第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第5节　二次函数与一元二次方程、不等式 考试要求 考题分析 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 T1 T1 2023年 T1 - 2024年 - - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.三个“二次”间的关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等 的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等 的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 返回 2.分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇒_____________;  (2)≥0(≤0)⇒_______________________. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为_______________, |x|<a(a>0)的解集为______. f(x)g(x)>0(<0) (-∞,-a)∪(a,+∞) (-a,a) 返回 【常用结论】 1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足; 2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足; 3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足; 4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 返回 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根 分别是x1,x2.(　 　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　 　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　 　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集 为R.(　 　) √ √ × × 返回 2.不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,+∞)　　　　　　　 B.[0,+∞) C. (-∞,-)∪(0,+∞) D. (-∞,-)∪[0,+∞) 【解析】选B.①当a=0时,1>0成立;②当a≠0时,只需, 解得a>0, 综上可得a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞). 返回 3.(必修第一册P55T5变式)已知集合A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0}, 则A∩B=_________.  【解析】由x2-16<0,得-4<x<4,即集合A=(-4,4),由x2-4x+3>0,得x<1或x>3, 即集合B=(-∞,1)∪(3,+∞),所以A∩B=(-4,1)∪(3,4). 答案:(-4,1)∪(3,4) 返回 4.(必修第一册P58T6变式)若关于x的一元二次不等式2x2-kx+>0对于一切 实数x都成立,则实数k的取值范围为___________.  【解析】由题意得Δ=(-k)2-4×2×<0,-<k<. 答案:(-,) 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参数的一元二次不等式 【例1】(多选题)下列选项中,正确的是(　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 返回 【解析】选ABD.A选项,x2+x-2>0⇔(x-1)(x+2)>0⇔x<-2或x>1,A正确; B选项,≤1⇔-1≤0⇔≤0⇔⇔-3≤x<2,B正确; C选项,|x-2|≥1⇔x-2≥1或x-2≤-1,即x≥3或x≤1,C错误; D选项,|x-1|<1⇔0<x<2,<0⇔(x+4)(x-5)<0⇔-4<x<5,而{x|0<x<2}是{x|-4<x<5}的真子集,D正确. 返回 【思维升华】 解一元二次不等式的四个步骤 返回 【对点训练】 (多选题)(2025·湖州模拟)下列不等式的解集正确的是(　　) A.-x2+4x-4<0的解集是{x|x≠2} B.≤1的解集是{x|-2≤x<1} C.x2-x+<0的解集是{x|x≠} D.|x-1|>|2x-3|的解集是{x|<x<2} 返回 【解析】选ABD.对于A,-x2+4x-4<0⇔-(x-2)2<0,所以x≠2,故A选项正确; 对于B,≤1⇔-1=≤0⇔,所以-2≤x<1,故B选项正确; 对于C,x2-x+<0⇔<0,所以解集为空集,故C选项错误; 对于D,|x-1|>|2x-3|⇔(2x-3)2-(x-1)2<0, 而(2x-3)2-(x-1)2=[(2x-3)+(x-1)][(2x-3)-(x-1)]=(3x-4)(x-2), 所以|x-1|>|2x-3|⇔(3x-4)(x-2)<0,所以<x<2,故D选项正确. 返回 角度2　含参数的一元二次不等式 【例2】(1)(2025·福州模拟)设a为实数,则关于x的不等式(ax-1)(x+2)>0的解集不可能是(　　) A.(-∞,-2) B. (-∞,)∪(-2,+∞) C. (,-2) D. (-2,) 返回 【解析】选B.对于(ax-1)(x+2)>0,当a=0时,变为-(x+2)>0,此时解得x∈(-∞,-2); 当a∈(0,+∞)时,解得x∈(-∞,-2)∪(,+∞); 当a∈(-,0)时,解得x∈(,-2); 当a=-时,此时解集为空集; 当a∈(-∞,-)时,解得x∈(-2,); 综上所述,x∈(-∞,)∪(-2,+∞)并未在任何情况出现, 故x∈(-∞,)∪(-2,+∞)不可能是原不等式的解集,故B符合题意. 返回 (2)已知关于x的不等式kx2-(3k2+1)x+3k<0(其中k∈R). ①若不等式的解集为{x|1<x<3},求k的值; ②若k≤0,试求该不等式的解集. 返回 【解析】①由条件知k>0且1,3是方程kx2-(3k2+1)x+3k=0的两个根,所以由根与系数的关系可得1+3=,1×3=,解得k=1或,当k=1或时,方程均化为x2-4x+3=0,此时Δ=(-4)2-4×3=4>0, 符合条件,所以k=1或. ②将原不等式整理得(kx-1)(x-3k)<0, 当k=0时,不等式为-x<0,解集为{x|x>0}; 当k<0时,方程(kx-1)(x-3k)=0的根为,3k. 作差比较3k-==, 返回 若-<k<0,则y=(kx-1)(x-3k)开口向下且3k>, 不等式的解集为{x|x<或x>3k}; 若k=-,则y=(kx-1)(x-3k)开口向下与x轴有唯一交点且3k=,不等式的解集为{x|x≠-}; 若k<-,则y=(kx-1)(x-3k)开口向下且3k<,不等式的解集为{x|x<3k或x>}. 综上所述,k=0时,解集为{x|x>0};-<k<0时,解集为{x|x<或x>3k}; k=-时,解集为{x|x≠-};k<-时,解集为{x|x<3k或x>}. 返回 【思维升华】 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. 返回 【对点训练】 (2025·铜陵模拟)关于x的不等式x2-(1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-2≤a<-1或3<a≤4} B.{a|-2≤a≤-1或3≤a≤4} C. {a|-1≤a<-或<a≤2} D. {a|-1≤a≤-或≤a≤2} 返回 【解析】选C.由x2-(1+2a)x+2a<0可得(x-1)(x-2a)<0,当a=时,(x-1)(x-2a)=(x-1)2≥0,即原不等式无解,不满足题意; 当a>时,原不等式解得1<x<2a,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为2和3,因此可得3<2a≤4,即<a≤2; 当a<时,原不等式解得2a<x<1,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为-1和0,因此可得-2≤2a<-1,即-1≤a<-. 综上可得实数a的取值范围为{a|-1≤a<-或<a≤2}. 返回 考点二　三个“二次”之间的关系 【例3】(2025·石家庄模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 (-1,5),其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是(　　) A. [-1,] B. [-,1] C. (-∞,-]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[,+∞) 返回 【解析】选A.