以由共面向量定理知向量与向量,共面. (2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合, MN在平面ABB1A1内. 当0<k≤1时,MN不在平面ABB1A1内, 又由(1)知与,共面, 所以MN∥平面ABB1A1. 【解析】选D.由已知可得=(1,-1,3),=(x-1,-2,y+4). 因为A,B,C三点共线,所以存在唯一的实数λ,使得=λ, 所以解得 所以x+y=5. 【解析】选A.因为A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R), 所以=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2). 因为A,B,C,D四点共面, 所以存在实数λ,μ使得=λ+μ, 即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2), 所以, 解得2x+y+z=1. 【解析】选C.依题意⊥,⊥,⊥, 所以·=0,·=0,·=0, 又=++, 所以==+++2·+2·+2·=152+302+152=152×6, 所以=15,同理可得===15, 所以丝线缠一圈长度为4×15=60(cm). A.不存在点P,使得AP⊥CD1 B.·的最小值为- C.当=时,⊥ D.若平面ABCD上的动点M满足∠MD1C=,则点M的轨迹是直线的一部分 B选项:设=λ,λ∈[0,1], 则=+=-+λ(-++)=(λ-1)-λ+λ, =+=+λ(-++)=(1-λ)+λ+λ, 所以·=λ(3λ-2),当λ=时,·取得最小值,最小值为-,故B正确; C选项:当=时,=--+,=++,·=--+=0,所以⊥,故C正确; D选项:如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C(0,1,0),设M(x,y,0),x∈[0,1],y∈[0,1],则=(x,y,-1), =(0,1,-1), 当平面ABCD上的动点M满足∠MD1C=时,cos<,>= ==, 整理得x2+=1,所以点M的轨迹为椭圆的一部分,故D错误. A.A,E,C1,F四点共面 B.在方向上的投影向量为 C.= D.直线AC1与EF所成角的余弦值为 所以=++,则=+++2·+2·+2·=24, 则=2,· = =,故B正确; 对于C,=-=+--=-+-, =++-2·+·-·=, 则=,故C错误; 对于D,cos<,>== ==-,故直线AC1与EF所成角的余弦值为,故D正确. 【解析】因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2), 所以=,=, 所以cos∠BAC===,所以∠BAC=60°, 平行四边形面积为2S△ABC=·sin∠BAC=××sin 60°=7. 答案:60°　7 2.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则λ的值 为(　　) A.± B. C.- D.± 【解析】选C.由于+λ=(1,-λ,λ),=(0,-1,1),则cos 120°==-,解得λ=±.经检验λ=不符合题意,舍去,所以λ=-. 【解析】(1)如图所示,设=a,=b,=c, 则|a|=|b|=1,|c|=2. a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1. 因为=++=a+b+c, 所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2. 所以||=. 即线段AC1的长为. (2)因为=a+b+c,=b-c, 所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2. 又||2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以||=. 所以cos<,>= ==-. 所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)因为=c,=b-a, 所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0. 所以⊥,即AA1⊥BD. $