第2章 第11节 指数与指数函数(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第11节　指数与指数函数 考试要求 考题分析 1.通过对有理数指数幂(a>0,m,n为正整数,且n>1)、实数指数幂ax(a>0,x∈R)含义的理解,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①()n=___(a使有意义); ②当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=___=__________. a |a| 返回 (2)分数指数幂的意义 ①=_______(a>0,m,n∈N*,且n>1); ②==(a>0,m,n∈N*,且n>1); ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂__________. (3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=____,(ar)s=____,(ab)r=_____(其中a>0,b>0,r,s∈Q). [注意点]化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数. 没有意义 ar+s ars arbr 返回 2.指数函数的图象与性质 ` 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域:___ 值域:_______ 过定点_____ 当x>0时,_______;当x<0时,_____ 当x>0时,_____;当x<0时,_______ 在R上是____函数 在R上是____函数 R (0,+∞) (0,1) 0<y<1 y>1 y>1 0<y<1 减 增 返回 [注意点](1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,). (2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0<a<1两种情况. 返回 【常用结论】 1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a), (-1,). 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象, 底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,3 4 返回 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　) (2)函数y=是指数函数.(　　) (3)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) (4)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) 返回 【解析】 (1) 当<1时,不可以. × (2) 由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=不是指数函数. × (3) m与n的大小关系与a的取值有关. × (4) 由于x2+1≥1,又a>1,所以≥a.故y=(a>1)的值域是[a,+∞) × 返回 2.(必修第一册P109T1改编)下列运算正确的是(　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 【解析】选C.对于A,2-π<0,所以=π-2,错误;对于B,因为->0,所以a<0,则 a=-(-a)·=-,错误;对于C,==,正确;对于D, (==x7,错误. 返回 3.已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 【解析】选D.令t=2x(t>0),则y=t2-3t+3=+,其图象的对称轴为直线t=.当x∈[2,4]时,t∈[4,16],此时y∈[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]时,t∈(0,1],此时y∈[1,3),不满足题意;当x∈(0,1]∪[2,4]时,t∈(1,2]∪[4,16],此时y∈[,1]∪[7,211],不满足题意;当x∈(-∞,0]∪[1,2]时,t∈(0,1]∪[2,4],此时y∈[1,7],满足题意. 返回 4.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点的坐标为________.  【解析】令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4). 答案:(4,4) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　指数幂的运算 【例1】(1)(多选题)下列运算正确的是(　　) A.=m7·(m>0,n>0) B.== C.=(x+y(x>0,y>0) D.= 返回 【解析】选BD.=m7·n-7(m>0,n>0),故A错误;==,故B正确;与(x+y=不同,故C错误;====,故D正确. 返回 (2)计算: ()·=________(a>0,b>0).  【解析】原式==. 答案: 返回 (3)已知a2x=5,则=________.  【解析】= =+1+=5+1+=. 答案: 返回 【思维升华】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 返回 【对点训练】 1.已知x<0,y>0,化简:=(　　)　　　 A.-x2y B.x2y C.-3x2y D.3x2y 【解析】选B.由题意得==x2·|y|=x2y. 返回 2.计算:(-1.8)0+()-2·-+=________.  【解析】(-1.8)0+()-2·-+ =1+·-10+ =1+()2·()2-10+33 =1+1-10+27=19. 答案:19 返回 3.若+=3(x>0),则x2+x-2-2=________.  【解析】由+=3,两边平方,得x+x-1=7,再平方得x2+x-2=47,所以x2+x-2-2=45. 答案:45 返回 考点二　指数函数的图象及应用 【例2】(1)函数f(x)= ()|x+2|的部分图象大致为(　　) 【解析】选B.由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥-2时,f(x)= ()x+2, 因为0<<1,所以f(x)在[-2,+∞)上单调递减,排除A. 返回 (2)(一题多变)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为_____.  【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示. 由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0]. 答案:(-∞,0] 返回 [变式探究] 1.(变条件、变设问)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是________.  【解析】曲线y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.作出直线y=m和曲线y=|3x-1|的图象如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1). 答案:(0,1) 返回 2.(变条件、变设问)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是________.  【解析】作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1]. 