因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,5),所以a<0,且-1和5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,所以,解得, 所以不等式cx2+bx+a≤0可化为-5ax2-4ax+a≤0,即5x2+4x-1≤0, 解得-1≤x≤,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是[-1,]. 返回 【思维升华】 一元二次不等式与方程的关系的解题策略 (1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值. (2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解. 返回 【对点训练】 (2025·常州模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项不正确的是(　　) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为(-∞,-)∪(,+∞) 返回 【解析】选C.由题意可知-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0, 所以-2+3=-,(-2)×3=,所以b=-a,c=-6a,a>0,即选项A正确; 不等式bx+c>0等价于a(x+6)<0, 所以x<-6,即选项B正确; 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞), 所以当x=1时,有a+b+c<0,即选项C错误; 因为不等式cx2-bx+a<0等价于a(6x2-x-1)>0,即a(3x+1)(2x-1)>0, 所以x<-或x>,即选项D正确. 返回 微进阶　一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 返回 [典例](1)若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. (,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 返回 【解析】选C.设f(x)=x2-2ax+4, 根据已知结合二次函数性质,作图如图, 则有, 解得a>. 返回 (2)(2025·厦门模拟)关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,-2)∪(-2,0) B.(-∞,2) C.(0,2)∪(2,+∞) D.(-2,+∞) 【解析】选A.因为方程x2+(m-2)x-2m=0有两个不相等的正实数根, 所以,解得m<0且m≠-2. 返回 考点三　不等式恒(能)成立问题 角度1　在R上的恒成立问题 【例4】若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围 是(　　) A.(-2,2)　　　　　　 B.(-2,2] C.(-∞-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2] 返回 【解析】选B.将不等式ax2+2ax-4<2x2+4x整理可得(a-2)x2+(2a-4)x-4<0,即不等式(a-2)x2+(2a-4)x-4<0对任意实数x均成立,当a-2=0,即a=2时,不等式变为-4<0,满足题意; 当a-2≠0时,需满足,解得-2<a<2. 综上可得实数a的取值范围是(-2,2]. 返回 【思维升华】 不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 返回 【对点训练】 (2025·镇江模拟)若命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.因为命题“∃x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,所以其否定“∀x∈R, x2+4x+t≥0”是真命题,则Δ=16-4t≤0,解得t≥4,所以实数t的最小值为4. 返回 角度2　在给定区间上的恒成立问题 【例5】金榜原创·易错对对碰 (1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2-mx+m-6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是______________.  返回 【解析】由已知得,m(x-)2+m-6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立. 法一:令g(x)=m(x-)2+m-6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0<m<.当m<0时,g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m的取值范围是{m|0<m<或m<0}. 返回 法二:因为x2-x+1=(x-)2+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.因为m≠0,所以m的取值范围是{m|0<m<或m<0}. 答案: {m 返回 (2)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为___________.  【解析】设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得<x<,故实数x的取值范围为(,). 答案: (,) 返回 【思维升华】 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围). (2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a. 返回 (3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围. ①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立; ②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立. [提醒]一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数. 返回 【对点训练】 已知对任意m∈,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　) A. B. (-∞,)∪(,+∞) C. D. (,) 返回 【解析】选D.对任意m∈,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立, 即对任意m∈,m<6恒成立, 所以对任意m∈,x2-x+1<恒成立, 所以对任意m∈,x2-x+1<=2恒成立, 所以x2-x+1<2,解得<x<, 故实数x的取值范围是(,). 返回 角度3　不等式能成立(有解)问题 【例6】(2025·马鞍山模拟)命题:“∃x∈[0,4]使得不等式x2-2x-3+a≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤-4} B.{a|a≥4} C.{a|a≥-5} D.{a|a≥3} 【解析】选C.由“∃x∈[0,4]使得不等式x2-2x-3+a≥0成立”是真命题,即不等式a≥-x2+2x+3在x∈[0,4]上有解,因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,当x=4时,ymin=-5,所以a≥-5,即实数a的取值范围为{a|a≥-5}. 返回 【思维升华】 一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略 (1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max. (2)最值转化法:若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0. (3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解. (4)最后一定要注意检验区间的开闭. 返回 【对点训练】 若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为(　　) A.9 B.5 C.6 D. 【解析】选B.因为x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,所以m+1≥(x∈[1,4]), 又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,即m+1≥6,所以m≥5,则实数m的最小值为5. 返回 $