第1章 第4节 基本不等式(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮总复习提升版（人教A版）

主干梳理　基础落实 考点探究　核心突破 第4节　基本不等式 考试要求 考题分析 1.了解基本不等式的推导过程. 2.掌握基本不等式≤(a,b>0). 3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 年份 新高考Ⅰ卷 新高考Ⅱ卷 2022年 - T12 2023年 - - 2024年 T18 - 返回 主干梳理　基础落实 返回 【知识梳理】 1.基本不等式 公式 _________ 成立的条件 ____________ 等号成立的条件 _____ 算术平均数 几何平均数 ≤ a>0,b>0 a=b 返回 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. [注意点]利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. 返回 【常用结论】 几个重要不等式 1.a2+b2≥2ab(a,b∈R). 2.+≥2(a,b同号,且不为0). 3.ab≤(a,b∈R). 4.≥(a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 返回 【知能自测】 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 返回 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　 　) (2)函数y=x+(x>0)的最小值是2.(　 　) (3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　 　) (4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要条件.(　 　) × √ × √ 返回 2.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.≥ B.+≥2 C.≥2 D.a2+b2≥8 【解析】选AD.对于A,C,因为a>0,b>0,所以a+b=4≥2,即≤2,当且仅当 a=b=2时等号成立,故0<ab≤4,则≥,故A正确,C错误;对于B,代入a=b=2,+=+1 =<2,故B错误;对于D,a2+b2≥=8,当且仅当a=b=2时等号成立,故D正确. 返回 3.(必修第一册P58T5变式)已知0<x<,则x的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 【解析】选C.因为0<x<, 所以x=≤=, 当且仅当x2=5-x2,即x=时,等号成立, 所以x的最大值是. 返回 4.(必修第一册P49T5变式)已知x>0,则2-3x-的最大值是________.  【解析】因为x>0,所以3x>0,>0, 所以2-3x-=2-(3x+)≤2-2=2-4, 当且仅当3x=,即x=时,等号成立,所以2-3x-的最大值是2-4. 答案:2-4 返回 考点探究　核心突破 返回 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 【例1】(1)(2025·青岛模拟)已知x>1,y>3,(x-1)(y-3)=1,则x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选C.因为x>1,y>3,所以x-1>0,y-3>0, 所以x+y=(x-1)+(y-3)+4≥2+4=2+4=6, 当且仅当x-1=y-3=1,即x=2,y=4时,取等号,所以x+y的最小值为6. 返回 (2)当x>0时,函数y=的最小值为(　　) A.2 B.2-1 C.2+1 D.4 【解析】选B.因为x>0,所以y==+x=+(x+1)-1≥2-1=2-1, 当且仅当=x+1,即x=-1时,等号成立. 返回 【思维升华】 配凑法求最值的解题策略 (1)配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法; (2)对于或的分式型代数式需要先化简,再配凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题. 返回 【对点训练】 已知x>1,则2x+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.2x+=(2x-1)++1≥2+1=5, 当且仅当x=时等号成立. 返回 角度2　常数代换法 【例2】(1)已知实数x>0,y>0,x+3y=2,则+的最小值为(　　) A.3 B.1+ C.2+ D.2+ 【解析】选D.因为x>0,y>0,且x+3y=2, 所以+==≥2+=2+, 当且仅当=,即y=,x=-1时取等号. 返回 (2)(2025·武汉模拟)已知x>0,y>0,且满足+=1,则(　　) A.xy的最小值为48　　 B.xy的最小值为 C.xy的最大值为48 D.xy的最大值为 【解析】选A.由题意得xy=xy,所以xy=xy(++), 所以xy=++24≥2+24=48, 当且仅当=时取等号,此时x=6,y=8,只有A选项正确. 返回 【思维升华】 常数代换法求最值适用的题型及解题通法 当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造出(ax+by) (+)(a,b,m,n为常数且大于0)的形式,利用(ax+by) (+)= am+bn++≥am+bn+2(当且仅当=时,等号成立)得到结果. 返回 【对点训练】 (2025·南昌模拟)已知x,y为正实数,且x+y=1,则的最小值为(　　) A.2+1 B.2-1 C.2+5 D.2-5 【解析】选C.因为x+y=1,则===+,由于+=(x+y) (+)=+3+2+=++5≥2+5=2+5,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为2+5. 返回 角度3　消元(换元)法 【例3】(2025·潍坊模拟)设x>0,xy+y=4,则z=3x+y+2的最小值为(　　) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 【解析】选A.由题意得x>0,xy+y=4,所以y=>0, 所以z=3x++2=3(x+1)+-1≥2-1=4-1, 当且仅当3(x+1)=,即x=-1>0时,等号成立,所以z的最小值为4-1. 返回 【思维升华】 利用消元法、换元法求最值的方法 (1)消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. (2)换元法,求较复杂的式子的最值时,通常利用换元法将式子恰当变形,简化式子,再利用基本不等式求解. 返回 【对点训练】 (一题多法)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为___________.  