拓展拔高1 柯西不等式、权方和不等式(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

拓展拔高1 柯西不等式、权方和不等式 【高考考情】 柯西不等式是高考命题的重要考点与热点之一.基于柯西不等式的应用,在高考命题中往往以求解最值、证明不等式及综合应用等为主,成为高考考查的基本形式与命题方向.权方和不等式作为柯西不等式的一个特例,在一些不等式的证明或最值(或取值范围)的求解等问题中,有着非常重要的作用,是解决问题的一种非常重要的不等式. 返回 类型一　柯西不等式 1.源于教材 【习题】(必修第二册P37习题6.3T16)用向量方法证明:对于任意的a,b,c,d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 返回 2.公式形式 (1)二维形式的柯西不等式: 以上源于教材的不等式,就是柯西不等式的二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. 【拓展】二维形式的柯西不等式的变式: ①·≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). ②·≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时,等号成立). ③(a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时,等号成立). 返回 (2)一般形式的柯西不等式: 柯西不等式的一般形式为:若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n) 或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 返回 【例1】(1)函数f(x)=2+的最大值及取得最大值时x的值分别为(　　) A.,　 B.,　 C.,　 D., 【解析】选A.由柯西不等式可知, (2+)2≤(22+12)[()2+()2]=5,所以2+≤, 当且仅当2=,即x=时等号成立, 故函数f(x)=2+的最大值及取得最大值时x的值分别为,. 返回 (2)已知x>0,y>0,+y2=1,则x+y的最大值是________.  【解析】由柯西不等式得(+y2)(12+12)≥(×1+y×1)2=(+y)2,所以1×2≥(+y)2, 当且仅当=y,即x=,y=时等号成立. 所以+y≤,即x+y的最大值是2. 答案:2 返回 【思维升华】 掌握柯西不等式及其变式的结构,常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法. 返回 【对点训练】 1.(一题多法)已知x,y∈R,3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为________;最小值为________.  返回 【解析】法一:由柯西不等式得(2x+y)2≤[(x)2+(y)2] [ ()2+()2] =(3x2+2y2) (+)≤11. 当且仅当x·=y·, 即或时等号成立, 于是2x+y的最大值为,最小值为-. 返回 法二:由柯西不等式得 |2x+y|≤=≤, 当且仅当x·=y·, 即或时等号成立, 于是2x+y的最大值为,最小值为-. 答案:　- 返回 2.实数x,y满足+=4,则x+y的最小值是________.  【解析】因为[()2+()2](12+12)≥(+)2, 所以(2x+2y+4)×2≥42,则x+y≥2,当且仅当=,即x=,y=时等号成立. 答案:2 返回 类型二　权方和不等式 【结论】二维形式:已知正数x,y,a,b,则有+≥,当且仅当=时等号成立. 【说明】二元权方和不等式对于解决一些涉及分式或相关代数式的“知和求和”型的最值(或取值范围)问题有奇效,其实质就是“常数1”的代换与应用.而对于三元及以上的更具一般性的多元权方和不等式,实质上是一样的. 返回 【例2】(1)已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则++的最小值为(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 【解析】选D.因为a+b+c=1, 所以++=2(++)≥=9, 当且仅当a=b=c=时等号成立. 返回 (2)已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则++的最小值为___________.  【解析】++≥=, 当且仅当==, 即x=y=z=时等号成立. 答案: 返回 (3)若∀x,y>0,都有x+y+2≤a(2x+3y)成立,则实数a的最小值为________.  【解析】因为∀x,y>0,都有x+y+2≤a(2x+3y)成立,分离参数可化为a≥, 即a≥. 利用权方和不等式≤+=+=+=,当且仅当=, 即4x=9y时等号成立,所以a≥, 即实数a的最小值为. 答案: 返回 【思维升华】 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式,将分子变为平方式,再用权方和不等式. (3)关于带根号的式子,将分子变为次,分母变为次. 返回 【对点训练】 1.若x>0,y>0,+=2,则6x+5y的最小值为________.  【解析】+=+=+≥=, 即2≥,因为x>0,y>0, 则6x+5y≥+2,当且仅当=, 即x=,y=时等号成立. 答案:+2 返回 2.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为___________.  【解析】+=+≥=27, 当且仅当=,即x=,y=时等号成立. 答案:27 返回 $