第2章 第6节 函数的概念及其表示(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第二章　函数及其应用 第6节　函数的概念及其表示 考试要求 考题分析 1.了解函数的含义. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并会简单的应用. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - - 2023年 - - 2024年 T6 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的________,如果对于集合A中的 _____________,按照某种确定的对应关系f,在集合B中 都有______确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 ___的取值范围 值域 与x对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 x 返回 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域______;②对应关系______. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有________、图象法和________. 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. [注意点]分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 相同 相同 解析法 列表法 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2,3 1,4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f(x)=+是一个函数.( 　) 【解析】(1)错误.无解,可知其说法错误. (2)函数就是定义域到值域的对应关系.( 　) 【解析】(2)错误.根据函数的概念可知其错误. × × 返回 (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.( 　) 【解析】(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( 　) 【解析】(4)错误.只有两个函数的定义域、对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数. × × 返回 2.(必修第一册P66例3改编)下列函数中与函数y=x+1是同一个函数的是(　　) A.y=()2 B.y=+1 C.y=+1 D.y=+1 【解析】选B.函数y=x+1的定义域为R,而函数y=(x≥-1)与y=+1(x≠0)的定义域不是R,故A,C选项不符合题意;y=+1=|x|+1对应关系与y=x+1不相同,故D选项不符合题意. 返回 3.(必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)= 则f(f(-3))=________.  【解析】因为f(-3)==0, 所以f(f(-3))=f(0)=. 答案: 返回 4.若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)=________.  【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=-2x,设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0. 答案:x2-x(x>0) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　函数的定义域 【例1】(1)(2024·烟台模拟)函数y=的定义域为(　　) A.[-2,2] B.(-1,2] C.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,1)∪(1,2] 【解析】选C.由已知可得即 因此,函数y=的定义域为(-1,0)∪(0,2]. 返回 (2)已知函数f(x)=ln (ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为________.  【解析】由条件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件,故即a>. 答案: (,+∞) 返回 (3)金榜原创·易错对对碰 ①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为_____________.  ②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 026],则函数g(x)=的定义域为_____________.  返回 【解析】①要使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2 026,解得-1≤x≤2 025,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2 025].所以函数g(x)有意义的条件是解得-1≤x<1或1<x≤2 025.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 025]. ②由函数f(x-1)的定义域为[0,2 026], 得函数y=f(x)的定义域为[-1,2 025],则解得-2≤x≤2 024且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2 024]. 答案:①[-1,1)∪(1,2 025]　②[-2,1)∪(1,2 024] 返回 【思维升华】 1.具体函数的定义域的求法 (1)以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解. (2)对于实际问题,定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 返回 【对点训练】 1.函数f(x)=·lg ()的定义域是(　　) A.[1,2] B.[2,+∞) C.[1,2) D.(1,2] 【解析】选C.根据函数f(x)的解析式,有解得1≤x<2,所以函数f(x)的定义域为[1,2). 返回 2.已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则y=的定义域是(　　) A.[-2,5] B.(-2,3] C.[-1,3] D.(-2,5] 【解析】选D.因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3],则-2≤x≤3,所以-5≤2x-1≤5, 所以函数y=f(x)的定义域为[-5,5]. 要使y=有意义,则需要解得-2<x≤5,所以y=的定义域是(-2,5]. 返回 3.如果函数f(x)=ln (-2x+a)的定义域为(-∞,1),则实数a的值为________.  【解析】由题意得,a-2x>0,x<,所以=1,解得a=2. 