答案:(-∞,-1] 返回 【思维升华】 有关指数型函数问题的解题思路 (1)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 返回 【对点训练】 1.(多选题)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是(　　) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 【解析】选ABD.如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0. 返回 2.若存在正数x使ex(x+a)<1成立,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,+∞) B.(-∞,1) C. (-∞, ()-1) D.(-∞,-1) 【解析】选B.由题设知,∃x>0,使x+a<成立,令y=x+a,y1=,所以当x>0时有y1=e-x∈(0,1),而y=x+a∈(a,+∞),所以当a<1时,∃x>0,使得ex(x+a)<1成立. 返回 考点三　指数函数的性质的应用 角度1　比较指数幂大小 【例3】(一题多法)(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 返回 【解析】选D.法一:因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0, 所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1; 因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1. 综上,b>a>c. 法二:因为函数f(x)=1.01x是增函数, 且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a; 因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5, 即a>c.综上,b>a>c. 返回 【思维升华】 比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小; (2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 返回 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例4】(1)已知函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称,且函数f(x)的最小值为1,则不等式f(x)≥2 024的解集为(　　) A.{x|0<x≤4} B.{x|x≥4或x<0} C.{x|0≤x≤4} D.{x|x≥4或x≤0} 【解题导思】先通过f(2-x)=f(2+x)求出a,b的关系,再根据函数f(x)的最小值为1可求出a,代入f(x),直接解不等式f(x)≥2 024即可. 返回 【解析】选D.因为函数f(x)=2 02(a≠0)的图象关于直线x=2对称, 所以f(2-x)=f(2+x),即2 02=2恒成立,即 a(2-x)2+b(2-x)+1=a(2+x)2+b(2+x)+1恒成立,即(4a+b)x=0恒成立,所以b+4a=0,即 b=-4a,所以f(x)=2 02=2 02.又因为函数f(x)有最小值为 1,所以a>0且f(2)=1,即2 02=1,所以1-4a=0,即a=,所以f(x)=2 02. 所以不等式f(x)≥2 024,即2 02≥2 024,即(x-2)2≥1,解得x≥4或x≤0. 返回 (2)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.  【解析】①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=2 a-(a-1),即=2,所以2-2a=1,解得a=; ②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)得4a-1=2 a-(1-a),即=,所以2a-2=2a-1,无解. 综上可知,a=. 答案: 返回 【思维升华】 简单的指数方程或不等式求解的基本方法:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解. 返回 角度3　指数函数性质的综合应用 【例5】已知函数f(x)=(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)-mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 返回 【解析】(1)f(x)=×2x+, 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以×+2x=-(×2x+), 所以(+1)(2x+)=0, 即+1=0,解得a=-1. 返回 (2)因为f(x)=-2x,x∈[1,2], 所以-≥m(-2x), 所以m≥+2x,x∈[1,2], 令t=2x,t∈[2,4], 由于y=t+在[2,4]上单调递增, 所以m≥4+=. 故实数m的取值范围是[,+∞). 返回 【思维升华】 求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,当涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 返回 【对点训练】 1.(一题多法)(2025·福州模拟)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【解析】选D.法一:由指数函数y=0.3x在定义域内单调递减,得a<b,由幂函数y=x0.5在定义域内单调递增,得c>b.综上c>b>a. 法二:因为=0.30.1<1,且=()0.5<1,又a,b,c都为正数,所以c>b>a. 返回 2.(2024·沧衡八校联盟)已知函数f(x)=ex-,若f(a-2)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是________.  【解析】因为f(x)=ex-,定义域为R,f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),所以f(x)=ex-为奇函数.又因为f(x)=ex-在R上为增函数,所以f(a-2)+f(a2)≤0⇒f(a-2)≤-f(a2)⇒ f(a-2)≤f(-a2),即a-2≤-a2,a2+a-2≤0,解得-2≤a≤1. 答案:[-2,1] 返回 3.已知函数f(x)= (). (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求实数a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值. 返回 【解析】(1)当a=-1时,f(x)= (), 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u=-(x+2)2+7在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y=()u在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). 返回 (2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)= ()h(x), 因为f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,y=ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0. 返回 $