第7章 第39节 空间点、直线、平面之间的位置关系(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面之间的位置关系”核心考点，依据新课标考试要求梳理四个基本事实、位置关系及等角定理，对接高考评价体系分析近三年新高考Ⅰ、Ⅱ卷考点分布，归纳共面证明、位置关系判断、异面直线所成角等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点探究+真题变式+思维升华”模式，如以2024日照模拟题为例解析直线与平面位置关系判断，用平移法、坐标法突破异面直线所成角计算，培养学生空间观念与推理能力，助力掌握得分技巧，教师可据此高效开展针对性复习。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第39节　空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求 考题分析 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.四个基本事实 基本 事实1 文字语言 过不在__________上的三个点,有且只有一个平面. 符号语言 符号:A,B,C三点________⇒存在唯一的α,使A,B,C∈α. 基本 事实2 文字语言 如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在 这个平面内. 符号语言 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____. 一条直线 不共线 两个点 l⊂α 返回 基本 事实3 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 ______________过该点的公共直线. 符号语言 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且_____. 基本 事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线______. 符号语言 a∥b,b∥c⇒_____. 有且只有一条 P∈l 平行 a∥c 返回 2.基本事实的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面. 外 相交 平行 返回 3.空间直线、平面之间的位置关系 项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 返回 项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面 其他关系 图形语言 - 符号语言 a,b是异面直线 a⊂α - 返回 [注意点] (1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面 相交两种情况. (2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线 与直线异面两种情况. 返回 4.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等或______. 5.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b, 把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:. [注意点]两异面直线所成的角,归结到一个三角形内角时,容易忽视这个三角形 的内角可以等于两异面直线所成的角,也就可以等于其补角. 对应平行 互补 返回 【常用结论】 1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (2)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么b与c不可能是平行直线.( ) (5)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( ) × × × √ × 返回 2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1成异面直线的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.与直线BC1成异面直线的有A1B1,AC,AA1,共3条. 返回 3.(必修第二册P148练习T3变式)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=AD=AA1,E是棱DD1的中点,则直线A1C1与AE所成的角的大小为________.  【解析】如图,连接AC,EC,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 显然A1C1∥AC,则∠EAC为直线A1C1与AE所成的角, 由E为DD1的中点,且AD=AA1,则DE=AD=DC, 即AC=AE=CE,故△ACE为等边三角形,则∠EAC=. 答案: 返回 4.(必修第二册P134例1变式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件______________时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件______________时,四边形EFGH为正方形.  返回 【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形, 所以EF=EH,因为EF=AC,EH=BD,所以AC=BD. (2)因为四边形EFGH为正方形, 所以EF=EH且EF⊥EH. 因为EF∥AC,EH∥BD, 且EF=AC,EH=BD, 所以AC=BD且AC⊥BD. 答案:(1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　基本事实及其应用 【例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P, A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 返回 【证明】(1)因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. 返回 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面AA1C1C为α、平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点. 同理,P也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ, 故P,Q,R三点共线. (3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1, 同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1, 所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点M. 返回 思维升华 1.点、线共面的判断方法 (1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. (3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 返回 2.证明空间点共线问题的方法 (1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 返回 对点训练 如图,已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点, G,H分别在CD和AD上,且满足==2.求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EH,FG,BD三线交于一点. 返回 【证明】(1)因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC.又因为=,所以GH∥AC.所以EF∥GH, 所以E,F,G,H四点在同一平面内,即E,F,G,H四点共面. (2)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,EF=AC. 