第2章 第7节 函数的单调性与最值(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第7节　函数的单调性与最值 考试要求 考题分析 1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有__________,那么就称 函数f(x)在区间I上单调递增,特别地, 当函数f(x)在它的定义域上单调递增 时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有__________,那么就称 函数f(x)在区间I上单调递减,特别地, 当函数f(x)在它的定义域上单调递 减时,我们就称它是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 返回   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 返回 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上__________或__________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. [注意点]有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”. 单调递增 单调递减 返回 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有_______; (2)∃x0∈D,使得________ (1)∀x∈D,都有_______; (2)∃x0∈D,使得________ 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 返回 [注意点](1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到; (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 返回 【常用结论】 1.∀x1,x2∈I且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). 2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数. 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 4.复合函数的单调性:同增异减. 返回 5.(1)对勾函数y=x+(a>0)的单调性:在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减. (2)对勾函数y=ax+(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-]和[,+∞),单调递减区间为(-,0)和(0,). 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2 1,4 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　 　) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(　 　) (3)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　 　) (4)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 则函数f(x)在区间D上单调递增.(　 　) × × × √ 返回 2.(必修第一册P81例5变式)函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为________, 最大值为________.  【解析】由于f(x)=在[2,6]上单调递减,故f(x)的最小值为f(6)=,最大值为f(2)=2. 答案:　2 返回 3.函数f(x)=log2 (x2-4)的单调递增区间为________.  【解析】由x2-4>0得x<-2或x>2.又u=x2-4在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,y=log 2u单调递增,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞). 答案:(2,+∞) 返回 4.已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是________.  【解析】依题意得解得-1≤a<1. 答案:[-1,1) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　函数的单调区间 【例1】(1)(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.y=x- B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=lg (x+1) 【解析】选ACD.因为y=x与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;由y=|x2-2x|的图象(图略)知,B不正确;因为y'=2-2sin x≥0,所以y=2x+2cos x是R上的增函数,故C正确; 函数y=lg (x+1)是定义域为(-1,+∞)的增函数,故D正确. 返回 (2)函数g(x)=x·|x-1|+1的单调递减区间为(　　) A. (-∞,] B. [,1] C.[1,+∞) D. (-∞,]∪[1,+∞) 【解析】选B.g(x)=x·|x-1|+1= 画出函数图象,如图所示, 根据图象知,函数的单调递减区间为[,1]. 返回 (3)函数f(x)=的单调递减区间为________,单调递增区间为________.  【解析】因为3-2x-x2>0,所以-3<x<1. 由二次函数图象可知f(x)的单调递减区间为(-3,-1],单调递增区间为(-1,1). 答案:(-3,-1]　(-1,1) 返回 【对点训练】 1.(2025·唐山模拟)函数f(x)=(2x2-3x-2)的单调递增区间为________.  【解析】令t=2x2-3x-2>0,解得x>2或x<-,则f(x)的定义域为(-∞,-)∪(2,+∞), 由g(t)=t在(0,+∞)上单调递减,得到单调递增区间为(-∞,-). 答案: (-∞,-) 返回 2.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递增区间是________.  【解析】由题意知g(x)= 该函数图象如图所示, 其单调递增区间是(-∞,0),(1,+∞). 答案:(-∞,0),(1,+∞) 返回 考点二　利用定义证明函数的单调性 【例2】(一题多法)设函数f(x)=-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减. 返回 【证明】法一:设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=--2x1+2x2 =-2(x1-x2)=(x1-x2) (-2), 因为0≤x1<x2,所以<1. 所以(x1-x2) (-2)>0. 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减. 返回 法二:对f(x)=-2x求导, 得f'(x)=·-2=-2, 因为x≥0,所以<1,所以f'(x)<0. 故f(x)在[0,+∞)上单调递减. 返回 【思维升华】 判断函数的单调性的方法 定义法 一般步骤:设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性 导数法 先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调性 返回 【对点训练】 (一题多法)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 返回 【解析】法一(定义法): 设-1<x1<x2<1,因为f(x)=a()=a(1+),所以f(x1)-f(x2)= a (1+)-a(1+)=,由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时, f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 法二(导数法): f'(x)===-.