【解析】方法一(换元消元法): 由已知得9-(x+3y)=xy=·x·3y≤·()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0, 令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0, 得t≥6,即x+3y的最小值为6. 返回 方法二(代入消元法): 由x+3y+xy=9,得x=, 所以x+3y=+3y=== =3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6, 当且仅当3(1+y)=,即y=1,x=3时取等号,所以x+3y的最小值为6. 答案:6 返回 微进阶　基本不等式链 若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,这是一个基本不等式链.其中,,,分别叫做正数a,b的平方平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数. 返回 [典例](1)(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(　　) A.有最大值　 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 返回 【解析】选ACD.对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确; 对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误; 对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确; 对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确. 返回 (2)函数y=+的最大值为________.  【解析】函数的定义域为x∈[,], 由≤,得a+b≤2, 则y=+≤2=2,当且仅当=, 即x=时等号成立. 答案:2 返回 考点二　基本不等式的综合问题 【例4】(1)(2025·长春模拟)命题p:∃x∈(0,+∞),使得x2-λx+1<0成立.若p为假命题,则λ的取值范围是(　　) A.{λ|λ≤2} B.{λ|λ≥2} C.{λ|-2≤λ≤2} D.{λ|λ≤-2或λ≥2} 【解析】选A.由题意,p为假命题,故¬p为真命题,故∀x∈(0,+∞),x2-λx+1≥0﹐ 故∀x∈(0,+∞),λ≤x+,又当x∈(0,+∞)时,x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以λ的取值范围是{λ|λ≤2}. 返回 (2)(2025·杭州模拟)若正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x+≥a2-3a恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-1<a<4} B.{a|-1≤a≤4} C.{a|-4≤a≤1} D.{a|-4<a<1} 【解析】选B.因为正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,即xy=4x+y,所以+=1,所以x+=(x+)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即y=8,x=2时取等号,因为正实数x,y满足(x-1)(y-4)=4,且x+≥a2-3a恒成立,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4,即实数a的取值范围是{a|-1≤a≤4}. 返回 【思维升华】 利用基本不等式求解综合问题的策略 (1)当基本不等式与其他知识相结合时,往往是提供一个应用基本不等式的条件,然后利用常数代换法求最值. (2)求参数的值或取值范围时,一般需要结合题目特征,分离参数,利用基本不等式确定等号成立的条件,从而得到参数的值或取值范围. 返回 【对点训练】 (2025·滨州模拟)已知x>0,y>0,且x+3y-xy=0,若x+3y>m2+m恒成立,则实数m的取值范围为(　　) A.(-∞,-3]∪[4,+∞)　 B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-∞,-4]∪[3,+∞) 【解析】选B.因为不等式x+3y>m2+m恒成立,则(x+3y)min>m2+m,因为x>0,y>0,由x+3y-xy=0可得+=1,所以x+3y=(x+3y) (+)=++6≥2+6=12,当且仅当=,即x=6,y=2时取等号,故(x+3y)min=12,所以m2+m<12,即m2+m-12<0,解得-4<m<3,则实数m的取值范围是(-4,3). 返回 【加练备选】 (2025·宁波模拟)设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为(　　) A.12 B.24 C.2 D.4 返回 【解析】选B.x>,y>3,变形为2x-3>0,y-3>0, 令a=2x-3>0,b=y-3>0,则k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2转化为k≤, 即+≥k,+=+≥+=12(+)≥24=24, 当且仅当,即x=3,y=6时取等号,可知k≤24. 返回 考点三　基本不等式的实际应用 【例5】(2025·哈尔滨模拟)已知某商品近期价格起伏较大,假设第一周和第二周该商品的单价分别为m元和n元(m≠n),甲、乙两人购买该商品的方式不同,甲每周购买100元的该商品,乙每周购买20件该商品,若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2,则(　　) A.a1=a2　　　 B.a1<a2 C.a1>a2 D.a1,a2的大小无法确定 【解析】选B.由题意得a1==,a2==,因为m>0,n>0,m≠n,故>,<=,即a1<a2. 返回 【思维升华】 利用基本不等式解决实际问题的方法 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解. 返回 【对点训练】 已知某操场看台上有一个与操场水平面垂直的圆柱,该圆柱正上方挂有高5米的电子屏幕,电子屏幕底部到操场水平面的距离为5.75米.某人站立在操场时,他眼睛中心到操场水平面的距离为1.75米,则该人距离圆柱底面圆心___________米站立,看电子屏幕底部到顶部的视角(从眼睛中心向物体两端所引射线的夹角)最大.  返回 【解析】如图,设该人眼睛中心为A,电子屏幕底部为B,电子屏幕顶部为C,圆柱底面圆心为O,该人站立位置为P,连接AP,OP,作AD⊥CO于点D.设AD=OP=x米, 则CD=5.75+5-1.75=9(米),BD=5.75-1.75=4(米), 设∠CAD=α,∠BAD=β,设θ=α-β,则tan α==,tan β==, tan θ=tan (α-β)===≤=. 当且仅当x=,即x=6时,取等号,所以当x=6米时,tan θ取最大值,此时视角θ取最大值. 所以该人距离圆柱底面圆心6米站立,看电子屏幕底部到顶部的视角最大. 答案:6 返回 $