由题意知==2,HG∥AC,HG=AC,所以四边形EFGH为梯形,直线EH和FG必相交,设交点为M,即EH∩FG=M,因为EH⊂平面ABD,所以点M∈平面ABD, 同理可得点M∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD, 所以点M∈BD,所以EH,FG,BD三线交于一点. 返回 【加练备选】 已知空间中不过同一点的三条直线a,b,l,则“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 返回 【解析】选A.空间中不过同一点的三条直线a,b,l,若a,b,l共面,则a,b,l两两相交,或a,b,l有两条直线平行另一条直线与之相交,或三条直线两两平行,所以必要性不成立.若a,b,l两两相交,则a,b,l共面,充分性成立.故“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的充分不必要条件. 返回 考点二　空间位置关系的判断 【例2】(1)(2024·日照模拟)已知l,m是两条不同的直线,α为平面,m⊂α,下列说法中正确的是(　　) A.若l与α不平行,则l与m一定是异面直线 B.若l∥α,则l与m可能垂直 C.若l∩α=A,且A∉m,则l与m可能平行 D.若l∩α=A,且l与α不垂直,则l与m一定不垂直 返回 【解析】选B.对于选项A:若l与α不平行,则l与α的位置关系为相交或直线在平面内, 且m⊂α,则l与m的位置关系为平行、相交或异面,故A错误; 对于选项B:若l∥α,则l与m可能垂直, 如图所示,l∥l',l'⊂α,l'⊥m,可得l⊥m,故B正确; 对于选项C:若l∩α=A,且A∉m,m⊂α,则l与m异面,故C错误; 对于选项D:若l∩α=A,且l与α不垂直,则l与m可能垂直, 如图,取平面ABCD为α,l=AD1,m=AB, 符合题意,但l⊥m,故D错误. 返回 (2)(2025·大理州模拟)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则(　　) A.直线HE与直线GF是异面直线 B.直线HE与直线BB1是异面直线 C.直线HE与直线CC1共面 D.直线HE与直线BF共面 返回 【解析】选C.延长AA1,BB1,CC1,DD1,由正四棱台的性质可得侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的延长线交于同一点,设该交点为P.E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,延长HE,GF,则HE, GF的延长线必过点P,则直线HE与直线GF 相交于点P;与直线BB1相交于点P;与直线CC1 相交于点P;与直线BF是异面直线. 返回 思维升华 1.判断点、线、面位置关系的策略 构造几何体(如:长方体、正方体)模型,在简单、熟悉的模型中直观感知并判定空间点、线、面的位置关系. 返回 2.两直线位置关系的判断 返回 对点训练 (多选题)(2024·重庆名校联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时,下列直线中一定与直线OP异面的是(　　) A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1 返回 【解析】选BCD.对于A,如图①,连接AB1,C1D,BD, 当P为BC1的中点时,OP∥DC1∥AB1,故A不符合题意; 对于B,如图②,连接A1C,A1C1,AC,因为A1C⊂平面 AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1C,P∉平面AA1C1C, 所以直线A1C与直线OP一定是异面直线,故B符合题意; 对于C,如图②,因为A1A⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C, O∉A1A,P∉平面AA1C1C,所以直线A1A与直线OP一定是异 面直线,故C符合题意; 对于D,如图③,连接AD1,D1C,AC, 因为AD1⊂平面AD1C,O∈平面AD1C,O∉AD1,P∉平面AD1C, 所以直线AD1与直线OP一定是异面直线,故D符合题意. 返回 【加练备选】 如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)  返回 【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH与MN异面. 答案:②④ 返回 考点三　异面直线所成的角 【例3】(一题多法)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选C.法一(平移法):如图,连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM.易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2, DM==,DB1==, 所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理, 得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 返回 法二(补体法):如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A'B'BA-A'1B'1B1A1.连接B1B',由长方体性质可知,B1B'∥AD1,所以∠DB1B'为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB',由题意,得DB'==,B'B1==2,DB1==. 在△DB'B1中,由余弦定理, 得DB'2=B'+D-2B'B1·DB1·cos∠DB1B', 即5=4+5-2×2cos∠DB1B', 所以cos ∠DB1B'=. 返回 返回 [变式探究] 若将本例中条件“AA1=”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,则线段AA1的长度为________.  【解析】设AA1=t,因为AB=BC=1,所以A1C1=,A1B=BC1=.所以cos∠A1BC1===.解得t=3,则AA1=3. 答案:3 返回 思维升华 平移法求异面直线所成角的步骤 一作:用三角形中位线、平行四边形性质等作平行线,依据定义作出异面直线所成的角; 二证:证明作出的角是异面直线所成的角; 三求:解三角形,求出所作的角. [提醒]如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 返回 对点训练 (2024·呼和浩特模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- 返回 【解析】选C.连接AC,取AC的中点O,连接BO,EO,设PC=2, 由题意知,EO∥PC, 则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角), 在△BOE中,EO=PC=1,OB=AC=,BE=PA=, 则cos∠BEO===, 则异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 返回 【加练备选】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选D.设AB=2,取A1B1的中点F,连接C1F,DF,DE,则B1F=A1B1, 因为D,E分别为AC,BC的中点,所以DE∥AB,DE=AB, 因为A1B1∥AB,A1B1=AB,所以DE∥B1F,B1F=DE, 所以四边形DEB1F为平行四边形,所以DF∥B1E, 所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角. 因为AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分别为AC,BC的中点, 所以DF=B1E==,C1F==,C1D==, 所以cos∠C1DF===. 返回 法三(坐标法):以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示. 由条件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),则由向量夹角公式,得cos <,>===,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. $