第2章 第10节 二次函数与幂函数(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦二次函数与幂函数核心考点，依据考试要求系统梳理幂函数定义、图象性质及二次函数解析式、图象与性质，通过近三年新高考真题分析考点分布，归纳幂函数解析式求解、二次函数最值等常考题型，精准对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+解题策略+素养提升”，如以幂函数单调性判断、二次函数解析式求法为例，运用数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）总结“定义法判定幂函数”“分类讨论求二次函数最值”等技巧，帮助学生掌握得分要点，教师可据此高效指导复习冲刺。

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第10节　二次函数与幂函数 考试要求 考题分析 1.了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数_____叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 y=xα 返回 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. [注意点](1)幂函数y=xα在第一象限的两个重要结论: ①恒过点(1,1);②当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大. (2)两个幂函数的图象最多只有3个交点(如y=x,y=x3的图象). (3)研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般将其先化为根式,再求解. 返回 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=______________. (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为______. (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. ax2+bx+c(a≠0) (m,n) 返回 3.二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 __ 值域 [,+∞) (-∞,] R 返回 对称轴 x=____ 顶点坐标 ___________ 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时 是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上是____函数; 在(-,+∞)上是____函数 在(-∞,-]上是____函数; 在(-,+∞)上是____函数 - (-,) 减 增 增 减 返回 [注意点]对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 返回 【常用结论】 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限;幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性:b=0时,二次函数为偶函数. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,4 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=2是幂函数.( 　 ) 【解析】(1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2不是幂函数,故(1)错误. × 返回 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　 　) (3)若二次函数y=ax2+bx+c的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　 　) 【解析】(3)二次函数y=x2-x与y=2x2-2x零点相同,但解析式不同,故(3)错误. (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[m,n])的最值一定是.(　 　) 【解析】(4)当对称轴x=-∉[m,n]时,最值则不是,故(4)错误. √ × × 返回 2.(必修第一册P91练习T1变条件、变设问)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　　) A. B.1 C. D.2 【解析】选C.由题意得k=1,又函数f(x)的图象过点(,),所以=,解得α=, 则k+α=. 返回 3.若幂函数f(x)=(a2-5a-5)在(0,+∞)上单调递增,则a等于(　　) A.1 B.6 C.2 D.-1 【解析】选D.因为函数f(x)=(a2-5a-5)是幂函数,所以a2-5a-5=1,解得a=-1或a=6. 当a=-1时,f(x)=在(0,+∞)上单调递增; 当a=6时,f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以a=-1. 返回 4.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围 是(　　) A. (-,+∞) B.[-,+∞) C. [-,0) D. [-,0] 【解析】选D.当a=0时,f(x)=2x-3,在(-∞,4)上是单调递增的.当a≠0时,二次函数 f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0, 综上,-≤a≤0. 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　幂函数的图象和性质 【例1】(1)已知幂函数f(x)=(m2+m-5)在区间(0,+∞)上单调递增,则f(3)等于(　　) A.27 B.9 C. D. 【解析】选A.由题意,得m2+m-5=1,即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3,当m=2时,可得函数f(x)=x3,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 当m=-3时,可得f(x)=x-2,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27. 返回 (2)幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限的图象如图所示, 则a,b,c,d的大小关系是(　　) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 【解析】选D.观察题中函数图象可知在(1,+∞)上,函数图象与x轴的距离由远及近为y=xb,y=xc,y=xd,y=xa, 所以其函数的指数的大小为b>c>d>a. 返回 【思维升华】 幂函数的图象和性质的解题策略 (1)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 返回 【对点训练】 1.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 【解析】选B.因为函数f(x)=mxn为幂函数,故m=1.又函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以()n=2,解得n=3,故函数f(x)=x3,则函数为增函数.因为n>m>ln 2,故c<a<b. 返回 2.已知函数f(x)=,则f(3x-1)<f(1+x2)的解集是_________________.  【解析】由于函数f(x)=是定义域在[0,+∞)上的增函数,所以 所以x>2或≤x<1. 答案:[,1)∪(2,+∞) 返回 考点二　二次函数的解析式 【例2】(1)(一题多法)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=______________.  返回 【解析】法一:利用二次函数的一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 返回 法二:利用二次函数的顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1), 所以抛物线对称轴为x==. 所以m=,又根据题意函数有最大值8, 所以n=8,所以y=f(x)=a(x-)2+8. 因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7. 返回 法三:利用二次函数的零点式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8, 即=8, 解得a=-4,故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 答案:-4x2+4x+7 返回 (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=________.  【解析】因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以f(x)的对称轴为x=2.又因为f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又因为f(x)的图象经过点(4,3),所以3a=3,a=1.所以所求二次函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 答案:x2-4x+3 返回 【思维升华】 求二次函数解析式的方法 返回 【对点训练】 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,则二次函数的解析式为________________________________________.  【解析】因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以可设二次函数为 y=a(x+3)(x-1)(a≠0),展开得y=ax2+2ax-3a,顶点的纵坐标为=-4a, 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2,所以|-4a|=2,即a=±, 所以二次函数的解析式为y=x2+x-或y=-x2-x+. 答案:y=x2+x-或y=-x2-x+ 返回 考点三　二次函数的图象和性质 角度1　二次函数的图象 【例3】(多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论,其中正确的为(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 返回 【解析】选AD.因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确. 对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,B错误. 结合题中图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误. 由对称轴为x=-1知,b=2a. 根据抛物线开口向下,知a<0, 所以5a<2a,即5a<b,D正确. 返回 【思维升华】 二次函数图象的特征 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 返回 角度2　二次函数的单调性 【例4】(1)(多选题)下列所给区间可以是函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调递增区间的是(　　) A.(-∞,-1] B.[0,1] C.[-1,0] D.[1,+∞) 返回 【解析】选AB.f(x)== 画出函数图象如图所示, 可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). 返回 (2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是________.  【解析】依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 答案:[0,2] 返回 【思维升华】 二次函数单调性问题的求解方法 (1)求解与二次函数有关的单调性问题,应根据二次函数图象的开口方向与对称轴确定单调区间. (2)涉及二次函数解析式中含|x|的单调区间问题,可以根据函数的奇偶性与单调区间的关系求解或转化为分段函数后求解. 返回 角度3　二次函数的最值 【例5】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为________.  【解析】函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2,所以a=-1. 当0≤a≤1时,f(x)max=f(a)=a2-a+1=2,所以a2-a-1=0,所以a=(舍去). 当a>1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2. 综上可知,a=-1或a=2. 答案:-1或2 返回 【思维升华】 二次函数在给定区间上的最值问题的解题策略 (1)一般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据对称轴方程x=h和所给区间结合图象求解. (2)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解. (3)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系. 返回 【对点训练】 1.(多选题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列说法正确的是(　　)　 　　　　　　　　　　 A.2a+b=0 B.4a+2b+c<0 C.9a+3b+c<0 D.abc<0 【解析】选ACD.由二次函数图象开口向下知a<0,对称轴为x=-=1,即2a+b=0,故b>0. 又因为f(0)=c>0,所以abc<0. f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0. 返回 2.已知函数f(x)=x2-tx-1. (1)若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围; (2)若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t). 返回 【解析】f(x)=x2-tx-1=(x-)2-1-. (1)依题意,-1<<2,解得-2<t<4, 所以实数t的取值范围是(-2,4). (2)①当≥2,即t≥4时,f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=3-2t. ②当-1<<2,即-2<t<4时,f(x)min=f()=-1-. ③当≤-1,即t≤-2时,f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=t. 综上,g(t)= 返回 $