答案:2 返回 考点二　函数的解析式 【例2】(1)(一题多法)已知f(x)满足f(-1)=x-2,求f(x)的解析式; (2)已知f(x)是二次函数,f(x+1)-f(x)=2x+1,且f(0)=3,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 返回 【解析】(1)法一(配凑法):因为x-2=(-1)2-1,所以f(-1)=(-1)2-1, 因为x≥0,所以-1≥-1. 所以f(x)=x2-1(x≥-1). 法二(换元法):设u=-1,则=u+1(u≥-1),所以f(u)=(u+1)2-2(u+1)=u2-1(u≥-1), 即f(x)=x2-1(x≥-1). 返回 (2)(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 所以a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x+1. 即2ax+a+b=2x+1,所以解得又因为f(0)=3,所以c=3, 所以f(x)=x2+3. (3)(方程组法)因为2f(x)+f(-x)=3x①, 所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x②, 由①,②解得f(x)=3x. 返回 【思维升华】 函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (4)方程组法:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 返回 【对点训练】 1.已知一次函数f(x)满足2f(x)+f(x+1)=9x+6,则f(4)=(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 【解析】选B.设f(x)=ax+b(a≠0),则2f(x)+f(x+1)=2ax+2b+a(x+1)+b=3ax+a+3b. 因为2f(x)+f(x+1)=9x+6,所以解得所以f(x)=3x+1,f(4)=13. 返回 2.已知f(1-sin x)=cos2x,则f(x)=________.  【解析】(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, 所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 答案:2x-x2,x∈[0,2] 返回 3.已知f(x)满足f(x)-2f()=2x,则f(x)=________________.  【解析】(方程组法)因为f(x)-2f()=2x①, 以代替①中的x,得f()-2f(x)=②, ①+②×2得-3f(x)=2x+, 所以f(x)=--(x≠0). 答案:--(x≠0) 返回 【加练备选】 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f()=-,则f(x)的最小值为(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 【解析】选B.因为x>0,所以>0, f(x)-4f()=-①, 所以f()-4f(x)=-15x②. 由①,②可解得f(x)=4x+,x∈(0,+∞), 因为x>0,所以f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立. 返回 考点三　分段函数 角度1　分段函数求值 【例3】(2025·合肥模拟)已知f(x)=则f(f(26))=(　　) A. B. C.1 D.2 【解析】选C.因为26>4,所以f(26)=log5(26-1)=2,又2<4,所以f(f(26))=f(2)=e2-2=1. 返回 角度2　分段函数与方程、不等式 【例4】(1)(2024·广州联考)已知函数f(x)=若f(2 024)=1,则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(2 024)=f(337×6+2)=f(2)=-f(-1)=-1=1,则a=4. 返回 (2)(一题多法)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是________.  返回 【解析】法一:若x≤0,则x-≤-,则f(x)+f(x-)>1可转化为x+1+x-+1>1,即2x>-,则x>-,此时-<x≤0. 若x>0,则f(x)=2x>1, x->-,当x->0,即x>时,f(x-)=>1, 满足f(x)+f(x-)>1恒成立; 当-<x-≤0,即0<x≤时,f(x-)=x-+1=x+>,满足f(x)+f(x-)>1恒成立. 综上所述,不等式的解集为(-,+∞). 返回 法二:f(x)= f(x)+f(x-)>1,即f(x-)>1-f(x), 由图象变换可画出y=f(x-)与y=1-f(x)的图象如图所示: 由图可知x+=-x,即x=-,所以满足f(x-)>1-f(x) 的解集为(-,+∞). 答案: (-,+∞) 返回 【思维升华】 分段函数相关问题的解题思路 (1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. [提醒]当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. 返回 【对点训练】 1.(多选题)已知函数f(x)=则(　　) A.f(f())=3 B.若f(x)=-1,则x=2或x=-3 C.f(x)<2的解集为(-∞,0)∪(1,+∞) D.若∀x∈R,a>f(x),则a≥3 返回 【解析】选BCD.对于A,因为f()=-()2+3=0,所以f(f())=f(0)=2,所以A错误; 对于B,当x<1时,由f(x)=-1,得x+2=-1,解得x=-3;当x≥1时,由f(x)=-1,得-x2+3=-1,x2=4, 解得x=2或x=-2(舍去),综上,x=2或x=-3,所以B正确;对于C,当x<1时,由f(x)<2,得 x+2<2,解得x<0,当x≥1时,由f(x)<2,得-x2+3<2,解得x>1,综上,f(x)<2的解集为(-∞,0) ∪(1,+∞),所以C正确;对于D,当x<1时,x+2<3,当x≥1时,-x2+3≤2,所以f(x)的值域为 (-∞,3),因为∀x∈R,a>f(x),所以a≥3,所以D正确. 返回 2.已知函数f(x)=则f(2 026)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选A.因为当x≥2时,f(x)=f(x-1),所以f(2 026)=f(2 025)=…=f(2)=f(1)=1-2=-1. 返回 3.(2022·浙江卷)已知函数f(x)=,则f(f())=________; 若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是________.  返回 【解析】由题意知f()=-()2+2=, 则f(f())=f()=+-1=+-1=.作出函数f(x)的图象,如图所示,结合图象,令-x2+2=1, 解得x=±1;令x+-1=3,解得x=2±,又x>1,所以x=2+,所以(b-a)max=2+-(-1) =3+. 答案:　3+ 返回 【加练备选】已知函数f(x)=g(x)=x+1, 则①g(f(x))=________;②f(g(x))=________.  返回 【解析】①当x<0时,f(x)=,g(f(x))=+1; 当x≥0时,f(x)=x2,g(f(x))=x2+1. 所以g(f(x))= 返回 ②由x+1<0,得x<-1. 由x+1≥0,得x≥-1. 所以f(g(x))= 答案:①　② 返回 $