故当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1) 上单调递减; 当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 返回 考点三　函数单调性的应用 角度1　比较函数值的大小 【例3】(2024·湘潭模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2), 有<0,则(　　) A.f(-2)<f(3)<f(4)　 B.f(-2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(-2) D.f(4)<f(-2)<f(3) 返回 【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减, 又f(x)为偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(2)<f(3)<f(4), 又f(-2)=f(2),所以f(-2)<f(3)<f(4). 返回 角度2　解函数不等式 【例4】已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是_________________.  【解析】因为函数f(x)=ln x+2x在定义域(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,由f(x2-4)<2,得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<. 答案:(-,-2)∪(2,) 返回 角度3　求参数的取值范围 【例5】已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围 是________.  【解析】因为函数f(x)=是R上的增函数,所以 解得0<a≤,所以实数a的取值范围是(0,]. 答案: (0,] 返回 【思维升华】 函数单调性的应用 (1)比较大小:利用单调性可以比较函数值的大小,但需将各自变量的值化到同一单调区间上. (2)解不等式:利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域. (3)求参数:利用单调性求参数时,把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 返回 【对点训练】 1.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【解析】选D.易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增,又>>>1, 故f()>f()>f(),即c>b>a. 返回 2.已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是(　　) A.(-2,1) B.(0,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(1,+∞) 【解析】选C.由函数f(x)=的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数,则不等式f(x+2)<f(x2+2x)等价于x+2<x2+2x,即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2,则原不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞). 返回 3.若函数f(x)=在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________.  【解析】f(x)===1+,因为f(x)在(a,+∞)上单调递增, 所以⇒1≤a<2. 答案:[1,2) 返回 【加练备选】 已知函数f(x)=满足:对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有>0成立,则实数a的取值范围是(　　) A.[2,+∞)　 B. (,2]　 C. (,1]　 D.[1,2] 返回 【解析】选C.对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有>0成立,所以函数f(x)=在R上是增函数,所以 解得<a≤1,所以实数a的取值范围是(,1]. 返回 微进阶　函数的值域、最值问题的解法 函数的值域、最值问题的解法 (1)配方法:形如函数y=a[f(x)]2+bf(x)+c的最值问题,可以考虑用配方法; (2)单调性法:求函数值域时,如果能够先判断函数的单调性,可以利用函数在给定区间上的单调性求值域; (3)分离常数法:对于形如y=的函数,可以变形为y=m±的形式,再利用反比例函数的性质求值域; 返回 (4)换元法:对于形如y=ax±b±的无理函数,可以通过换元消去根式,转化为求有理函数的值域,间接地求解原函数的值域; (5)不等式法:通过对函数解析式变形,利用基本不等式求最值,进而求得值域; (6)数形结合法:对于分段函数,其值域是各分段区间上函数值范围的并集. 返回 [典例](1)(配方法)函数f(x)=x2-2x+3,x∈[0,3)的值域为________.  【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2(x∈[0,3)),其图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3)上单调递增,而f(0)=3,f(1)=2,f(3)=6,故其值域为[2,6). 答案:[2,6) 返回 (2)(单调性法)函数f(x)=x-(x∈[1,2])的最大值为________.  【解析】因为函数y=x,y=-在区间[1,2]上均单调递增,故函数f(x)在[1,2]上单调递增,当x∈[1,2]时,f(x)max=f(2)=2-1=1. 答案:1 返回 (3)(分离常数法)函数y=的值域为________.  【解析】y==+≠.故值域为{y|y≠}. 答案: {y|y≠} 返回 (4)(换元法)函数f(x)=2x-的值域为_________.  【解析】设t=,则x=t2+1,且t≥0,所以f(t)=2(t2+1)-t=2(t-)2+(t≥0), 其图象开口向上,对称轴为直线t=,所以f(t)在[0,]上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而当t=时,f(t)取得最小值,即f(t)min=,可得函数的值域为[,+∞). 答案: [,+∞) 返回 (5)(不等式法)若x≥,则函数f(x)=的最小值为________.  【解析】因为x≥,所以x-2>0,所以f(x)===+≥ 2=1,当且仅当=,即x=3时等号成立. 因为x=3在定义域内,所以最小值为1. 答案:1 返回 (6)(数形结合法)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3, g(x)=log 2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.  【解析】法一:图象法　在同一直角坐标系中,作函数f(x),g(x)的图象, 依题意,h(x)的图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的 最大值为h(2)=1. 法二(最值比较法):依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log 2x单调递增,当x>2时,h(x)=3-x单调递减,因此h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 答案:1 返回 $